Brahmagupta

Brahmagupta
Brahmagupta
Életrajzi adatok
Született	598 Bhinmal
Elhunyt	668 Uddzsaín
Ismeretes mint	matematikus csillagász
Nemzetiség	indiai
Szülei	Jishnugupta
Pályafutása
Szakterület	matematika
A Wikimédia Commons tartalmaz Brahmagupta témájú médiaállományokat.

Brahmagupta (szanszkrit: ब्रह्मगुप्त) (598–668) indiai matematikus és csillagász. Valószínűsíthető, hogy Brahmagupta születési helye Bhillamala (a mai Bhinmal, Rádzsasztán állam). Abban az időben Bhillamala a Gurdzsara dinasztia uralma alatt állt. Brahmagupta apjának neve Dzsisznugupta.

Élete

A Bráhmaszphutasziddhánta XXIV. fejezetének 7. és 8. versében azt mondja, hogy a mű írásakor, Śaka 550-ban (= i.sz. 628) 30 éves volt, és ekkor Vjághramukha király uralkodott, ebből a születési évére 598 adódik.

Munkássága

Brahmagupta volt az első, aki bevezette a nulla használatát, és szabályokat adott meg a használatához a számításokban. Ugyancsak ismertette a negatív számok használatát a matematikában. Megállapította, hogy két negatív szám szorzata pozitív számot ad eredményül.

A szövegek az indiai matematikában szokásos módon versekbe vannak szedve. Mivel bizonyításokat nem közölt, nem lehet tudni, hogy matematikája mire támaszkodott.

Foglalkozott a bolygók mozgásával, a fogyatkozásokkal, és a Hold fázisaival.

Két jelentős hatású művet hagyott hátra, amik a matematika és a csillagászat kérdéseivel foglalkoztak: a Bráhmaszphutasziddhánta („A világegyetem magyarázata”), ami egy 20 kötetes mű, 628-ban jelent meg, ez főleg elméleti értekezés; a másik a Khandakhádjaka („Asztronómiai értekezés”), ami a gyakorlatban használható mű.

Brahmagupta a Dzsantar Mantar csillagászati obszervatórium vezetője volt Uddzsaínban, ami akkoriban az ókori Indiában egyúttal a leghaladóbb matematikai központ volt. Itt Brahmagupta a csillagászati megfigyelések és számítások fejlesztésével is foglalkozott.

A Bráhmaszphutasziddhánta

Legismertebb munkája a Bráhmaszphutasziddhánta, mely a matematikatörténet egyik jelentős műve. Ebben szerepel először a nulla szisztematikus használata és a negatív számokkal történő számolás.

Al-Bírúni történész (c. 1050) Tariq al-Hind című könyvében elmondja, hogy az al-Ma'mun kalifátusnak volt egy követsége Indiában, és ezen keresztül egy könyv érkezett Bagdadba, amit lefordítottak arab nyelvre. A könyv arab címe Szindhind volt. Általános egyetértés van abban, hogy ez a bizonyos Szindhind azonos Brahmagupta Bráhmaszphutasziddhánta című munkájával. A Bráhmaszphutasziddhánta

Brahmagupta leírja a helyiértékes rendszert, amit Indiában akkoriban már használtak, és a számokkal végezhető műveletek módszerét. Brahmagupta megengedi a nulla használatát ezekben a műveletekben; értékét úgy adja meg, hogy egy mennyiségből önmagát kivonja. Őelőtte a nulla csak helyiértéket jelölt (hogy a 23-at a 230-tól meg lehessen különböztetni). Megadja a nulla olyan aritmetikai tulajdonságait, hogy egy számot megszorozva nullával nullát kapunk, vagy hogy egy értékhez nullát adva az érték nem változik. Tárgyalja a negatív számokat, amit szemléletes módon „adósság”-nak nevez, és elsőként jelenti ki, hogy bizonyos számítások eredményeként negatív szám is lehet jó megoldás.

Brahmagupta ezután algebrai kérdésekkel foglalkozik. Bevezet néhány algebrai jelölést, majd lineáris és négyzetes egyenletek megoldási módjait ismerteti. Kitalált egy zseniális módszert az ax² + c = y² formájú Diofantoszi egyenlet egész számra való megoldására. (például helyesen adja meg, hogy az x = 226 153 980 és az y = 1 766 319 049 a legkisebb pozitív számok, amik megoldásai a 61x² + 1 = y² egyenletnek).

Megadja híressé vált képleteit (többek között) a négyzetszámok összegére.

$1+2+...+n={\frac {n\left(n+1\right)}{2}}$

$1^{2}+2^{2}+...+n^{2}={\frac {n\left(n+1\right)\left(2n+1\right)}{6}}$

$1^{3}+2^{3}+...+n^{3}={\frac {n^{2}\left(n+1\right)^{2}}{4}}$

Brahmagupta leírta a következő összefüggést:

$\ 1-\sin ^{2}x=\cos ^{2}x=\sin ^{2}\left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\,$

valamint kidolgozta a Brahmagupta-féle interpolációs képletet, amivel a szinuszfüggvény értékei számíthatók ki.

Ismerteti a négyzetgyökvonás kiszámítási módjait.

A mű egy része konkrét csillagászati kérdésekkel foglalkozik, olyanokkal, mint a nap- és holdfogyatkozás, vagy a bolygók együttállása időpontjának meghatározása.

A mű jelentős mértékű hatást gyakorolt az arab tudósok által művelt matematikára, és az ő munkáikon keresztül később az Európában kialakuló matematika fejlődésére.

A húrnégyszög

A Bráhmaszphutasziddhánta olyan összefüggéseket közöl, mint például a húrnégyszög területének képlete, vagy egyes algebrai egyenletek megoldásai.

A húrnégyszög területének kiszámítására megad egy közelítő és egy pontos értéket adó képletet is:

• Ismert értékek:

$a,b,c,d:$ a négyszög oldalai

$p=a+b+c+d:$ a négyszög kerülete

• közelítő megoldás a húrnégyszög területére:

$A\approx {\frac {\left(a+c\right)}{2}}\times {\frac {\left(b+d\right)}{2}}$

• pontos érték:

$A={\sqrt {\left({\frac {p}{2}}-a\right)\left({\frac {p}{2}}-b\right)\left({\frac {p}{2}}-c\right)\left({\frac {p}{2}}-d\right)}}$

Ezt általában Brahmagupta-képletnek nevezik.

Ha valamelyik értéket nullának vesszük, a pontos értéket adó képlet használható háromszög területének kiszámítására is (később Hérón-képlet néven lett ismert az európai matematikában).

Szintén előszeretettel foglalkozott speciális húrnégyszögekkel, melyeknek átlói merőlegesek egymásra. Bebizonyította például, hogy ha egy húrnégyszög átlói merőlegesek egymásra, és az átlók metszéspontjából merőlegest állítunk a húrnégyszög valamelyik oldalára, akkor e merőleges egyenes a négyszög szemközti oldalát felezi. Ezekről a tételekről és bizonyításaikról részletesebben Dr. Gerőcs László - A húrnégyszögek meghódítása könyvében lehet olvasni.

A gnómon árnyéka

A legősibb napóra a gnómon: egy függőleges tengelyű bot, vessző vagy obeliszk, amely árnyékát egy vízszintes felületre veti, a gnomón árnyéka a Nap delelésekor lesz a legrövidebb és ekkor az árnyék éppen észak-déli irányú

A gnómon árnyékának hossza alapján megállapítható a napfelkelte óta eltelt idő, illetve a napnyugtáig hátralévő idő durva közelítő értéke.

$t={\frac {d}{2\left({\frac {s}{g}}+1\right)}}$

ahol

$t:$ az eltelt idő

$d:$ az időkülönbség a napfelkelte és a naplemente között

$s:$ az árnyék hossza

$g:$ a gnomón hossza

A Khandakhádjaka

Másik munkájában, a Khandakhádjaka címűben („Asztronómiai értekezés”), amit 665-ben írt, főleg csillagászati vonatkozású kérdésekkel foglalkozik. A matematikusok számára fontos volt saját módszerének ismertetése a színusz értékének meghatározására.

Források

• James Tanton, Ph.D.: Encyclopedia of Mathematics, Facts on File, p 51, ISBN 0-8160-5124-0
• Kim Plofker: Mathematics in India, Princeton University Press, 2009, ISBN 978-0-691-12067-6