Jacobi-mátrix

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Jacobi-mátrix egy vektorértékű függvény elsőrendű parciális deriváltjait tartalmazó mátrix. Legyen az n dimenziós euklideszi térből az m dimenziós euklideszi térbe képező függvény. Ekkor a vektorértékű függvény egyes komponensei:

Ezen m darab n-változós függvény parciális deriváltjaiból egy m×n-es mátrixot képezhetünk:

Ezt hívjuk a Jacobi-mátrixnak. A Jacobi-determináns a Jacobi-mátrix determinánsa.

A Jacobi-mátrix az egyváltozós skalárfüggvények deriváltjának fogalmát terjeszti ki vektormezőkre, ahogy a gradiens a skalármezőkre teszi ugyanezt. Ha lineáris transzformációként fogjuk fel, akkor J adja meg az f függvény legjobb lineáris közelítését egy adott pont körül, abban az értelemben hogy a Taylor-sorhoz hasonlóan elsőrendben:

Úgy is fogalmazhatunk, hogy a Jacobi-mátrix megadja, hogy lokálisan hogyan viselkedik az f függvény.

Példa[szerkesztés]

Legyen a

képlettel megadott háromváltozós függvény.

Akkor

és így a függvény Jacobi-mátrixa