Lapított ellipszoid koordináta-rendszer

A P pont (jelölése fekete gömbbel) a (μ, ν, φ) lapított ellipszoid koordináta-rendszerben. A z-tengely függőleges, a fókuszok ±2-ben helyezkednek el. A piros lapított szferoid (lapított gömb) a μ = 1 koordinátához tartozik. A kék félhiperboloid ν = 45°-nak felel meg. A φ = −60° azimut méri a zöld xz félsík és a P pontot tartalmazó sárga félsík diéderszögét. A P pont Descartes-koordinátái megközelítőleg (1.09, −1.89, 1.66)

A geometriában a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy háromdimenziós ortogonális koordináta-rendszer, mely egy kétdimenziós elliptikus koordináta-rendszerből származtatható úgy, hogy a koordináta-rendszert a fókuszokat elválasztó szimmetriatengely körül forgatjuk meg. Így a fókuszok egy $a$ sugarú gyűrűvé alakulnak az x-y síkban. A másik szimmetriatengely körüli forgatás nyújtott ellipszoid koordináta-rendszert eredményez. Mindkettő tekinthető az ellipszoid koordináta-rendszer egy speciális esetének, ahol két tengely hossza megegyezik.

A lapított koordináta-rendszer hasznos olyan differenciálegyenletek megoldásában, ahol a peremfeltételeket egy lapított ellipszoid vagy egy egyköpenyű forgáshiperboloid mentén határozzák meg. Például így számíthatók Perrin súrlódási tényezői, amiért Jean Baptiste Perrint 1926-ban fizikai Nobel-díjjal tüntették ki. Ezek a tényezők határozzák meg a molekulák rotációs súrlódását, ami fontos különböző technológiák alkalmazásában, mint a fehérje-NMR, amiből következtetni lehet a molekulák alakjára és térfogatára. A lapított szferoid koordináta-rendszer hasznos elektromágnesességgel kapcsolatos problémák megoldásában, az akusztikában, a folyadékdinamikában, illetve az anyagok és a hő terjedésének tanulmányozásában.

A (µ,ν,φ) rendszer

A μ és ν lapított szferoid koordináták képe az x-z síkban, ahol φ nulla és a egy. A konstans μ-höz tartozó görbék piros ellipszisek, míg a konstans ν-höz tartozó görbék félhiperbolákat formáznak ebben a síkban. A z-tengely függőleges, és szétválasztja a fókuszokat; a z és a ν koordiáták előjele mindig megegyezik. Innen a konstans μ-höz és ν-höz tartozó felületek a z-tengely körüli forgatással keletkeznek, ahogy azt a bevezetőben levő ábra mutatja

A leggyakoribb definíció a $(\mu ,\nu ,\varphi )$ koordinátákat használja, ahol:

$${\begin{aligned}x&=a\ \operatorname {ch} \mu \ \cos \nu \ \cos \varphi \\y&=a\ \operatorname {ch} \mu \ \cos \nu \ \sin \varphi \\z&=a\ \operatorname {sh} \mu \ \sin \nu \end{aligned}}$$

ahol $\mu$ nemnegatív valós szám, $\nu \in \left[-\pi /2,\pi /2\right]$ és a $\varphi$ azimutra az $\varphi \in \left[-\pi ,\pi \right]$ összefüggés teljesül. Ezeket a koordinátákat azért kedvelik, mert nem fajulnak el; ha van egy $(\mu ,\nu ,\varphi )$ pont, akkor annak egyértelműen meghatározhatók az $(x,y,z)$ Descartes-koordinátái. A fordítottja szintén igaz, kivéve a $z$-tengelyt és a fókuszgyűrű belsejét.

Koordinátafelületek

A konstans μ-höz tartozó koordinátafelületek ellipszoidok, az

$${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\operatorname {ch} ^{2}\mu }}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\operatorname {sh} ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1$$

trigonometrikus összefüggések miatt, és mivel ellipszisekből keletkeztek úgy, hogy a gyújtópontokat elválasztó szimmetriategely körül forgatták meg őket. Egy x-z síkban levő ellipszis fél nagytengelye a ch μ hosszú, és x-tengely menti, míg a fél kistengelye a sh μ hosszú, és z-tengely menti. A fókuszok az x-tengelyen helyezkednek el, és z-koordináta ±a.

Hasonlóan, a konstans ν-höz tartozó felületek fél egyköpenyű forgáshiperboloidok, mivel

$${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\operatorname {ch} ^{2}\mu -\operatorname {sh} ^{2}\mu =1$$

Ha ν pozitív, akkor a fél hiperboloid az x-y sík fölött van, míg negatív ν esetén az x-y sík alá esik. A ν szög geometriai jelentése a hiperboloidok aszimptotáinak szöge. A hiperboloidok gyújtópontja az x-tengelyen a ±a pontokban van.

Inverz transzformáció

A (μ, ν, φ) a következőképpen számíthatók az (x, y, z) Descartes-koordinátákból. A φ azimut:

$$\operatorname {tg} \phi ={\frac {y}{x}}$$

A ρ cilindersugár:

$$\rho ^{2}=x^{2}+y^{2}$$

és a φ által definiált síkban a fókuszoktól mért távolság:

$${\begin{aligned}d_{1}^{2}=(\rho +a)^{2}+z^{2}\\d_{2}^{2}=(\rho -a)^{2}+z^{2}\end{aligned}}$$

Ezekkel a többi koordináta:

$${\begin{aligned}\operatorname {ch} \mu &={\frac {d_{1}+d_{2}}{2a}}\\\cos \nu &={\frac {d_{1}-d_{2}}{2a}}\end{aligned}}$$

ahol μ mindig nemnegatív, és ν előjele megegyezik z előjelével.

Egy másik módszer az inverz transzformáció kiszámítására:

$${\begin{aligned}\mu &=\operatorname {Re} \operatorname {arch} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\nu &=\operatorname {Im} \operatorname {arch} {\frac {\rho +zi}{a}}\\\phi &=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x}}\end{aligned}}$$

ahol

$$\rho ={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$$

Skálázási tényezők

A skálázási tényezők a $\mu$ és a $\nu$ koordináták esetén megegyeznek:

$$h_{\mu }=h_{\nu }=a{\sqrt {\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}$$

míg az azimut skálázási tényezője

$$h_{\phi }=a\operatorname {ch} \mu \ \cos \nu$$

Így az infinitezimális térfogatelem

$$dV=a^{3}\operatorname {ch} \mu \ \cos \nu \ \left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu \,d\nu \,d\phi$$

és a Laplace-operátor:

$$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left[{\frac {1}{\operatorname {ch} \mu }}{\frac {\partial }{\partial \mu }}\left(\operatorname {ch} \mu {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}\right)+{\frac {1}{\cos \nu }}{\frac {\partial }{\partial \nu }}\left(\cos \nu {\frac {\partial \Phi }{\partial \nu }}\right)\right]+{\frac {1}{a^{2}\operatorname {ch} ^{2}\mu \cos ^{2}\nu }}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Bázisvektorok

A $\mu ,\nu ,\phi$ koordináta-rendszer koordináta-rendszer bázisvektorai Descartes-koordinátákban kifejezhetők, mint:

$${\begin{aligned}{\hat {e}}_{\mu }&={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(\operatorname {sh} \mu \cos \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\operatorname {sh} \mu \cos \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\operatorname {ch} \mu \sin \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\nu }&={\frac {1}{\sqrt {\operatorname {sh} ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}}\left(-\operatorname {ch} \mu \sin \nu \cos \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}-\operatorname {ch} \mu \sin \nu \sin \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}+\operatorname {sh} \mu \cos \nu {\boldsymbol {\hat {k}}}\right)\\{\hat {e}}_{\phi }&=-\sin \phi {\boldsymbol {\hat {i}}}+\cos \phi {\boldsymbol {\hat {j}}}\end{aligned}}$$

ahol ${\boldsymbol {\hat {i}}},{\boldsymbol {\hat {j}}},{\boldsymbol {\hat {k}}}$ a Descartes-féle bázisvektorok. Továbbá ${\hat {e}}_{\mu }$ a konstans $\mu$-höz tartozó ellipszoid felszín kifelé mutató normálvektora, ${\hat {e}}_{\phi }$ az azimuthoz tartozó egységvektor, és ${\hat {e}}_{\nu }$ a lapított szferoid érintősíkjában jobbfogású három dimenzióssá egészíti ki a koordináta-rendszert.

A (ζ, ξ, φ) rendszer

Néha használnak egy (ζ, ξ, φ) rendszert is, ahol $\zeta =\operatorname {sh} \mu$, $\xi =\sin \nu$ és $\varphi$ ugyanaz, mint előbb (Smythe 1968). A $\zeta$ koordinátára teljesül, hogy $0\leq \zeta <\infty$ és a $\xi$ koordinátára $-1\leq \xi <1$.

Kapcsolat a Descartes-rendszerrel:

$${\begin{aligned}x=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\cos \phi \\y=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\,\sin \phi \\z=a\zeta \xi \end{aligned}}$$

Skálázási tényezők

A $(\zeta ,\xi ,\phi )$ koordináták skálázási tényezői:

$${\begin{aligned}h_{\zeta }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1+\zeta ^{2}}}}\\h_{\xi }&=a{\sqrt {\frac {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}{1-\xi ^{2}}}}\\h_{\phi }&=a{\sqrt {(1+\zeta ^{2})(1-\xi ^{2})}}\end{aligned}}$$

A skálázási tényezők ismeretében a koordináták több függvénye is kiszámítható az ortogonális koordináta-rendszerek általános módszerei alapján. Az infinitezimális térfogatelem:

$$dV=a^{3}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)d\zeta \,d\xi \,d\phi$$

A gradiens:

$$\nabla V={\frac {1}{h_{\zeta }}}{\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\,{\hat {\zeta }}+{\frac {1}{h_{\xi }}}{\frac {\partial V}{\partial \xi }}\,{\hat {\xi }}+{\frac {1}{h_{\phi }}}{\frac {\partial V}{\partial \phi }}\,{\hat {\phi }}$$

A divergencia:

$$\nabla \cdot \mathbf {F} ={\frac {1}{a(\zeta ^{2}+\xi ^{2})}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left({\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\zeta }\right)+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left({\sqrt {1-\xi ^{2}}}{\sqrt {\zeta ^{2}+\xi ^{2}}}F_{\xi }\right)\right\}+{\frac {1}{{\sqrt {1+\zeta ^{2}}}{\sqrt {1-\xi ^{2}}}}}{\frac {\partial F_{\phi }}{\partial \phi }}$$

A Laplace-operátor:

$$\nabla ^{2}V={\frac {1}{a^{2}\left(\zeta ^{2}+\xi ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\partial }{\partial \zeta }}\left[\left(1+\zeta ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \zeta }}\right]+{\frac {\partial }{\partial \xi }}\left[\left(1-\xi ^{2}\right){\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\left(1+\zeta ^{2}\right)\left(1-\xi ^{2}\right)}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Lapított szferoid harmonikus függvények

Ahogy a szférikus koordináták és a szférikus harmonikus függvények esetén, a Laplace-egyenlet megoldható a változók szétválasztásával. Ezeket a megoldásokat kényelmes használni, ha a peremfeltételeket egy rögzített koordinátájú felület mentén adták meg.

A változók szétválasztásának módszerével a Laplace-egyenlet egy megoldása:

$$V=Z(\zeta )\,\Xi (\xi )\,\Phi (\phi )$$

Ez egy három egyenletből álló egyenletrendszert ad, minden változóra egy egyenlettel:

$${\begin{aligned}{\frac {d}{d\zeta }}\left[(1+\zeta ^{2}){\frac {dZ}{d\zeta }}\right]+{\frac {m^{2}Z}{1+\zeta ^{2}}}-n(n+1)Z=0\\{\frac {d}{d\xi }}\left[(1-\xi ^{2}){\frac {d\Xi }{d\xi }}\right]-{\frac {m^{2}\Xi }{1-\xi ^{2}}}+n(n+1)\Xi =0\\{\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}=-m^{2}\Phi \end{aligned}}$$

ahol az m konstans egész, mivel a φ változó 2π szerint periodikus. Ekkor az n is egész. Az egyenletek megoldása:

$${\begin{aligned}Z_{mn}&=A_{1}P_{n}^{m}(i\zeta )+A_{2}Q_{n}^{m}(i\zeta )\\[1ex]\Xi _{mn}&=A_{3}P_{n}^{m}(\xi )+A_{4}Q_{n}^{m}(\xi )\\[1ex]\Phi _{m}&=A_{5}e^{im\phi }+A_{6}e^{-im\phi }\end{aligned}}$$

ahol $A_{i}$-k konstansok, $P_{n}^{m}(z)$ és $Q_{n}^{m}(z)$ asszocilt Legendre-polinomok, mégpedig rendre első, illetve másodfajúak. A három megoldás szorzata lapított szferoid harmonikus függvény, és a Laplace-egyenlet általános megoldása:

$$V=\sum _{n=0}^{\infty }\sum _{m=0}^{\infty }\,Z_{mn}(\zeta )\,\Xi _{mn}(\xi )\,\Phi _{m}(\phi )$$

A konstansok csak négy független konstanssá kombinálódnak a harmonikus függvényekben.

A (σ, τ, φ)-rendszer

A P pont (fekete gömbbel jelölve) koordinátafelületei a (σ, τ, φ) alternatív lapított szferoid koordináta-rendszerben. A σ koordinátának megfelelő lapított szferoid pirossal; a φ azimut méri a zöld és a sárga félsíkok szögét. A τ konstanshoz egy egész hiperboloid tartozik, ami kétszeres elfajulást eredményez. Ezt mutatja a két fekete gömb (x, y, ±z)-ben

Néha az alternatív (σ, τ, φ)-rendszert használják, ahol $\varsigma =\operatorname {ch} \mu$ és $\tau =\cos \nu$. Így a σ koordináta legalább egy, míg τ -1 és +1 közé esik, beleértve a határokat. A konstans σ értékekhez ugyanazok a lapított szferoidok tartoznak, mint μ-höz, míg a konstans τ értékekhez teljes forgáshiperboloidok tartoznak, mégpedig a ν-höz és a -ν-höz tartozó két félhiperboloid. Emiatt ezek a koordináták elfajultak, Két, descartes-koordinátákkal adott pont, (x, y, ±z) koordinátái egyeznek ebben a koordináta-rendszerben. Ez látszódik azokból az egyenletekből, amelyek a (σ, τ, φ)-rendszert transzformálják a Descartes-koordináta-rendszerbe:

$${\begin{aligned}x&=a\sigma \tau \cos \phi \\y&=a\sigma \tau \sin \phi \\z^{2}&=a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)\end{aligned}}$$

A $\sigma$ és $\tau$ koordináták egyszerű kapcsolatban állnak a fókuszgyűrűvel való távolsággal. Bármely pont esetén a $d_{1}+d_{2}$ távolság megegyezik $2a\sigma$-val, míg a $d_{1}-d_{2}$ különbség megegyezik $2a\tau$-val. Tehát a fókusztól mért távoli távolság $a(\sigma +\tau )$, míg a közeli $a(\sigma -\tau )$.

Koordinátafelületek

A konstans σ-hoz tartozó felületek, a konstans μ-höz tartozó megfelelőikhez hasonlóan lapított szferoidokat alkotnak:

$${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\sigma ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-1\right)}}=1$$

Hasonlóan, a konstans τ-hoz tartozó felületek egyköpenyű forgáshiperboloidokat alkotnak:

$${\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}\tau ^{2}}}-{\frac {z^{2}}{a^{2}\left(1-\tau ^{2}\right)}}=1$$

Skálázási tényezők

A $(\sigma ,\tau ,\phi )$ rendszer skálázási tényezői:

$${\begin{aligned}h_{\sigma }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sigma ^{2}-1}}}\\h_{\tau }=a{\sqrt {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{1-\tau ^{2}}}}\end{aligned}}$$

míg az azimut skálázási tényezője: $h_{\phi }=a\sigma \tau$.

Ezzel az infinitezimális térfogatelem

$$dV=a^{3}\sigma \tau {\frac {\sigma ^{2}-\tau ^{2}}{\sqrt {\left(\sigma ^{2}-1\right)\left(1-\tau ^{2}\right)}}}\,d\sigma \,d\tau \,d\phi$$

és a Laplace-operátor:

$$\nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sigma ^{2}-\tau ^{2}\right)}}\left\{{\frac {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}{\sigma }}{\frac {\partial }{\partial \sigma }}\left[\left(\sigma {\sqrt {\sigma ^{2}-1}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \sigma }}\right]+{\frac {\sqrt {1-\tau ^{2}}}{\tau }}{\frac {\partial }{\partial \tau }}\left[\left(\tau {\sqrt {1-\tau ^{2}}}\right){\frac {\partial \Phi }{\partial \tau }}\right]\right\}+{\frac {1}{a^{2}\sigma ^{2}\tau ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \phi ^{2}}}$$

A további differenciáloperátorok, mint $\nabla \cdot \mathbf {F}$ és $\nabla \times \mathbf {F}$ kifejezhetők az (μ, ν, φ) koordináták és skálázási tényezőik behelyettesítésével az ortogonális koordináta-rendszerek általános képleteibe.

Ahogy a gömbkoordináták esetén, úgy a lapított koordináta-rendszerben is megoldható Laplace egyenlete az együtthatók szétválasztásával. Ez kényelmes akkor, ha a peremfeltételek a lapított ellipszoid koordináta-rendszer egy koordinátafelületén vannak adva. A megoldások lapított szferoid harmonikusok alakjában adódnak. (Lásd: Smythe, 1968)

Források

• Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill, 662. o. (1953)  Uses ξ₁ = a sinh μ, ξ₂ = sin ν, and ξ₃ = cos φ.
• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett, 115. o. (1992). ISBN 0-86720-293-9  Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k.
• Smythe, WR. Static and Dynamic Electricity, 3rd, New York: McGraw-Hill (1968) 
• Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag, 98. o. (1967)  Uses hybrid coordinates ξ = sinh μ, η = sin ν, and φ.
• Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill, 177. o. (1961)  Korn and Korn use the (μ, ν, φ) coordinates, but also introduce the degenerate (σ, τ, φ) coordinates.
• The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand, 182. o. (1956)  Like Korn and Korn (1961), but uses colatitude θ = 90° - ν instead of latitude ν.
• Oblate spheroidal coordinates (η, θ, ψ), Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions, corrected 2nd ed., 3rd print, New York: Springer Verlag, 31–34 (Table 1.07). o. (1988). ISBN 0-387-02732-7  Moon and Spencer use the colatitude convention θ = 90° - ν, and rename φ as ψ.
• Electrodynamics of Continuous Media (Volume 8 of the Course of Theoretical Physics), 2nd, New York: Pergamon Press, 19–29. o. (1984). ISBN 978-0-7506-2634-7  Treats the oblate spheroidal coordinates as a limiting case of the general ellipsoidal coordinates. Uses (ξ, η, ζ) coordinates that have the units of distance squared.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben az Oblate spheroidal coordinates című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.