Gömbkoordináták

A koordinátageometriában a gömbi koordináták vagy térbeli polárkoordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, amiben a pontok helyét az origótól mért távolságuk és két szög adja meg.

Az origó középpontú gömbökön az origótól mért távolság konstans. Így ezeken a felületeken a pontok helyét két szöggel lehet meghatározni. Ezek a gömbi koordináták. A gömbi koordináták kifejezést pontatlanul alkalmazhatják az általános esetre és a speciális esetre is.

A gömbi koordináták a síkbeli polárkoordináta-rendszer egyik általánosítása. Egy másik általánosítás a hengerkoordináta-rendszer.

Konvenciók

Definíció

Egy $P$ pont $r,\theta ,\varphi$ gömbi koordinátái és a gömbkoordinátákkal együtt használt Descartes-koordináta-rendszer $x,y,z$ tengelyei

Egy gömbi koordináta-rendszert a háromdimenziós euklideszi térben a következők határoznak meg:

• egy $O$ középpont, origó
• egy, az origón áthaladó irányított egyenes (pólustengely). Ez tűzi ki a pólus irányát, és ez rögzíti az egyenlítősíkot is, ami az origóban a pólusegyenesre állított merőleges sík
• egy rögzített irány az egyenlítősíkon

Gyakran egy Descartes-féle koordináta-rendszert is használnak a gömbi koordináta-rendszerrel együtt. Ekkor:

• annak origója a gömbi koordináta-rendszer origója
• annak pólustengelye a z-tengely (így az x és y-tengelyek az egyenlítősíkban vannak
• annak x-tengelye az egyenlítősíkon rögzített irány, így az y-tengely is egyértelműen meghatározott

A matematikában és a fizikában általában a következő koordinátákat használják:

• $r$ a sugár, a pont origótól mért távolsága
• $\theta$ vagy $\vartheta$, polárszög vagy polártávolságszög, a pólusirány és az origóból a ponthoz húzott irányított szakasz szöge. Ez a szög $0$ és $\pi$ közötti (0°-tól 180°-ig terjed), és a gömbfelületen egy kört határoz meg.
• $\varphi$ vagy $\phi$, azimutszög, az egyenlítősíkban rögzített irány és az origó és a pont közötti szakasz merőleges vetületének szöge. Ennek nagysága $-\pi$-től $\pi$-ig (−180°-tól 180°-ig) vagy 0-tól $2\pi$-ig terjed (0°-tól 360°-ig). A hosszúsági szög megfelelője.

Átszámítások

Minden $(r,\theta ,\varphi )$ hármashoz hozzá van rendelve egy pont. Koordinátái a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben:

${\begin{array}{cll}x&=&r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=&r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=&r\cdot \cos \theta \end{array}}$

Ezekbe az egyenletekbe bármely $r$, $\theta$ és $\varphi$ koordináta behelyettesíthető. Ahhoz, hogy a koordináták egyértelműek legyenek, korlátozni kell értékeiket. Általában: $r$ nemnegatív, $\theta$ értéke $[0,\pi ]$ illetve [0, 180°] eleme, és $\varphi$ a $(-\pi ,\pi ]$ illetve (−180°, 180°], vagy a $[0,2\pi )$ illetve [0, 360°) intervallumba esik. Vannak pontok, melyeknek így is többféleképpen koordinátázhatók. A z-tengely pontjai esetén $\varphi$ tetszőleges. Az origó számára $\theta$ is tetszőleges. Az egyértelműség kedvéért rögzíthetjük, hogy $\varphi =0$, és az origó esetén $\theta =0$.

A többi pont esetén a fentiek szerint választott Descartes-koordináta-rendszerben adott $(x,y,z)$ koordinátáikból az $(r,\theta ,\varphi )$ gömbkoordináták a következőképpen számíthatók:

${r}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}$

${\theta }=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}\ =\arccos {\frac {z}{r}}\ =\ \operatorname {arcctg} {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$

$\varphi =\operatorname {arctg2} (y,x)={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)&{\text{, ha }}x>0,\\\operatorname {sgn}(y){\frac {\pi }{2}}&{\text{, ha }}x=0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &{\text{, ha }}x<0\land y\geq 0,\\\operatorname {arctg} \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &{\text{, ha }}x<0\land y<0.\end{cases}}$

Ezek az egyenletek felteszik, hogy $\varphi$ értéke és $-\pi$ és $\pi$ közötti. Ha $\varphi$ értéke 0 és $2\pi$ közötti, akkor az egyenleteket ennek megfelelően kell módosítani.

Az analízisben és alkalmazásaiban a szögkoordináták többnyire ívmértékben adják meg.

Alkalmazások

A gömbkoordinátákat gyakran használják forgásszimmetrikus rendszerek vizsgálatára. Példák: térfogatintegrálok gömbön, forgásszimmetrikus erőterek, mint például gömb alakú égitestek gravitációja, egy ponttöltés elektromos tere (lásd még: felszíni integrál). A képleteket egyszerűsíti, ha függetlenek egy vagy két gömbi koordinátától. Fontos parciális differenciálegyenletek, mint például a Laplace-egyenlet vagy a Helmholtz-egyenlet gömbi koordinátákban a változók szétválasztásával könnyen megoldhatók.

Alternatív jelölések

A fenti konvenció nemzetközileg használatos az elméleti fizikában. Néha a $\theta$ és $\varphi$ jelöléseket fordítva használják, különösen az amerikai szakirodalomban.

A $\theta$ nem ugyanaz, mint a földrajzi szélesség; inkább ko-szélességként definiálható. A földrajzi szélességet az egyenlítősík és az adott pont helyvektora által bezárt szög, értéke $-90^{\circ }$ és $90^{\circ }$ közötti. Ha ezt $\phi$ jelöli, akkor $\phi =90^{\circ }-\theta ,\theta =90^{\circ }-\phi$. Ezzel szemben $\varphi$ minden további nélkül megfelel a $\lambda$ földrajzi hosszúságnak.

A fenti konvenció inkonzisztens a síkbeli polárkoordináta-rendszer felépítésével. Egyes problémákhoz praktikusabb az

$x=r\cos \phi \,\cos \varphi$

$y=r\cos \phi \,\sin \varphi$

$z=r\sin \phi \quad$

ábrázolás. Ebben az ábrázolásban $\phi$ a földrajzi szélesség.

Egy ${\vec {p}}$ pont, illetve helyvektor visszatranszformációja:

$\phi =\arcsin(z/r)$

$\varphi =\operatorname {atg2} (y,x)$,

ahol $r=|{\vec {p}}|$.

Differenciálok transzformációja

Jacobi-mátrix

Egy koordináta-transzformáció helyi tulajdonságait Jacobi-mátrixszal írják le. A gömbkoordináták transzformációját a fenti Descartes-féle koordináta-rendszerbe a következő mátrix írja le:

$J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}}.$

A hozzá tartozó funkcionáldetermináns:

$\det J=r^{2}\sin \theta$

A transzformáció inverzét legegyszerűbben a $J$ mátrix invertálásával számolhatjuk ki:

$J^{-1}={\frac {\partial (r,\theta ,\varphi )}{\partial (x,y,z)}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\{\frac {1}{r}}\cos \theta \cos \varphi &{\frac {1}{r}}\cos \theta \sin \varphi &-{\frac {1}{r}}\sin \theta \\-{\frac {1}{r}}{\frac {\sin \varphi }{\sin \theta }}&{\frac {1}{r}}{\frac {\cos \varphi }{\sin \theta }}&0\end{pmatrix}}.$

A mátrix néhány komponense olyan tört, melynek nevezője nullává válik, ha $\textstyle r=0$ vagy $\textstyle \sin \theta =0$, tehát $\textstyle \theta =0$ vagy $\textstyle \pi$. Kevésbé szokásos az ábrázolás Descartes-koordinátákkal:

$J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.$

Differenciál, térfogatelem, felszínelem, vonalelem

A Jacobi-mátrix lehetővé teszi, hogy a differenciálok átszámítását átláthatóan átírjuk lineáris leképezéssé:

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}=J\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}$

illetve

${\begin{pmatrix}\mathrm {d} r\\\mathrm {d} \theta \\\mathrm {d} \varphi \end{pmatrix}}=J^{-1}\cdot {\begin{pmatrix}\mathrm {d} x\\\mathrm {d} y\\\mathrm {d} z\end{pmatrix}}$.

A $\mathrm {d} V=\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,\mathrm {d} z$ térfogatelem egyszerűen számítható a

$\det J=r^{2}\sin \theta$

funkcionáldeterminánssal, azaz:

$\,\mathrm {d} V=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} r$.

A ${\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}$ differenciállal kapjuk egy $r$ sugarú gömbön a $\mathrm {d} A$ felszínelemet:

$\mathrm {d} A=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} \theta$.

A $ds$ vonalelem számítható, mint:

$\mathrm {d} s^{2}=\mathrm {d} x^{2}+\mathrm {d} y^{2}+\mathrm {d} z^{2}=\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\mathrm {d} \theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \mathrm {d} \varphi ^{2}$

Metrika és forgatómátrix

A $ds$ vonalelem vegyes tagjainak hiánya visszatükrözi, hogy a metrikus tenzornak sincsenek koordinátái a főátlón kívül:

$g=J^{T}J={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{pmatrix}}$

A metrikus tenzor nyilván a

$h=\operatorname {diag} (1,r,r\sin \theta )$

diagonális mátrix négyzete. Ennek segítségével a Jacobi-mátrix írható úgy, mint $J=Sh$, ahol $S$ az

$S={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &0\end{pmatrix}}$

forgatómátrix.

Vektormezők és operátorok transzformációja

Egy pont gömbi koordinátái a helyfüggő $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }$ ortogonális bázissal

A következőkben vektorok és operátorok transzformációit mutatjuk be. Az eredmények leírásánál előnyben részesítjük a kompakt mátrixos formát. A legtöbb kijelentés és képlet a $z$-tengelyen kívüli pontokra vonatkozik, ahol a Jacobi-determináns nem nulla.

A vektortérbázis transzformációja

A $\varphi$ koordinátához tartozó $\mathbf {e} _{\varphi }$ bázisvektor adja meg egy$P(r,\theta ,\varphi )$ pont mozgásirányát, ha a $\varphi$ koordinátát a $d\varphi$ infinitezimális mennyiséggel elmozdítjuk:

$\mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}$.

Ebből

$\mathbf {e} _{\varphi }\sim {\frac {\partial \mathrm {P} }{\partial \varphi }}={\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{x}+{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{y}+{\frac {\partial z}{\partial \varphi }}\mathbf {e} _{z}=-r\sin \theta \sin \varphi \mathbf {e} _{x}+r\sin \theta \cos \varphi \mathbf {e} _{y}$.

Ahhoz, hogy ortonormált bázist kapjunk, még le kell normálni az $e_{\varphi }$ vektort:

$\mathbf {e} _{\varphi }=-\sin \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \varphi \,\mathbf {e} _{y}$.

Hasonlóan kapjuk az $e_{r}$ és $e_{\theta }$ bázisvektorokra:

$\mathbf {e} _{r}=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} _{z}$

$\mathbf {e} _{\theta }=\cos \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\cos \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}-\sin \theta \,\mathbf {e} _{z}$

Oszlopvektorba írva:

$\mathbf {e} _{r}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi \\\sin \theta \sin \varphi \\\cos \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\theta }={\begin{pmatrix}\cos \theta \cos \varphi \\\cos \theta \sin \varphi \\-\sin \theta \end{pmatrix}},\qquad \mathbf {e} _{\varphi }={\begin{pmatrix}-\sin \varphi \\\cos \varphi \\0\end{pmatrix}}$

Ezek a bázisvektorok az $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }$ sorrendben jobbfogású rendszert alkotnak.

A fent bevezetett $S$ forgatómátrixszal a transzformációk kompakt módon ábrázolhatók:

$(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })=(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})\cdot S$ .

Mivel $S$ ortogonális, azért az inverz transzformáció mátrixa:

$(\mathbf {e} _{x},\mathbf {e} _{y},\mathbf {e} _{z})=(\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi })\cdot S^{T}$.

Az egyes koordinátákhoz tartozó irányokat nevezik radiális, meridionális és azimutális irányoknak. Ezek a fogalmak nemcsak a csillagászatban és a földtudományokban, hanem a fizikában, a matematikában és mérnöki tudományokban is fontosak. Például a Hertz-dipólus esetén, ha az antenna kifeszítésének iránya a $z$-tengely, akkor a sugárzás radiális irányú, míg az elektromos erőtér meridionális, a mágneses erőtér azimutális irányban rezeg.

Vektormező transzformációja

Egy vektornak, mint geometriai entitásnak, függetlennek kell lennie a koordináta-rendszertől:

$A_{x}\mathbf {e} _{x}+A_{y}\mathbf {e} _{y}+A_{z}\mathbf {e} _{z}=\mathbf {A} =A_{r}\mathbf {e} _{r}+A_{\theta }\mathbf {e} _{\theta }+A_{\varphi }\mathbf {e} _{\varphi }.$

Ez úgy teljesül, hogy:

${\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}=S\cdot {\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}$   illetve   ${\begin{pmatrix}A_{r}\\A_{\theta }\\A_{\varphi }\end{pmatrix}}=S^{T}\cdot {\begin{pmatrix}A_{x}\\A_{y}\\A_{z}\end{pmatrix}}$.

A parciális deriváltak transzformációja

A parciális deriváltak szintén transzformálódnak, de normálás nélkül. A fentiekhez hasonlóan számolhatunk, de most kihagyjuk a $P$ pontot a számlálóból, és a $J=Sh$ Jacobi-mátrixot alkalmazzuk az $S$ forgatómátrix helyett:

$\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\cdot J$,

és az inverz transzformáció:

$\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\left({\frac {\partial }{\partial r}},{\frac {\partial }{\partial \theta }},{\frac {\partial }{\partial \varphi }}\right)\cdot J^{-1}$.

A nabla-operátor transzformációja

A $\nabla$ nabla-operátor alakja egyszerű aDescartes-koordináta-rendszerben:

$\mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{x}{\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {e} _{y}{\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {e} _{z}{\frac {\partial }{\partial z}}$.

A fent levezetett módon transzformálva az egységvektorokat és a parciális deriváltakat:

$\mathbf {\nabla } =\mathbf {e} _{r}{\frac {\partial }{\partial r}}+\mathbf {e} _{\theta }{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+\mathbf {e} _{\varphi }{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}$.

Ebben a formában alkalmazható a transzformált nabla-operátor egy gömbkoordinátákkal adott skalármező gradiensének számítására.

Egy gömbi koordinátákkal adott A vektormező divergenciájának kiszámításához tekintetbe kell venni, hogy a $\nabla$ nemcsak az $A_{r},A_{\theta },A_{\varphi }$ együtthatókra, hanem az A-ban implicit jelenlevő $\mathbf {e} _{r},\mathbf {e} _{\theta },\mathbf {e} _{\varphi }$ bázisvektorokra is:

$\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}(r^{2}A_{r})+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}(\sin \theta A_{\theta })+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \varphi }}A_{\varphi }.$

Ugyanerre a rotáció számításánál is ügyelni kell:

$\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} ={1 \over r\sin \theta }\left({\partial \over \partial \theta }(A_{\varphi }\sin \theta )-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right)\mathbf {e} _{r}+{1 \over r}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}(rA_{\varphi })\right)\mathbf {e} _{\theta }+{1 \over r}\left({\partial \over \partial r}(rA_{\theta })-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right)\mathbf {e} _{\varphi }$

A Laplace-operátor transzformációja

Ha az A vektormező divergenciaoperátorát behelyettesítjük a $\nabla$ gradiensoperátorba, akkor a Laplace-operátorhoz jutunk:

$\mathbf {\Delta } =\mathbf {\nabla } ^{2}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$.

illetve

$\mathbf {\Delta } ={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\cos \theta }{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}$.

Általánosítás további dimenziókra

A gömbi koordináták egy általánosítása $n$ dimenzióra:

${\begin{aligned}x_{1}&=r\cos(\phi _{1})\\x_{2}&=r\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})\\x_{3}&=r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\\x_{n}&=r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\end{aligned}}$

Belátható, hogy ez az $n=2$ esetben a polárkoordinátákat és $n=3$ esetén a gömbkoordinátákat adja.

A szögek számítása:

${\begin{aligned}\operatorname {tg} (\phi _{n-1})&={\frac {x_{n}}{x_{n-1}}}\\\operatorname {tg} (\phi _{n-2})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}}}{x_{n-2}}}\\&{}\,\,\,\vdots \\\operatorname {tg} (\phi _{1})&={\frac {\sqrt {{x_{n}}^{2}+{x_{n-1}}^{2}+\cdots +{x_{2}}^{2}}}{x_{1}}}\end{aligned}}$

Átszámozással rekurziós képletet kapunk a szögekre:

${\begin{aligned}x_{n}&=r\cos(\phi _{n-1})\\x_{n-1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cos(\phi _{n-2})\\x_{n-2}&=r\sin(\phi _{n-1})\sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-3})\\&{}\,\,\,\vdots \\x_{2}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=r\sin(\phi _{n-1})\cdots \sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\end{aligned}}$

Ahonnan adódnak a következő szögek:

$\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =\operatorname {sgn}(x_{k}){\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}={\frac {x_{k}}{\left\Vert x_{k}\right\Vert }}{\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}$

ahol $\left\Vert {\vec {L}}_{0}\right\Vert =0$ és

$\operatorname {tg} (\phi _{k})={\frac {\sqrt {x_{k}^{2}+\left\Vert {\vec {L}}_{k-1}\right\Vert ^{2}}}{x_{k+1}}}={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}$

A sugár:

$r=\left\Vert {\vec {L}}_{n}\right\Vert$

Az árkusz tangens miatt esetszétválasztás adódik a megfelelő Descartes-koordinátával bezárt szögre, ahol is a képleteket kiterjesztjük az $\arctan(\pm \,\infty )=\pm \,{\tfrac {\pi }{2}}$ határértékekre is:

${\begin{aligned}\phi _{k}={\begin{cases}\operatorname {arctg} \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right)+\pi ,&{\text{(1) ha: }}x_{k+1}<0\;\land \;k=n-1\\\operatorname {arctg} \left({\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert }{x_{k+1}}}\right),&{\text{(2) ha: }}{\text{nem (1)}}\land \;{\text{nem (3)}}\\0,&{\text{(3) ha: }}x_{k+1}=\left\Vert {\vec {L}}_{k}\right\Vert =0\\\end{cases}}\end{aligned}}$

Innen látszik, hogy ${\begin{aligned}{\vec {L}}_{k}\end{aligned}}$ mindig kétdimenziós vektor, ha ${\begin{aligned}k>0\end{aligned}}$.

Jacobi-mátrix

A gömbkoordináták Jacobi-mátrixa a fenti számozás szerint:

$J=\left({\begin{matrix}\cos(\phi _{1})&-r\sin(\phi _{1})&0&0&\cdots &0\\\sin(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&r\cos(\phi _{1})\cos(\phi _{2})&-r\sin(\phi _{1})\sin(\phi _{2})&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &-r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})\\\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&r\cos(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\sin(\phi _{n-1})&\cdots &\cdots &\cdots &r\sin(\phi _{1})\cdots \sin(\phi _{n-2})\cos(\phi _{n-1})\end{matrix}}\right)$

Determinánsa:

$\det J_{(n)}=r^{n-1}\sin(\phi _{1})^{n-2}\sin(\phi _{2})^{n-3}\cdots \sin(\phi _{n-2})=\displaystyle r^{n-1}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\left(\sin(\phi _{n-k})\right)^{k-1}\quad n\geq 2$

A determináns normája fölötti integrál kifejezhető a $\Gamma$-függvény segítségével:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\dots \int _{0}^{\pi }|\det J_{(n)}|\,{\text{d}}\phi _{1}\dots {\text{d}}\phi _{n-2}{\text{d}}\phi _{n-1}{\text{d}}r={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}\int _{0}^{\pi }(\sin(\phi _{n-k}))^{k-1}{\text{d}}\phi _{n-k}={\frac {2\pi R^{n}}{n}}\cdot \prod _{k=2}^{n-1}{\frac {{\sqrt {\pi }}\;\Gamma \left({\frac {k}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {k+1}{2}}\right)}}={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}\quad n\geq 2$

ami megfelel az $n$-dimenziós hipergömb térfogatának:

$V_{n}(R)={\frac {{\sqrt {\pi }}^{n}R^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}$

Példák

2D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }r\mathrm {d} \phi _{1}\mathrm {d} r=\pi R^{2}$

3D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }r^{2}\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}r={\frac {4\pi R^{3}}{3}}$

4D:

$\int _{0}^{R}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{\pi }r^{3}\sin ^{2}(\phi _{1})\sin(\phi _{2}){\text{d}}\phi _{1}{\text{d}}\phi _{2}{\text{d}}\phi _{3}{\text{d}}r={\frac {\pi ^{2}R^{4}}{2}}$

Egy részletes példa

Az $n=3$ esetben a $x,y,z$ tengelyekkel:

${\begin{aligned}x_{3}&=z=r\cos(\phi _{2})\\x_{2}&=x=r\sin(\phi _{2})\cos(\phi _{1})\\x_{1}&=y=r\sin(\phi _{2})\sin(\phi _{1})\\\end{aligned}}$

Ekkor a szögek:

${\begin{aligned}\operatorname {tg} (\phi _{2})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{2}\right\Vert }{x_{3}}}&={\frac {\sqrt {x_{2}^{2}+x_{1}^{2}}}{x_{3}}}={\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}\\\operatorname {tg} (\phi _{1})={\frac {\left\Vert {\vec {L}}_{1}\right\Vert }{x_{2}}}&={\frac {\sqrt {x_{1}^{2}}}{x_{2}}}={\frac {y}{x}}\end{aligned}}$

Funkcionáldetermináns

A gömbi koordináták transzformációjának Descartes-koordináta-rendszerbe:

$\det {\frac {\partial (x_{1},\dotsc ,x_{n})}{\partial (r,\vartheta _{1},\dotsc ,\vartheta _{n-2},\varphi )}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\dotsm \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}$

Ezzel az $n$-dimenziós térfogatelem:

${\begin{matrix}\mathrm {d} V&=&r^{n-1}\sin \vartheta _{1}\left(\sin \vartheta _{2}\right)^{2}\dotsm \left(\sin \vartheta _{n-2}\right)^{n-2}\mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \mathrm {d} \vartheta _{1}\dotsm \mathrm {d} \vartheta _{n-2}\\&=&r^{n-1}\ \mathrm {d} r\ \mathrm {d} \varphi \ \prod \limits _{j=1}^{n-2}(\sin \vartheta _{j})^{j}\ \mathrm {d} \vartheta _{j}\end{matrix}}.$

Forrás

• Matroids Matheplanet: Einführung in die Vektoranalysis (als PDF) von Eckard Specht

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kugelkoordinaten című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.