Jacobi-mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix. Legyen  f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m} az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező függvény. Ekkor a vektorértékű függvény egyes komponensei:


f(x_1,x_2,\dots,x_n)=\left(f_1(x_1,x_2,\dots,x_n),f_2(x_1,x_2,\dots,x_n),\dots,f_m(x_1,x_2,\dots,x_n)\right).

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m x n-es mátrixot képezhetünk:
J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial f_1}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_1}{\partial x_n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \dfrac{\partial f_m}{\partial x_1} & \cdots & \dfrac{\partial f_m}{\partial x_n} \end{bmatrix}.

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak. A Jacobi-determináns, a Jacobi-mátrix determinánsa.

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalár-függvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott \mathbf{x_0} pont körül, abban az értelemben hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

f(\mathbf{x}) \approx f(\mathbf{x_0}) + J(\mathbf{x_0})(\mathbf{x}-\mathbf{x_0})

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja hogy hogyan viselkedik az f függvény lokálisan.

Példa[szerkesztés]

Legyen 
 f: \mathbb R^3 \rightarrow \mathbb R^2
a 
 f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c}
             x^2 + y^2 + z \cdot \sin(x) \\
             z^2 + z \cdot \sin(y)
\end{array} \right )

képlettel megadott háromváltozós függvény.

Akkor


 \frac{\partial}{\partial x} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c}
             2x + z \cdot \cos(x) \\
              0
           \end{array} \right ), \;\;

\frac{\partial}{\partial y} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c}
             2y \\
              z \cdot \cos(y)
           \end{array} \right ), \;\;

\frac{\partial}{\partial z} f(x,y,z) = \left ( \begin{array}{c}
             \sin(x) \\
              2z + \sin(y)
           \end{array} \right )

és így a függvény Jacobi-mátrixa


Df(x,y,z) = \left ( \begin{array}{ccc}
         2x + z \cdot \cos(x) & 2y & \sin(x) \\
         0 & z \cdot \cos(y) & 2z + \sin(y)
\end{array} \right )