Logaritmus

A logaritmus két szám között értelmezett matematikai művelet, a hatványozás egyik megfordított (inverz) művelete (a másik a gyökvonás). A pozitív b szám a alapú logaritmusán (ahol a egytől különböző pozitív szám) azt a kitevő-t értjük, melyre a-t emelve b-t kapjuk. Például 1000 10-es alapú logaritmusa 3, mert 10 harmadik hatványa 1000.

A b szám a alapú logaritmusát

$\log _{a}b\;$

jelöli, amely tehát az egyetlen valós szám, amelyre

$a^{\log _{a}\,b}=b.$

Például ${\mbox{ }}_{\log _{3}81=4}$, ugyanis, ha a 81-et a logaritmus alapjának, azaz a 3-nak hatványaként írjuk fel, akkor a kitevő 4 lesz:

$\log _{3}\,81=4\;\;\Leftarrow \;\;81=3^{4}$

A logaritmust John Napier vezette be a szorzást, hatványozást tartalmazó számolások megkönnyítésére. Az elnevezés a görög „λόγος” (logosz, arány) és „ἀριθμός” (arithmosz, szám) szavak összetételéből származik. A számítások megkönnyítésére logarléceket és logaritmustáblázatokat készítettek, amelyek hamarosan elterjedtek a tengerészetben, a tudományokban és a mérnökök között. Ezek az eszközök a logaritmus azonosságait használják fel. A logaritmus mai jelölése Leonhard Eulertől származik, aki elsőként kapcsolta össze az exponenciális függvénnyel.

A 10-es alapú logaritmust a természettudományokban és a mérnöki tudományokban használják. Jelölése: $\operatorname {lg} x$. A természetes logaritmus alapja az e Euler-konstans, és a matematikában széles körűen alkalmazzák. Jelölése $\operatorname {ln} x$. A 2-es alapú logaritmust a számítástudományban és az informatikában alkalmazzák. Jelölése egyszerűen $\log x$, az alap kiírása nélkül. Német nyelvterületen erre az $\operatorname {ld} x$ jelet használják.

A logaritmikus skálák kis tartományon széles tartományú mennyiségeket képesek ábrázolni. Így működik például a látás és a hallás. A decibel egy olyan viszonylagos egység, ami az erő logaritmusának és az amplitudó logaritmusának arányát méri. A kémiában a pH a vizes oldatok kémhatását méri. A földrengések nagyságát is logaritmikus skálában mérik. A bonyolultságelméletben is megjelennek, például az összehasonlításos rendezések bonyolultsága legalább O(n · log n).

A valós számokon a logaritmus a hatványozás inverz művelete. Ez megmarad a komplex számok fölött is. Egy másik változat a diszkrét logaritmus, amit a kriptográfiában is használnak.

Jellemzés

Ahogy a logaritmus definíciója is mutatja, a pozitív számokon értelmezett (nem egy, pozitív alapú)

$\log _{a}:\;x\mapsto \log _{a}x$

függvény az a alapú exponenciális függvény inverze (egészen pontosan a képlet szerint a jobbinverze), vagyis az a^x = exp_a(x) jelölést alkalmazva, minden pozitív x számra

$\exp _{a}(\log _{a}(x))=x\,$.

Emellett a logaritmusfüggvény balinverze is az a alapú exponenciális függvénynek:

$\log _{a}(\exp _{a}(x))=x\,$.

Eszerint a logaritmus művelete a következő eljárással állítja elő a kimenetét. A log_a x az az utasítás, mely az x pozitív számot felírja az a alap valahányadik hatványaként, majd ennek a hatványnak a kitevőjét leolvassa és ezt adja értékül a log_a x kifejezésnek:

$\log _{a}x=\log _{a}a^{n}=n\,$

Például log₁₀1000=3, log₁₀100000=5, log₁₀1 000 000 000=9, illetve log₁₀10ⁿ=n. A tízes alapú logaritmus tehát „a 0-kat számolja meg”. Így az A szám számjegyeinek száma 10-es számrendszerben az (lg A)+1 szám egész része. Általában c-es számrendszerben felírt A szám számjegyeinek száma: (log_cA)+1 egész része.

Jelölésrendszer

A számításokban leggyakrabban a tízes és a kettes alapú logaritmust, valamint az e alapú ún. természetes logaritmust használják. Ezek jelölésére országonként és tudományáganként különböző rövidítések használatosak.

Magyarországon a 10-es alapú logaritmust leggyakrabban

${\mbox{lg}}(x)\,$

jelöli (például középiskolai tankönyvekben is). Az angolszász mintára készült számológépeken a tízes alapú logaritmus jele log(x). A tízes alapú logaritmust még közönséges logaritmusnak is nevezik. Kézi számolásokhoz egyszerű használni a tízes számrendszerhez való alkalmazkodás miatt:

${\mbox{lg}}(10x)={\mbox{lg}}(10)+{\mbox{lg}}(x)=1+{\mbox{lg}}(x).\$

Így a 10-es alapú logaritmus kapcsolódik a decimális jegyek számához: a számjegyek száma az a legkisebb egész, ami szigorúan nagyobb a szám 10-es alapú logaritmusánál. Például ${\mbox{lg}}1430\approx 3,15\,$. A következő egész a 4, ami valóban megegyezik a számjegyek számával. A függvénytáblázatból a logaritmus törtrésze, a mantissza olvasható ki; a karakterisztikát a felhasználónak kell megadnia a szám nagyságrendje alapján.

A másik gyakran használt logaritmus a természetes logaritmus, aminek az alapja az Euler-féle szám, az e. Ennek jele általában

$\ln(x)\,$,

ami a latin „logarithmus naturalis” (természetes logaritmus) kifejezés rövidítése. Gyakran azonban, főleg a számítástudományban log(x) jelöli a természetes logaritmust, míg a tízes alapút log₁₀(x). A matematikai analízisben széles körűen használják kellemes analitikai tulajdonságai miatt. Elterjedt a statisztikában, a gazdaságtani elméletekben, a fizikában, kémiában és egyes mérnöki alkalmazásokban is.

A kettes alapú logaritmust az információelméletben és a számítógéptudományban használják, alkalmazkodva a kettes számrendszerhez. Az információelméletben a természetes logaritmus is előfordul. A zeneelméletben szintén eleve adva van a kettes alap, mivel egy hang és oktávjának frekvernciájának aránya 2. A cent két szomszédos, egyenletesen temperált hang frekvenciájának arányának logaritmusa 1200-zal szorozva. A fényképészetben az expozíciós időt mérik kettes alapú logaritmikus skálán.

Tulajdonságok

Alakja:

Összefüggések

A logaritmusfüggvény művelettartó leképezés a pozitív számok szorzással ellátott halmaza és a valós számok összeadással ellátott halmaza között. Az algebra szaknyelvén ez azt jelenti, hogy a log_a:(0,+∞)$\rightarrow$ R függvény izomorfizmus a ((0,+∞),$\cdot$) és az (R,+) csoport között. A szorzásból összeadást csinál, az osztásból kivonást, az 1-ből 0-t. Mondhatjuk, hogy a logaritmus függvény a hatványozást szorzásra, a szorzást összeadásra vezeti vissza. Tetszőleges a pozitív, nem 1 számra és x, y pozitív számra:

$\log _{a}xy=\log _{a}x+\log _{a}y\,$

$\log _{a}{\frac {x}{y}}=\log _{a}x-\log _{a}y\,$

$\log _{a}x^{k}=k\log _{a}x\,$

$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{a}(x)}{p}}$

Az azonosságok a logaritmus $x=b^{\log _{b}(x)}$ vagy $y=b^{\log _{b}(y)}$ definíciójából helyettesítéssel származtathatók.

Az összeg logaritmusára nincs ismert azonosság.

Bármely logaritmus visszavezethető egy tetszőleges másik alapra:

$\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a}}$

A tudományos számológépek általában csak 10-es vagy természeteslogaritmust tudnak számolni.

Egy adott x pozitív számnak még a log_b(x) logaritmusa is ismert egy ismeretlen b-re, akkor a b szám így számítható:

$b=x^{\frac {1}{\log _{b}(x)}}.$

Analitikai tulajdonságok

A logaritmus mélyebb tanulmányozása a függvény fogalmára támaszkodik. Ez egy olyan reláció, ami értelmezési tartományának minden eleméhez hozzárendel egy, és csakis egy értéket. Ezekből az értékekből áll a függvény értékkészlete. A valós logaritmus, mint függvény a pozitív számokon értelmezett, és értéke befutja a teljes valós számkört.

Ahhoz, hogy a logaritmusfüggvény jóldefiniált legyen, meg kell mutatni, hogy a

$b^{x}=y\,$

egyenlet megoldható, és megoldása egyértelmű, ha b és y is pozitív, és b nem egyenlő eggyel. Ez a Bolzano-tétellel bizonyítható. Eszerint egy folytonos függvény nem ugorhat át egy értéket; ha azon az intervallumon, ahol folytonos, felveszi az a és a b értékeket, akkor minden olyan értéket felvesz, ami a és b között van.

Ez megmutatható az f(x) = b^x függvényre a fenti kikötésekkel. Mivel f akármilyen kicsi és akármilyen nagy pozitív értékeket is felvesz, így minden y > 0 számhoz található f(x₀) és f(x₁) alkalmas x₀-ra és x₁-re. Emiatt a Bolzano-tétel szerint f(x) = y megoldható. Továbbá, mivel f monoton nő, ha b 1-nél nagyobb, és monoton csökken, ha b 1-nél kisebb, a megoldás egyértelmű.

Ez az egyértelmű megoldás y b alapú logaritmusa, log_b(y). A fenti kikötéseknek megfelelő b-vel, mint alappal az y-hoz annak logaritmusát hozzárendelő függvény a logaritmusfüggvény, vagy logaritmus.

A log_b(x) függvény alapvető jellemzője a fenti szorzatképlet:

$\log _{b}(xy)=\log _{b}(x)+\log _{b}(y).$

Pontosabban, ha b > 1, akkor a logaritmus az egyetlen monoton növő függvény, ami eleget tesz az f(b) = 1 és :$f(xy)=f(x)+f(y).$ függvényegyenlet-rendszernek.

Inverz függvény

A log_b(x) logaritmus függvény grafikonja (kék) megkapható a b^x függvény grafikonjának (piros) tükrözésével az x = yegyenesre)

A hatvány logaritmusára vonatkozó képlet alapján minden x számra

$\log _{b}\left(b^{x}\right)=x\log _{b}(b)=x.$

Szavakkal: a b alapot x-edik hatványra emelve és ennek b alapú logaritmusát véve visszakapjuk a b számot.

Megfordítva, ha y pozitív szám, és

$b^{\log _{b}(y)}=y$

akkor először a logaritmust véve és erre emelve az alapot visszakapjuk az y számot. Tehát bármelyik műveletet végezzük előbb és a másikat később, mindannyiszor visszakapjuk az eredeti számot. Emiatt a b alapú logaritmus a b alapú hatványfüggvény inverz függvénye.

Az inverz függvények közeli kapcsolatban állnak az eredeti függvénnyel. Grafikonjuk megkapható az x és az y koordináták felcserélésével, azaz az x = y egyenesre való tükrözéssel. A hatványfüggvény grafikonjának (t, u = b^t) pontja az (u, t = log_bu) pontot adja a logaritmus grafikonján, és megfordítva. Emiatt log_b(x) tart a végtelenbe, ha x tart a végtelenbe, hogyha b nagyobb 1-nél. Ekkor log_b(x) monoton nő. Ha b < 1, akkor a log_b(x) függvény a mínusz végtelenhez tart. Ha x a nullához tart, és b > 1, akkor a logaritmus a mínusz végtelenhez tart; ha pedig b < 1, akkor végtelenhez tart.

Derivált és primitív függvény

A természetes logaritmus grafikonja (zöld) és érintője az x = 1,5 pontban (fekete)

A függvények egyes analitikai tulajdonságai átvihetők az inverz függvényre. Ilyen tulajdonság a folytonosság és a differenciálhatóság. Így, mivel f(x) = b^x deriválható, ezért log_b(y) is differenciálható. Szavakkal: egy folytonos függvény ott deriválható, ahol nincs töréspontja. Továbbá, mivel f(x) deriváltja ln(b)b^x az exponenciális függvény tulajdonsága alapján, ezért a láncszabály szerint log_b(x) deriváltja:

${\frac {d}{dx}}\log _{b}(x)={\frac {1}{x\ln(b)}}.$

Így a b alapú logaritmusfüggvényt az (x, log_b(x)) pontbeli érintő meredeksége 1/(x ln(b)). Továbbá ln(x) deriváltja 1/x, eszerint 1/x határozatlan integrálja ln(x) + c. Az általánosított f(x) általánosított függvény argumentummal:

${\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.$

A jobb oldalon álló hányados f logaritmikus deriváltja. AZ f'(x) derivált kiszámítása a ln(f(x)) felhasználásával logaritmuikus differenciálás néven ismert. Az ln(x) primitív függvénye:

$\int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.$

Más alapú logaritmusokra a logaritmus alapváltásával egy szorzótényező jelenik meg.

A természetes logaritmus mint integrál

A t természetes alapú logaritmusa megegyezik az f(x) = 1/x grafikonja alatt besötétített területtel

Ha t pozitív, akkor a természetes logaritmusa megegyezik 1/x dx integráljával 1 -től t-ig:

$\ln(t)=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.$

Más szavakkal, ln(t) megegyezik az x tengely és az 1/x grafikonja között 1-től t-ig terjedő területtel. Ez az analízis alaptételének és annak a következménye, hogy ln(x) deriváltja 1/x. Az egyenlet jobboldala a természetes logaritmus definíciója lehet. A logaritmus szorzásra és hatványozásra vonatkozó összefüggései is származtathatók ebből. Például az 1=ln(tu) = ln(t) + ln(u) szorzatképlet:

$\ln(tu)=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\ {\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw=\ln(t)+\ln(u).$

Az első egyenlet két részre osztja az integrált, míg a második elvégzi az 1=w = x/t helyettesítést. A bal oldali területet felfelé megnyújtjuk t-szeresére, és vízszintesen összenyomjuk t-edrészére, akkor a terület területe változatlan. Megfelelően eltolva újra illeszkedni fog az 1=f(x) = 1/x függvény grafikonjához. Emiatt a bal terület, ami f(x) integrálja t-től tu-ig, ugyanaz, mint 1 integrálja u-ig. Ez a második egyenlőséget geometriailag demonstrálja.

A geometriai bizonyítás bemutatása

A hatványra vonatkozó 1=ln(t^r) = r ln(t) összefüggés hasonlóan bizonyítható:

$\ln(t^{r})=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw=r\ln(t).$

ahol a második egyenletben a változók helyettesítése: 1=w = x^1/r.

A természetes számok reciprokainak összege a harmonikus sor:

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},$

szorosan kapcsolódik a

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),$

különbséghez. Ha n tart a végtelenbe, akkor a különbség az Euler–Mascheroni-konstanshoz konvergál. Ez segít elemezni az algoritmusok bonyolultságát.

A logaritmus egy másik integrál reprezentációja:

$\ln(x)=-\lim _{\epsilon \to 0}\int _{\epsilon }^{\infty }{\frac {dt}{t}}\left(e^{-xt}-e^{-t}\right)$

Ez6 azzal igazolható, hogy értéke megegyezik x = 1-ben, és ugyanaz a deriváltja.

Transzcendencia

A nem algebrai valós számokat transzcendensnek nevezzük. Például a π és az e transzcendens számok, de például ${\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}$ nem. Majdnem minden valós vagy komplex szám transzcendens. A logaritmus egy példa a transzcendens függvényekre. A Gelfond–Schneider-tétel szerint a logaritmus értéke majdnem mindig transzcendens.

Kiszámítása

Bizonyos esetekben a logaritmus könnyen számítható, például lg 1000 = 3. Általában hatványsorok vagy a mértani és számtani közepek egyenlőtlenségének felhasználásával számítják. Használhatók adott pontosságú táblázatok is a logaritmushoz. A Newton-módszer szintén alkalmazható, mivel inverz függvénye, az exponenciális függvény gyorsan számítható. Ha csak a bitenkénti eltolás és az összeadás érhető el alapműveletként, akkor keresőtáblák és CORDIC-szerű módszerek használhatók a logaritmus számítására. A bináris logaritmus algoritmus a kettes alapú logaritmust számolja sorozatos négyzetre emeléssel, ami ezt a kapcsolatot használja ki:

$\log _{2}(x^{2})=2\log _{2}(x).\,$

Hatványsorok

ln(z) Taylor-sora z = 1 körül.Az animáción az első 10 és a 99. és a 100 approximáció látható. Az approximációk nem konvergálnak a középponttól mért 1 távolságon kívül

Minden 0 < z < 2 valós számra:

$\ln(z)=(z-1)-{\frac {(z-1)^{2}}{2}}+{\frac {(z-1)^{3}}{3}}-{\frac {(z-1)^{4}}{4}}+\cdots$

Mivel ez a logaritmus Taylor-sora, ezért ez értelmezhető úgy is, hogy a

${\begin{array}{lllll}(z-1)&&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&\\(z-1)&-&{\frac {(z-1)^{2}}{2}}&+&{\frac {(z-1)^{3}}{3}}\\\vdots &\end{array}}$

függvények egyre jobban megközelítik a természetes logaritmust. Például, ha z = 1,5, akkor a harmadik approximáció értéke 0,4167, ami 0,011-gyel nagyobb, mint ln(1,5) ~ 0,405465. A sorral a természetes logaritmus akármennyire megközelíthető, ha elég sok tagot összegezünk.Az elemi analízisben ln(z)-t tekintik a sor határértékének. Azonban a konvergencia nem érvényes mindenütt az értelmezési tartományban, ugyanis ez a sorozat a természetes logaritmus z = 1 körüli Taylor-sora, ami nem konvergálhat nagyobb sugarú körben, mert z = 0-ban a logaritmus nincs értelmezve. A Taylor-sor z = 1, |z| < 1-re nyújt közelítést:

$\ln(1+z)=z-{\frac {z^{2}}{2}}+{\frac {z^{3}}{3}}\cdots \approx z.$

Például a z = 0,1-re az első közelítés ln(1,1) ≈ 0,1, aminek hibája kevesebb, mint 5%, hiszen ln(1,1) ~ 0,0953.

Gyorsabban konvergáló sorok

Egy másik ismert sor az area hiperbolikus tangens függvényen alapul:

$\ln(z)=2\cdot \operatorname {arth} \,{\frac {z-1}{z+1}}=2\left({\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{3}+{\frac {1}{5}}{\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)}^{5}+\cdots \right),$

minden valós z > 0 számra. A szigma jelöléssel

$\ln(z)=2\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{2n+1}.$

Ez a sor a Taylor-sorból származtatható, de gyorsabban konvergál annál, különösen, ha z közel van 1-hez. Ha z = 1,5, akkor az első három term által a logaritmusra adott közelítés hibája megközelítően 3 · 10^-6. A gyors konvergencia tovább gyorsítható: Legyen y ≈ ln(z) egy pontatlan közelítés. Legyen $A={\frac {z}{\exp(y)}},\,$. Ekkor z logaritmusa: $\ln(z)=y+\ln(A).\,$. Minél jobb a kezdeti y közelítés, annál közelebb lesz A 1-hez. Ez az A az exponenciális hatványsorral számítható, ami gyorsan konvergál, ha az adott y nem túl nagy. A nagyobb számok logaritmusa kisebb számok logaritmusának összegére bontható, például ha z = a · 10^b, akkor ln(z) = ln(a) + b · ln(10).

Az egészek logaritmusa egy rokon módszerrel számolható. A fenti sor alapján:

$\ln(n+1)=\ln(n)+2\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{2k+1}}\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2k+1}.$

Ha az n szám logaritmusa ismert, akkor ez alapján számolható log(n+1).

A számtani-mértani közepek módszere

A számtani-mértani közepek módszere egy viszonylag pontos közelítést ad a természetes logaritmusra. A következő képlet ln(x)-et 2^−p pontossággal (vagy p jegy pontossággal) közelíti (Carl Friedrich Gauss nyomán):

$\ln(x)\approx {\frac {\pi }{2M(1,2^{2-m}/x)}}-m\ln(2).$

Itt M(x,y) x és y számtani-mértani közepét jelöli. Ez úgy kapható, hogy először kiszámoljuk a pozitív x és y számok számtani és mértani közepét. Ezután ezt ismételgetjük a megkapott két számmal. Ezek gyorsan konvergálnak egy közös határértékhez, az M(x,y) számtani-mértani középhez. Az m szám a pontosságot biztosítja. Nagyobb m-ekhez az M(x,y) pontosabb értéke kell, de az eredmény is pontosabb. A π és az ln(2) konstansok más módszerekkel számolhatók.

Negatív és komplex számok logaritmusa

A z = x + iy komplex szám poláris alakja. Az argumentum nem egyértelmű: φ és φ' is argumentuma z-nek.

A komplex logaritmus főága, Log(z). A fekete pontz = 1-ben a nulla abszolútértéknek felel meg. A telítettebb színek a nagyobb abszolútértéket, a szín az argumentumot jelöli

A logaritmus általánosítható minden, nullától különböző komplex számra, így a negatív számokra is. Adott z komplex szám természetes logaritmusa az a komplex szám, ha $e^{a}=z.\,$ A más alapú logaritmusok ebből számíthatók. Ez azonban nem egyértelmű.

• Nézzük meg egy z = a+bi komplex szám logaritmusát:

log(z) = ln(r) + i*arg(z), ahol a valós szám, r a z komplex szám abszolútértéke, mely a $r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.\,$ képlettel számítható ki és arg(z) pedig a z komplex szám és a valós tengely pozitív része által bezárt szög (radiánban). Az argumentum nem egyértelmű; ha α argumentuma a z komplex számnak, akkor φ + 2π és φ - 2π is argumentuma z-nek. Ugyanis a 2π hozzáadása vagy kivonása a komplex számsík egy 360 fokos forgatásnak felel meg, ami minden komplex számot önmagára képez. Az argumentum főértéke az a φ, amire −π < φ és φ ≤ π. Jelölése Arg(z). (An alternative normalization is 0 ≤ Arg(z) < 2π.)

A komplex szinusz és koszinusz, vagy a komplex exponenciális függvény felhasználásával r-re és φ-re rendre a következők teljesülnek:

${\begin{array}{lll}z&=&r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=&re^{i\varphi }.\end{array}}\,$

Innen következik, hogy e a-adik hatványa z, ha

$a=\ln(r)+i(\varphi +2n\pi ),\,$

ahol φ a z argumentumának főértéke, és n tetszőleges egész. Minden ilyen a érték logaritmusa z-nek. Ezekből végtelen sok van, szemben az egyértelmű valós logaritmussal. A logaritmus egyenletei erre a végtelen értékű logaritmusra megmaradnak. Az Arg(z) = a-val definiált érték a logaritmus főértéke, Log(z). A pozitív számok argumentumának főértéke 0, így a komplex logaritmus főértéke valós szám, és megegyezik a valós logaritmussal. A főértékre szorítkozva azonban elvesznek az azonosságok, mert az egyenlőség lehet, hogy a logaritmus egy másik értékét válasdztva teljesülne.

A jobb oldali kép a természetes logaritmus főágát mutatja be. A negatív oldalon a szín az argumentum ugrása miatt változik meg hirtelen. Ez csak azzal kerülhető el, hogy az argumentum nagyságára nem teszünk kikötést, de ekkor visszakapjuk a végtelen értékű logaritmust. Habár a negatív számok logaritmusa is értelmezett a komplex számsíkon, a negatív számok logaritmusának nincs főértéke.

• Egy komplex szám alapú logaritmust pedig kiszámíthatunk az előbbi összefüggések alapján,

log_w(z) = log(z) ÷ log(w), ahol w és z komplex szám

• Negatív számok logaritmusa kiszámítható az előző összefüggésekkel, ugyanis minden valós szám egyben komplex szám is.

log_a(b) = ln(|b|)+i*π, ahol b egy negatív szám

• Az eredmény képzetes része π, mert minden negatív szám az arg függvényben i*π-t ér. Most nézzünk meg pár példát:

1. Példa:

log(-30)=ln(30)+i*π

Ellenőrzés:

10^ln(30)+i*π=e^{(ln(30)+i*π)*log(10)}=e^ln(30)*(cos(π)+i*sin(π))=30(-1+0*i)=-30

2. Példa:

log_i/2(-1/2) = log(-1/2) / log(i/2) = (ln(1/2)+i*π) / (ln(1/2)+i*π/2)≈ 0,050647 + i*0,361058

Ellenőrzés:

(i/2)^{(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2)}=e^{(ln(1/2)+i*π)/(ln(1/2)+i*π/2) * (ln(1/2)+i*π/2)}=e^ln(1/2)+i*π=e^ln(1/2)*(cos(π)+i*sin(π))=-1/2

Más exponenciális függvények inverzei

A matematikában több részterületen is használják a hatványozást, így az inverz függvények is szóba kerülnek. Például a mátrixok hatványozásának egyik inverz függvénye a többértékű mátrix logaritmus. Egy másik példa a p-adikus számokon értelmezett p-adikus logaritmus, ami a p-adikus exponenciális inverze. Mindezeket a valós Taylor-sor alapján definiálják. A differenciálgeometriában egy exponenciális leképezés egy sokaság egy pontjabeli érintőteret a pont környezetére képezi. Ennek inverzét szintén logaritmikus leképezésnek nevezik.

Alkalmazások

• A fenti tulajdonságok segítségével, ha minden szám logaritmusát tudjuk, akkor a szorzások csupán összeadás műveletével elvégezhetőek, sőt, a hatványozást először szorzásra visszavezetve szintén két összeadással elvégezhetjük. A kitevők összeadását a logaritmus értékeket skálájában tartalmazó logarléc használatakor egyszerű tologatással megoldhatjuk. A logarlécet napjainkban már nemigen használják, de az elv továbbra is használható például számológépekben.

• A logaritmus használatával mennyiségek sok nagyságrendjét egy skálára sűríthetjük. Ennek hasznosságát gyakran a gyakorlat és természet törvényszerűségei is alátámasztják. A különböző fizikai mennyiségék (hangerősség, hangmagasság, fényintenzitás stb.) által keltett, általunk érzékelt fiziológiai érzet a fizikai jel (teljesítményének) logaritmusával arányos. Ez indokolja a logaritmussal arányos decibel-skálák bevezetését. Logaritmikus továbbá a földrengés erősségét jelző Richter-skála is, és számos további példa adható.

• A hangmagasság érzete a hang frekvenciájának logaritmusával arányos, azaz például egyenletes léptéknek észlelt oktávok rendre a frekvencia 2-, 4-, 8-szorosát jelentik.

• A természetben talált legtöbb összefüggés (például fizikai képlet) hatványfüggvény alakú. Ha mindkét tengelyen szereplő értékeknek logaritmusát ábrázoljuk, az ún. log-log ábrán bármely hatványfüggvény lineáris alakot vesz fel, a meredekség pedig a kitevőt adja meg:

$y=cx^{\alpha }$

$\log {y}=\log {c}+\alpha \log x$

$Y=\alpha X+C$

• A fenti elvet használják ki a gyakran alkalmazott különböző logaritmikus grafikonokon, például a Bode-diagram, amely egy rendszer átviteli függvényének log-log ábrázolása.

• Mivel a logaritmus additívvá teszi az egymással szorzódó mennyiségeket, mint például állapotok valószínűségét, alapvető szerepet játszik a statisztikus fizikában használatos entrópia, illetve azzal gazdag analógiákat mutató információmennyiség, hírérték megadásában.