Bipoláris koordináta-rendszer

Bipoláris koordináta-rendszer. A σ-körök pirossal, a τ-körök kékkel ábrázolva. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

A bipoláris koordináta-rendszer egy kétdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami az Apollóniusz-körökön alapul. Megtévesztő lehet, hogy különböző szerzők más koordináta-rendszereket is bipolárisnak neveznek, mint a kétközepű bipoláris koordinátákat (ahol a két középpontól mért távolságok adják a koordinátákat), és a hasonló elven alapuló kétszögű koordinátákat.

A bipoláris szót használják olyan görbék leírására, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.

Definíció

A bipoláris koordináták geometriai jelentése. A σ szöget a két fókusz és a P pont alkotja, míg τ a fókuszoktól mért távolságok arányának logaritmusa. A σ és τ konstansoknak megfelelő körök rendre pirossal, illetve kékkel ábrázolva, és derékszögben metszik egymást, amit magenta doboz jelöl

A rendszert két fókuszpont, F₁ és F₂ határozza meg. Egy P pont σ koordinátája megegyezik az F₁ P F₂ szöggel, míg a τ koordináta a fókuszoktól mért távolságok, d₁ és d₂ arányának természetes logaritmusa:

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}.$

Ha felveszünk egy Descartes-féle koordinátarendszert úgy, hogy a két fókusz koordinátái (−a, 0) és (a, 0) legyenek, akkor a P pont koordinátái:

$x=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }},\qquad y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}.$

τ értéke bármely valós szám lehet, míg a σ koordináta csak 2π periódus erejéig meghatározott, és többnyire -π és π között definiálják. Negatív értéket akkor vesz fel, ha a P pont az alsó félsíkon, tehát az F₁F₂ egyenes alatt van.

Koordinátavonalak

A konstans σ-nak megfelelő görbék nem koncentrikus körök:

$x^{2}+\left(y-a\operatorname {ctg} \sigma \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\sin ^{2}\sigma }}$

amelyek a fókuszokban metszik egymást. A konstans σ-jú körök középpontjai az y-tengelyre esnek. A pozitív σ-jú körök középpontja az x-tengely fölött található, míg a negatív σ-hoz tartozó körök középpontjai az x-tengely alá esnek. A |σ|- π/2 mennyiség csökkenésével a körök zsugorodnak, középpontjuk pedig a (0, 0) origóhoz közelít; melyet akkor ér el, ha |σ| = π/2. A Thalész-tétel szerint, ha egy háromszög két csúcsa átellenes egy körön, és a harmadik csúcsa is a körön helyezkedik el, akkor a háromszög derékszög.

A konstans τ-jú görbék különböző sugarú, egymást nem metsző körök:

$y^{2}+\left(x-a\operatorname {cth} \tau \right)^{2}={\frac {a^{2}}{\operatorname {sh} ^{2}\tau }}$

melyek körülveszik a fókuszokat, de szintén nem koncentrikusak. A konstans τ-jú körök középpontjai az x-tengelyen fekszenek. A pozitív τ-hoz tartozó körök a jobb félsíkban (x > 0), míg a negatív τ-jú körök a bal félsíkon (x < 0) találhatók. A τ = 0 egyenes az y-tengely (x = 0). Ahogy τ nő, úgy a körök egyre kisebbek, és középpontjaik megközelítik a fókuszokat.

Kapcsolat a Descartes-koordinátákkal

σ értékének változása 0,5-től (lila) π/2 (piros)-ig. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

τ értékének változása 0,5-től (lila) 2 (piros)-ig. Fókuszok a $(-1;0)$ és az $(1;0)$ pontokban

Descartes-koordinátákról így lehet bipoláris koordinátákra áttérni:

$\tau ={\frac {1}{2}}\ln {\frac {(x+a)^{2}+y^{2}}{(x-a)^{2}+y^{2}}}$

és

$\pi -\sigma =2\operatorname {arctg} {\frac {2ay}{a^{2}-x^{2}-y^{2}+{\sqrt {(a^{2}-x^{2}-y^{2})^{2}+4a^{2}y^{2}}}}}.$

A koordinátákra vonatkozó további azonosságok:

$\operatorname {th} \tau ={\frac {2ax}{x^{2}+y^{2}+a^{2}}}$

és

$\operatorname {tg} \sigma ={\frac {2ay}{x^{2}+y^{2}-a^{2}}}.$

ami megkapható az x = 0 határértékként a fenti definícióból.

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők kiszámításához vesszük $x+iy$ egyenletének differenciálját:

$dx+i\,dy={\frac {-ia}{\sin ^{2}{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}(\sigma +i\tau ){\bigr )}}}(d\sigma +i\,d\tau ).$

Ezt az egyenletet komplex konjugáltjával szorozva

$(dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{{\bigl [}2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}{\bigr ]}^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.$

A szinuszokra és koszinuszok szorzatára vonatkozó azonosságok alkalmazásával

$2\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma +i\tau {\bigr )}\sin {\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\sigma -i\tau {\bigr )}=\cos \sigma -\operatorname {ch} \tau ,$

ebből

$(dx)^{2}+(dy)^{2}={\frac {a^{2}}{(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma )^{2}}}{\bigl (}(d\sigma )^{2}+(d\tau )^{2}{\bigr )}.$

Eszerint σ és τ skálázási tényezői megegyeznek, és:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}.$

További eredmények kaphatók az ortogonális koordináta-rendszerek általános egyenletéből behelyettesítéssel. Az infinitezimális területelem:

$dA={\frac {a^{2}}{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}\,d\sigma \,d\tau ,$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right).$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Az ortogonalitás bizonyítása

Az x és y koordináták egyenleteit kombinálva:

$x+iy=ai\operatorname {ctg} \left({\frac {\sigma +i\tau }{2}}\right).$

Eszerint a σ és τ koordináták az x+iy analitikus függvény valós és képzetes része. A konform leképezések általános szerint és a Cauchy-Riemann-egyenletekből adódóan a σ és a τ koordinátagörbéi derékszögben metszik egymást.

Alkalmazások

A bipoláris koordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.

A poláris nyomtatók bipoláris koordináta-rendszert használnak képek rajzolásához szükséges útvonalak kiszámításához.

Kiterjesztések három dimenzióra

A bipoláris koordináták többféleképpen is kiterjeszthetők három dimenzióra az ortogonális tulajdonság megőrzésével:

• bipoláris hengerkoordináta-rendszer, ahol a harmadik koordináta a z-tengely irányú eltolást jelöli
• biszférikus koordináta-rendszer, ami az x-tengely, tehát a fókuszokat összekötő tengely körüli forgatással keletkezik
• toroid koordináta-rendszer, ami az y-tengely, tehát a fókuszokat elválasztó tengely körüli forgatással keletkezik

Források

• "Bipolar coordinates", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Korn GA and Korn TM. (1961) Mathematical Handbook for Scientists and Engineers, McGraw-Hill.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bipolar coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.