Variancia

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A variancia vagy szórásnégyzet a valószínűségszámításban az eloszlásokat jellemző egyik paraméter.[1] A szórásnégyzet megmutatja, hogy egy valószínűségi változó milyen mértékben szóródik a várható értéktől (középérték), más szóval mennyire kenődik el. A szórásnégyzet az eloszlások egyik momentuma, gyakran használják ezt a paramétert a sokféle eloszlás megkülönböztetésére, valamint elméleti számításoknál.

A szórást és az abszolút eltérést egyaránt használják eloszlások jellemzésére. A szórás jobban jellemző, mint az abszolút eltérés, valamint együtt a szórásnégyzettel és a kovarianciával alkalmazzák az elméleti statisztikában. Az abszolút eltérés robusztusabb és kevésbé érzékeny a nagy eltérésekre, melyek mérési anomáliákból származnak. A szórásnégyzet a valószínűségi változó változásainak a mértéke, tekintetbe véve az összes lehetséges értéket és annak valószínűségeit.

Definíció[szerkesztés]

Ha egy X valószínűségi változó várható értéke (középértéke) μ = E[X], akkor az X szórásnégyzete, az X saját magával vett kovarianciája:

Azaz a szórásnégyzet a változó és a várható értéke közötti különbség négyzetének várható értéke. A kovariancia megfelelő kifejezéséből kiterjesztve:

A leggyakrabban használt levezetés a várható értékből:

Példa[szerkesztés]

Tekintsünk egy hatoldalú szabályos dobókockát. A dobás után a várható érték:

A várható abszolút eltérés (az azonosan valószínű abszolút eltérések várható értéke a középértéktől):

A várható négyzetes eltérés, a szórásnégyzet:

Folytonos valószínűségi változó esete[szerkesztés]

Ha X egy folytonos valószínűségi változó f(x) sűrűségfüggvénnyel, akkor a szórásnégyzet egyenlő a második centrális momentummal:

ahol , a várható érték,

Az integrál határozott integrál. Ha a folytonos eloszlásnak nincs várható értéke, mint a Cauchy-eloszlás esetében, akkor szórásnégyzete sincs. Több más eloszlásnak sincs szórásnégyzete, ha nem létezik várható értéke.

Diszkrét valószínűségi változó esete[szerkesztés]

Ha X egy diszkrét valószínűségi változó, x1 ↦ p1, ..., xn ↦ pn, tömegfüggvénnyel, akkor

ahol , a várható érték:

.

Exponenciális eloszlás[szerkesztés]

Az exponenciális eloszlás λ paraméterrel, egy folytonos eloszlás [0,∞) tartományban, a sűrűségfüggvénye:

a várható érték: μ = λ−1, és így a szórásnégyzet:

σ2 = μ2.

Főbb tulajdonságok[szerkesztés]

A szórásnégyzet nem lehet negatív:

Egy állandó változó szórásnégyzete zéró, és ha a szórásnégyzet zéró, akkor 1 valószínűséggel állandó a változó:

A szórásnégyzet invariáns a helyparaméter változásaira, ha egy állandót adunk hozzá a változóhoz, a szórásnégyzet nem változik:

Ha a változót megszorozzuk egy konstanssal, a szórásnégyzet a konstans négyzetével változik.

Irodalom[szerkesztés]

  • Goodman, Leo A: On the exact variance of products. (hely nélkül): Journal of the American Statistical Association. 1960. 708–713. o. ISBN 9789632790268  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) Applied statistics and probability for engineers, page 201. John Wiley & Sons New York