Gömbkoordináták

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordinátarendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.

Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták.[1][2] A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.

A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

Konvenciók[szerkesztés]

Definíció[szerkesztés]

Egy pont gömbi koordinátái és a gömbkoordintákkal együtt használt Descartes-koordinátarendszer tengelyei

Egy gömbi koordinátarendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

  • egy középpont, origó
  • egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
  • egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordinátarendszert is használnak a gömbi koordinátarendszerrel együtt. Ekkor:

  • annak origója a gömbi koordinátarendszer origója
  • annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
  • annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

  • a sugár, a pont origótól mért távolsága
  • vagy ,[3] polárszög vagy polártávolságszög,[4] a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög és közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
  • vagy ,[3] azimutszög,[4] az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága -től -ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól -ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.

Átszámítások[szerkesztés]

Minden hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben:

Ezekbe az egyenletekbe bármely , és koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: nemnegatív, értéke illetve [0, 180°] eleme, és a illetve (−180°, 180°], vagy a illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén tetszőleges. Az origó számára is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy , és az origó esetén .

A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordinátarendszerben adott koordinátáikból az gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:[5]

Ezek az egyenletek felteszik, hogy értéke és és közötti. Ha értéke 0 és közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.

Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.

Alkalmazások[szerkesztés]

A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.

Alternatív jelölések[szerkesztés]

A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a és jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.

A nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke és közötti. Ha ezt jelöli, akkor . Ezzel szemben minden további nélkül megfelel a földrajzi hosszúságnak.

A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az

ábrázolás. Ebben az ábrázolásban a földrajzi szélesség.

Egy pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:

,

ahol .

Differenciálok transzformációja[szerkesztés]

Jacobi-mátrix[szerkesztés]

Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordinátarendszerbe a következő mátrix írja le:

A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:

A transzformáció inverzét legegyszerűbben a mátrix invertálásával számolhatjuk ki:

A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha vagy , tehát vagy . Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:

Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem[szerkesztés]

A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:

illetve

.

A térfogatelem egyszerűen számítható a

funkcionáldeterminánssal, azaz:

.

A differenciállal kapjuk egy sugarú gömbön a felszínelemet:

.

A vonalelem számítható, mint:

Metrika és forgatómátrix[szerkesztés]

A vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:

A metrikus tenzor nyilván a

diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint , ahol az

forgatómátrix.

Vektormezők és operátorok transzformációja[szerkesztés]

Egy pont gömbi koordinátái a helyfüggő ortogonális bázissal

A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a -tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.

A vektortérbázis transzformációja[szerkesztés]

A koordinátához tartozó bázisvektor adja meg egy pont mozgásirányát, ha a koordinátát a infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:

.

Ebből

.

Ahhoz, hogy ortonormált bázist kapjunk, még le kell normálni az vektort:

.

Hasonlóan kapjuk az és bázisvektorokra:

Oszlopvektorba írva:

Ezek a bázisvektorok az sorrendben jobbfogású rendszert alkotnak.

A fent bevezetett forgatómátrixszal a transzformációk kompakt módon ábrázolhatók:

.

Mivel ortogonális, azért az inverz transzformáció mátrixa:

.

Az egyes koordinátákhoz tartozó irányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a Hertz-dipólus esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a -tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.

Vektormező transzformációja[szerkesztés]

Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordinátarendszertől:

Ez úgy teljesül, hogy:

  illetve   .

A parciális deriváltak transzformációja[szerkesztés]

A parciális deriváltak szintén transzformálódnak, de normálás nélkül. A fentiekhez hasonlóan számolhatunk, de most kihagyjuk a pontot a számlálóból, és a Jacobi-mátrixot alkalmazzuk az forgatómátrix helyett:

,

és az inverz transzformáció:

.

A nabla-operátor transzformációja[szerkesztés]

A nabla-operátor alakja egyszerű aDescartes-koordinátarendszerben:

.

A fent levezetett módon transzformálva az egységvektorokat és a parciális deriváltakat:

.

Ebben a formában alkalmazható a transzformált nabla-operátor egy gömbkoordinátákkal adott skalármező gradiensének számítására.

Egy gömbi koordinátákkal adott A vektormező divergenciájának kiszámításához tekintetbe kell venni, hogy a nemcsak az együtthatókra, hanem az A-ban implicit jelenlevő bázisvektorokra is:

Ugyanerre a rotáció számításánál is ügyelni kell:

A Laplace-operátor transzformációja[szerkesztés]

Ha az A vektormező divergenciaoperátorát behelyettesítjük a gradiensoperátorba, akkor a Laplace-operátorhoz jutunk:

.

illetve

.

Általánosítás további dimenziókra[szerkesztés]

A gömbi koordináták egy általánosítása dimenzióra:

Belátható, hogy ez az esetben a polárkoordinátákat és esetén a gömbkoordinátákat adja.[6]

A szögek számítása:

Átszámozással rekurziós képletet kapunk a szögekre:

Ahonnan adódnak a következő szögek:

ahol és

A sugár:

Az árkusz tangens miatt esetszétválasztás adódik a megfelelő Descartes-koordinátával bezárt szögre, ahol is a képleteket kiterjesztjük az határértékekre is:

Innen látszik, hogy mindig kétdimenziós vektor, ha .

Jacobi-mátrix[szerkesztés]

A gömbkoordináták Jacobi-mátrixa a fenti számozás szerint:

Determinánsa:

A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a -függvény segítségével:

ami megfelel az -dimenziós hipergömb térfogatának:

Példák[szerkesztés]

2D:

3D:

4D:

Egy részletes példa[szerkesztés]

Az esetben a tengelyekkel:

Ekkor a szögek:

Funkcionáldetermináns[szerkesztés]

A gömbi koordináták transzformációjának Descartes-koordinátarendszerbe:[6]

Ezzel az -dimenziós térfogatelem:

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Richard Doerfling: Mathematik für Ingenieure und Techniker. Oldenbourg Verlag, Seite 169.
  2. F. W. Schäfke: Einführung in die Theorie der speziellen Funktionen der mathematischen Physik. Springer, 1963, ISBN 978-3-642-94867-1, Seite 129.
  3. a b Lothar Papula: Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler. Band 3: Vektoranalysis, Wahrscheinlichkeitsrechnung, mathematische Statistik, Fehler- und Ausgleichsrechnung. 4. verbesserte Auflage. Vieweg + Teubner, Wiesbaden 2001, ISBN 3-528-34937-9.
  4. a b Archiválva [Dátum hiányzik] dátummal a(z) www-m8.ma.tum.de archívumban Hiba: ismeretlen archívum-URL. (PDF; 59 kB). Skript an der TU München.
  5. Kugelkoordinaten. Mathematik-Online-Lexikon der Universität Stuttgart.
  6. a b Herbert Amann, Joachim Escher: Analysis III. Birkhäuser 2008, ISBN 978-3-7643-8883-6, S. 205 (eingeschränkte Online-Kopie a Google Könyvekben-USA).

Forrás[szerkesztés]

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kugelkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.