Skálaparaméter

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A skálaparaméter a valószínűségi eloszlások egy speciális numerikus paramétere, a valószínűség-számítás elméletében és a statisztika területén.

Minél nagyobb a skálaparaméter, annál terjedelmesebb, szétszórtabb az eloszlás.

Definíció[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha a valószínűségi eloszlásoknál van egy s paraméter (és más paraméter θ), melyekre a kumulatív eloszlásfüggvény kielégíti az alábbiakat:

F(x;s,\theta) = F(x/s;1,\theta), \!

akkor s–t skálaparaméternek hívják, mivel ez az érték határozza meg a valószínűségi eloszlás szétszórtságát, skáláját (arányait).

Ha s nagy, akkor az eloszlás terjedelmes, szétszórt lesz, ha s kis értékű, akkor az eloszlás koncentráltabb.

Ha a valószínűség-sűrűség létezik az összes paraméter értékre, akkor a sűrűség (csak mint a skálaparaméter függvénye) kielégíti:

f_s(x) = f(x/s)/s, \!

függvényt, ahol f a sűrűség standardizált változatának a jele.

Egyszerű műveletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

f_s-et felírhatjuk g(x) = x/s kifejezéssel is, a következőképpen:

f_s(x) = f(x/s) \times 1/s = f(g(x)) \times g'(x). \!

Mivel f a valószínűség sűrűség függvény:

 1 = \int \limits _{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx  = \int \limits _{g(-\infty)}^{g(\infty)} f(x)\,dx. \!

A behelyettesítési szabály alkalmazásával:


 1 = \int \limits _{-\infty}^{\infty} f(g(x)) \times g'(x)\,dx
   = \int \limits _{-\infty}^{\infty} f_s(x)\,dx.
 \!

Így f_s szintén helyesen normalizált lett.

Arányparaméter[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Néhány eloszlás használja az úgynevezett arányparamétert, mely egyszerűen a skálaparaméter reciproka.

Így például az exponenciális eloszlás β skálaparaméterrel és valószínűség sűrűséggel

f(x;\beta ) = \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} ,\; x \ge 0

leírható a λ arányparaméterrel is:

f(x;\lambda) = \lambda e^{-\lambda x} ,\; x \ge 0.

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Praktikus okokból a normális eloszlást gyakran jellemzik a skálaparaméter négyzetével, \sigma^2, mely megfelel az eloszlás szórásnégyzetének.

  • A gamma-eloszlást rendszerint \theta skálaparaméterrel jellemzik, vagy annak inverzével.
  • Például, ha a helyparaméter és a skálaparaméter is egyenlő zérussal, akkor a normális eloszlás standard normális eloszlásként ismert, és a Cauchy-eloszlás is, mint standard Cauchy-eloszlás.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Sheikh, A. K.; Boah, J. K.; Younas, M: Truncated Extreme Value Model for Pipeline Reliability. (hely nélkül): Reliability Engineering and System Safety 25 (1). 1989. 1–14. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]