Ellipszoid

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ellipszoid

A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben

,

ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.

Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.

A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

Az ellipszoid térfogatát a

képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.

Felszín[szerkesztés]

Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:

Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy legyen. Ekkor

és ,

így az integrálok

és

Ezzel a felszín

Helyettesítsük be most k-t, -t,

 -t, és  -t

az A egyenletbe. Ezzel

Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:

Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.

Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol a felszínképlet a -hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.

A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne[szerkesztés]

Legyen és legyen az egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.

Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne (forgástengely = z-tengely)

és az orsószferoidé (forgástengely = x-tengely)

A szferoidok felszínképletének levezetése[szerkesztés]

Lencseszferoid[szerkesztés]

b = a, tehát k = 1, ebből és

Legendre egyenletébe helyettesítve:

Orsószferoid[szerkesztés]

b = c, tehát k = 0, ebből

Legendre egyenletébe helyettesítve:

Paraméterezés[szerkesztés]

Jelölje a parametrikus szélességet, és a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:

Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol

Gömbi koordinátákkal,

Lineáris transzformációk[szerkesztés]

Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.

Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.

A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.

Tojás alak[szerkesztés]

A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.[1]

Források[szerkesztés]

  1. Egg Curves by Jürgen Köller.