Variancia

A variancia avagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban egy valószínűségi változó eloszlását jellemző szóródási mérőszám.^[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható érték (középérték) körül. A szórásnégyzet a valószínűségi változó második centrális momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.

A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak.

A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.

Definíció[szerkesztés]

Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete az X saját magával vett kovarianciája:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )(X-\mu )\right]\\&=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].\end{aligned}}

Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {Cov} (X,X)\\&=\operatorname {E} \left[XX\right]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]\\&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-(\operatorname {E} [X])^{2}.\end{aligned}}

A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:

{\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2}-2\,X\,\operatorname {E} (X)+(\operatorname {E} (X))^{2})\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2(\operatorname {E} (X))^{2}+(\operatorname {E} (X))^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}.\end{aligned}}

Példa[szerkesztés]

Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:

{\frac {1}{6}}(1+2+3+4+5+6)=3.5.

A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):

{\frac {1}{6}}(|1-3.5|+|2-3.5|+|3-3.5|+|4-3.5|+|5-3.5|+|6-3.5|)={\frac {1}{6}}(2.5+1.5+0.5+0.5+1.5+2.5)=1.5.

A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:

{\frac {1}{6}}(2.5^{2}+1.5^{2}+0.5^{2}+0.5^{2}+1.5^{2}+2.5^{2})=17.5/6\approx 2.9.

Folytonos valószínűségi változó esete[szerkesztés]

Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:

\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}=\int (x-\mu )^{2}\,f(x)\,dx\,=\int x^{2}\,f(x)\,dx\,-\mu ^{2}

ahol $\mu$ , a várható érték,

\mu =\int x\,f(x)\,dx\,

Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.

Diszkrét valószínűségi változó esete[szerkesztés]

Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, $x_{1}\mapsto p_{1},x_{2}\mapsto p_{2},\ldots ,x_{n}\mapsto p_{n}$ tömegfüggvénnyel, akkor

\operatorname {Var} (X)=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot (x_{i}-\mu )^{2})=\sum _{i=1}^{n}(p_{i}\cdot x_{i}^{2})-\mu ^{2}

ahol $\mu$ , a várható érték:

\mu =\sum _{i=1}^{n}p_{i}\cdot x_{i}

.

Exponenciális eloszlás[szerkesztés]

Az exponenciális eloszlás $\lambda$ paraméterrel, egy folytonos eloszlás $\left[0,\infty \right)$ tartományban, a sűrűségfüggvénye:

f(x)=\lambda e^{-\lambda x},\,

a várható érték: $\mu ={\frac {1}{\lambda }}$ , és így a szórásnégyzet:

\int _{0}^{\infty }f(x)(x-\mu )^{2}\,dx=\int _{0}^{\infty }\lambda e^{-\lambda x}(x-\lambda ^{-1})^{2}\,dx=\lambda ^{-2}.\,

σ² = μ².

Főbb tulajdonságok[szerkesztés]

A szórásnégyzet nem lehet negatív:

\operatorname {Var} (X)\geq 0.

Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:

P(X=a)=1\Leftrightarrow \operatorname {Var} (X)=0.

A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:

\operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).

Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.

\operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).

Irodalom[szerkesztés]

Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 978-963-279-026-8

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Jegyzetek[szerkesztés]

↑ Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York

[1] Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York

[1]