Bipoláris hengerkoordináta-rendszer

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer koordinátafelületei. A sárga félhold megfelel σ-nak, míg a piros cső a τ koordinátát jelzi, a kék sík pedig a z=1 megfelelője. A három felület a P pontban találkozik, melyet fekete gömb jelez

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, ami a bipoláris koordináta-rendszerből származtatható a harmadik, z tengely menti eltolással. Az $F_{1}$ és $F_{2}$ fókuszegyenesekre teljesül a Descartes-féle koordináta-rendszerben, hogy rendre $x=-a$ és $x=+a$, illetve $y=0$.

Bipolárisnak neveznek olyan görbéket is, melyeknek két fókuszpontjuk van, mint ellipszisek, hiperbolák és Cassini-oválisok. Azonban nem nevezik bipolárisnak az ezeken az alakzatokon alapuló koordináta-rendszereket, mint például az elliptikus koordinátákat.

Alapvető definíciók

A $(\sigma ,\tau ,z)$ bipoláris hengerkoordináták leggyakoribb definíciója:

$x=a\ {\frac {\operatorname {sh} \tau }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

$y=a\ {\frac {\sin \sigma }{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

$z=\ z$

ahol egy $P$ pont $\sigma$ koordinátája egyenlő a $F_{1}PF_{2}$ szöggel, és a $\tau$ koordináta a $P$ pont fókuszoktól mért távolságainak arányának természetes logaritmusa. A továbbiakban a $PF_{1}$ távolságot $d_{1}$, míg a $PF_{2}$ távolságot $d_{2}$ jelöli. Ezzel a $\tau$ koordináta:

$\tau =\ln {\frac {d_{1}}{d_{2}}}$

Skálázási tényezők

A $\sigma$ és $\tau$ bipoláris koordináták skálázási tényezője megegyezik:

$h_{\sigma }=h_{\tau }={\frac {a}{\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma }}$

illetve a $z$ koordináta skálázási tényezője $h_{z}=1$. Így az infinitezimális térfogatelem

$dV={\frac {a^{2}}{\left(\operatorname {ch} \tau -\cos \sigma \right)^{2}}}d\sigma d\tau dz$

és a Laplace-operátor:

$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}}}\left(\cosh \tau -\cos \sigma \right)^{2}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők a $(\sigma ,\tau )$ koordinátákkal úgy, hogy behelyettesítjük a skálázási tényezőket az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Alkalmazások

A bipoláris hengerkoordináta-rendszer klasszikus alkalmazásai a parciális differenciálegyenletek megoldását segítik, például Laplace egyenletének vagy a Heimholtz-egyenlet, ahol is a bipoláris koordináták lehetővé teszik a változók szétválasztását két dimenzióban. Egy példa a két, különböző átmérőjű hengeres elektromos vezető elektromos mezője.

Források

• Margenau H, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 187–190. o. (1956) 
• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 182. o.. ASIN B0000CKZX7 (1961) 
• Moon P, Spencer DE. Conical Coordinates (r, θ, λ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer-Verlag, unknown. o. (1988). ISBN 978-0-387-18430-2 
• MathWorld description of bipolar cylindrical coordinates

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Bipolar cylindrical coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.