Szeparábilis differenciálegyenlet

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A matematikai analízisben szeparábilis (vagy szétválasztható változójú) differenciálegyenletnek olyan közönséges elsőrendű differenciálegyenletet nevezünk, mely előáll

alakban, ahol f és g két, intervallumon értelmezett függvény, y pedig – a keresett függvény – olyan differenciálható függvény, mely az f értelmezési tartományából a g értelmezési tartományába képez és y értelmezési tartományának minden x pontjára teljesül az egyenlőség.

A változói szeparálásával oldható meg sok parciális differenciálegyenlet is. Ekkor szeparábilis megoldásnak nevezzük az olyan megoldást, mely előáll

z(x1,x2,…,xn) = f1(x1)+ f2(x2)+ … +fn(xn) vagy
z(x1,x2,…,xn) = f1(x1)f2(x2)fn(xn)

alakban.

Formális megoldás[szerkesztés]

Tegyük fel, hogy az

szeparábilis differenciálegyenlet esetén f és g folytonos és g sehol sem nulla. Ekkor a megoldás formális lépései a következők:

implicit általános megoldás
explicit általános megoldás

ahol C olyan tetszőleges konstans, mellyel a H-1(F+C) függvénykompozíció nem elfajuló (vagyis az értelmezési tartományának van belső pontja).

Gyakran a H függvénynek (az 1/g primitív függvényének) olyan az alakja, hogy nem lehet felírni elemi függvények segítségével az inverzét. Ekkor vagy meghagyjuk implicit alakban a megoldást, vagy az inverzfüggvény-tételre hivatkozva lokális megoldásra utalunk.

Ha adott y0 = y(x0) kezdeti feltételt kielégítő megoldást keresünk, akkor a H(y0) = F(x0)+C egyenletből kell kifejeznünk C-t és megkapjuk az adott kezdeti feltételt kielégítő partikuláris megoldást.

Egzisztencia-unicitás tétel[szerkesztés]

Tétel – Ha f : R és g : R korlátos és zárt intervallumon értelmezett folytonos függvények és g sehol sem nulla, továbbá y0 ∈ int és x0 ∈ int akkor az

kezdetiérték feladatnak van (nyílt intervallumon értelmezett differenciálható) megoldása és van olyan x0 körüli K nyílt intervallum, ahol bármely két megoldás egyenlő.

Bizonyítás. (Egzisztencia) Az 1/g függvény -n értelmezett folytonos függvény, így létezik integrálfüggvénye. Legyen az y0-ban eltűnő intergálfüggvénye H. 1/g nem nulla, így az intergálszámítás első alaptétele és a globális inverzfüggvény tétel értelmében H invertálható és inverze diffeomorfizmus. Az y0 pont belső pontja -nek, így létezik olyan V nyílt környezete. H ezt a 0 ∈ U nyílt halmazba képezi és H(y0)=0 . De ha F az f függvény x0-ban eltűnő intergálfüggvénye, akkor F(x0) = 0 ∈ U, így F folytonossága miatt létezik x0-nak mint egy belső pontjának olyan nyílt K környezete, hogy F(K) ⊆ U.

Ekkor az

jól értelmezett, differenciálható függvény, mely – a kompozíció és az inverz függvény deriválására vonatkozó szabály értelmében – kielégíti a kezdetiérték feladatot.
(Unicitás) A formális megoldást végigkövetve látható, hogy az előbbi K intervallumon minden y megoldás a

H-1F

függvénnyel egyenlő.

Gyenge megoldások[szerkesztés]

Azt mondjuk, hogy az y ' = f(x)g(y) [y0 = y(x0)] kezdeti érték feladatnak y gyenge megoldása, ha y olyan intervallumon értelmezett folytonos függvény, mely megoldása a

integrálegyenletnek.

Állítás – Ha f : R és g : R integrálható függvények, rendre folytonosak x0 ∈ int -ban és y0 ∈ int -ben és ott nem nulla értékűek, akkor az y ' = f(x)g(y) [y0 = y(x0)] kezdeti érték feladatnak létezik gyenge megoldása.

Bizonyítás. Létezik olyan L zárt intervallum, hogy y0L ⊆ int és ebben 1/g mindenütt értelmezett továbbá

invertálható, sőt inverzével együtt Lipschitz-függvény. Ugyanez igaz egy x0 körüli zárt V környezetre, az

függvény esetén. Ekkor

megfelel az y kívánt tulajdonságainak.