Ellipszoid koordináta-rendszer

Az ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós koordináta-rendszer, a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordinátákkal. A kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszer általánosítása, Szemben a legtöbb használatban levő koordináta-rendszerrel, az ellipszoid koordináta-rendszer konfokális másodfokú felületeken alapul.

Alapképletek

A $(\lambda ,\mu ,\nu )$ ellipszoid koordinátákról a következő képletekkel lehet áttérni az $(x,y,z)$ Descartes-koordinátákra:

$x^{2}={\frac {\left(a^{2}+\lambda \right)\left(a^{2}+\mu \right)\left(a^{2}+\nu \right)}{\left(a^{2}-b^{2}\right)\left(a^{2}-c^{2}\right)}}$

$y^{2}={\frac {\left(b^{2}+\lambda \right)\left(b^{2}+\mu \right)\left(b^{2}+\nu \right)}{\left(b^{2}-a^{2}\right)\left(b^{2}-c^{2}\right)}}$

$z^{2}={\frac {\left(c^{2}+\lambda \right)\left(c^{2}+\mu \right)\left(c^{2}+\nu \right)}{\left(c^{2}-b^{2}\right)\left(c^{2}-a^{2}\right)}}$

ahol az egyes koordinátákra a következő egyenlőtlenségek teljesülnek:

$-\lambda <c^{2}<-\mu <b^{2}<-\nu <a^{2}.$

Ebből következően a konstans $\lambda$-hoz tartozó felületek ellipszoidok:

${\frac {x^{2}}{a^{2}+\lambda }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\lambda }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\lambda }}=1,$

míg a konstans $\mu$-jű felületek egyköpenyű hiperboloidok

${\frac {x^{2}}{a^{2}+\mu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\mu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\mu }}=1,$

és a konstans $\nu$-jű felületek kétköpenyű hiperboloidok

${\frac {x^{2}}{a^{2}+\nu }}+{\frac {y^{2}}{b^{2}+\nu }}+{\frac {z^{2}}{c^{2}+\nu }}=1$

Mindezek a felületek konfokális másodfokú felületek.

Skálázási tényezők és differenciáloperátorok

A képletek egyszerűsítésére bevezetjük a következő jelölést:

$S(\sigma )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left(a^{2}+\sigma \right)\left(b^{2}+\sigma \right)\left(c^{2}+\sigma \right)$

ahol $\sigma$ a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordináták bármelyikét reprezentálhatja. Ezzel a skálázási tényezők:

$h_{\lambda }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}{S(\lambda )}}}$

$h_{\mu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}{S(\mu )}}}$

$h_{\nu }={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}{S(\nu )}}}$

Eszerint az infinitezimális térfogatelem:

$dV={\frac {\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)\left(\mu -\nu \right)}{8{\sqrt {-S(\lambda )S(\mu )S(\nu )}}}}\,d\lambda \,d\mu \,d\nu$

és a Laplace-operátor:

${\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi ={}&{\frac {4{\sqrt {S(\lambda )}}}{\left(\lambda -\mu \right)\left(\lambda -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \lambda }}\left[{\sqrt {S(\lambda )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \lambda }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\mu )}}}{\left(\mu -\lambda \right)\left(\mu -\nu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left[{\sqrt {S(\mu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right]\\[1ex]&+{\frac {4{\sqrt {S(\nu )}}}{\left(\nu -\lambda \right)\left(\nu -\mu \right)}}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left[{\sqrt {S(\nu )}}{\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right]\end{aligned}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\lambda ,\mu ,\nu )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Szögparaméterezés

Egy alternatív paraméterezés a gömbkoordináták szögparaméterezését követi:

$x=as\sin \theta \cos \phi ,$

$y=bs\sin \theta \sin \phi ,$

$z=cs\cos \theta .$

Ahol $s>0$ paraméterezi az origó körüli koncentrikus ellipszoidokat, és $\theta \in [0,\pi ]$ illetve $\phi \in [0,2\pi ]$ rendre a polárszög és az azimut. A megfelelő térfogatelem:

$dx\,dy\,dz=abc\,s^{2}\sin \theta \,ds\,d\theta \,d\phi .$

Források

• Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 663. o. (1953) 
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 114. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9 
• Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 101–102. o. (1967) 
• Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 176. o. (1961) 
• The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 178–180. o. (1956) 
• Ellipsoidal Coordinates (η, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd, 3rd print, New York: Springer Verlag, 40–44 (Table 1.10). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7 
• Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7  Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Ellipsoidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.