Sűrűségfüggvény

Annak a valószínűsége, hogy egy valószínűségi változó értéke $a$ és $b$ közé esik, megfelel a valószínűségi sűrűségfüggvény $a$ és $b$ közötti szakaszának görbe alatti területének

A valószínűségszámításban az X valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f pontosan akkor, ha az X-nek az F-fel jelölt eloszlásfüggvénye előállítható a következő alakban:

$F(x)=\int \limits _{-\infty }^{x}f(t)\,dt.$

Szemben a valószínűségekkel, a sűrűségfüggvénynek felvehetnek 1-nél nagyobb értéket is. A valószínűségi eloszlások sűrűségfüggvényeken alapuló konstrukciója szempontjából nem a sűrűségfüggvény által felvett érték a fontos, hanem az integrál.

A sűrűségfüggvény általánosítása az általánosított sűrűségfüggvény, ahol is a Lebesgue-mértékre vonatkozó sűrűségfüggvények a valószínűségi sűrűségfüggvények. A továbbiakban sűrűségfüggvényen valószínűségi sűrűségfüggvényt értünk, kivéve ha azt máshogy jelezzük.

Diszkrét esetben az események valószínűsége megkapható a tartalmazott elemi események valószínűségeinek összegzésével. Folytonos esetben azonban ez nem tehető meg, mivel a nullaszor végtelen értéke bármi lehet. Például két ember csak ritkán pont egyforma magas, eltér egymástól egy hajszállal vagy csak néhány atomnyival. A sűrűségfüggvénnyel tetszőleges intervallum valószínűsége meghatározható, így a nullaszor végtelen probléma megkerülhető.

Definíció

A sűrűségfüggvény definiálható valószínűségeloszlás alapján, vagy pedig a valószínűségeloszlást lehet levezetni a sűrűségfüggvényből.

Az önálló definícióban szerepel az $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ tulajdonság, a nemnegativitás, az integrálhatóság és a normáltság, azaz a teljes $\mathbb {R}$-en vett integrál egy. Ekkor definiálható hozzá

$P([a,b]):=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$ valószínűségeloszlás.

Megfordítva, levezethető valószínűségi mértékből. Ekkor, ha az $f$ függvényre minden $a\in \mathbb {R}$ esetén

$P((-\infty ,a])=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

illetve

$P(X\leq a)=\int _{-\infty }^{a}f(x)\,\mathrm {d} x$

akkor $f$ sűrűségfüggvény.

Tulajdonságai

Létezés

Különböző lognormális eloszlások sűrűségfüggvényei, ahol $\mu =0$

Különböző lognormális eloszlások eloszlásfüggvényei, ahol $\mu =0$

• Diszkrét eloszlású valószínűségi változóknak nincs sűrűségfüggvénye.
• Sűrűségfüggvénye csak folytonos eloszlású valószínűségi változónak lehet.
• Még a folytonos eloszlású valószínűségi változók közül sincs mindnek sűrűségfüggvénye, csak egy speciális osztályuknak, az abszolút folytonos valószínűségi változóknak, melyeket pontosan azzal a tulajdonsággal definiálunk, hogy van sűrűségfüggvényük.

Általános tulajdonságok

• A definícióból nyilvánvalóan látszik, hogy

$\int \limits _{-\infty }^{+\infty }f(t)\,dt=1$

bármely sűrűségfüggvény esetén. Ám az is megmutatható, hogy egy tetszőleges f mérhető függvény pontosan akkor sűrűségfüggvény (vagyis pontosan akkor található hozzá olyan valószínűségi változó, melynek sűrűségfüggvénye) ha f(x) ≥ 0 majdnem mindenütt és a fenti tulajdonság teljesül rá.

• A sűrűségfüggvény ismeretében több, a valószínűségi változóval kapcsolatos esemény valószínűsége megadható. Bármely A Borel-halmaz esetén

${\mathbf {P} }(X\in A)=\int \limits _{A}f(t)\,dt.$

• Speciálisan

${\mathbf {P} }(a\leq X<b)=\int \limits _{a}^{b}f(t)\,dt.$

a két definíció egyenértékű.

Kapcsolat az eloszlásfüggvénnyel

Ha az $F$ eloszlásfüggvény folytonos, és legfeljebb megszámlálható végtelen pontban nem differenciálható, akkor van sűrűségfüggvénye, és:

$F^{\prime }(x)={\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)$

Más jelöléssel, F '(x)=f(x), vagyis az eloszlásfüggvényből egyszerű deriválással kapjuk a sűrűségfüggvényt.

Vannak olyan eloszlások, mint a Cantor-eloszlás, amelyek eloszlásfüggvénye folytonos, és majdnem mindenütt differenciálható, de nincs sűrűségfüggvényük. A folytonos eloszlások eloszlásfüggvénye majdnem mindenütt differenciálható, de a derivált csak az abszolút folytonos részt foglalja magába.

Megfordítva, a sűrűségfüggvényből is kiszámítható az eloszlásfüggvény (abszolút folytonos) része:

$F_{X}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{X}(t)\,\mathrm {d} t$

$F_{P}(x)=\int _{-\infty }^{x}f_{P}(t)\,\mathrm {d} t$

ami azonnal következik a definícióból.

Sűrűségfüggvény részintervallumon

Ha egy $X$ valószínűségi változó csak egy $I$ részintervallumból vesz fel elemeket, akkor a sűrűségfüggvény választható úgy, hogy az $I$ intervallumon kívül a 0 értéket veszi fel. Erre példa az exponenciális eloszlás, ahol $I=[0,\infty [$. Egy alternatív lehetőség az értelmezési tartomány leszűkítése, azaz $f\colon I\to \mathbb {R}$ definiálása. Ekkor az eloszlás sűrűségét az $I$ intervallumon adja meg a Lebesgue-mérték szerint.

Nemlineáris transzformáció

A nemlineáris $Y=g(X)$ transzformáció esetén

$\operatorname {E} (Y)=\operatorname {E} (g(X))=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x$.

Konvolúció

Abszolút folytonos eloszlás esetén a valószínűségeloszlások konvolúciója visszavezethető a sűrűségfüggvények konvolúciójára. Ha $P,Q$ abszolút folytonos eloszlások az $f_{P}$ és $f_{Q}$ eloszlásfüggvényekkel, akkor :$f_{P*Q}=f_{P}*f_{Q}$.

Itt $P*Q$ a $P$ és $Q$ konvolúciója, és $f*g$ az $f$ és $g$ konvolúciója. Tehát a konvolúció és a sűrűségfüggvény képzése felcserélhető.

Ez a tulajdonság közvetlenül átvihető független valószínűségi változók összegére. Legyenek $X,Y$ valószínűségi változók az $f_{X}$ és $f_{Y}$ sűrűségfüggvényekkel, ekkor

$f_{X+Y}=f_{X}*f_{Y}$.

Tehát az összeg sűrűségfüggvénye megegyezik a tagok sűrűségfüggvényeinek konvolúciójával.

Példák

Az exponenciális eloszlás sűrűségfüggvénye különböző paraméterekkel

Az exponenciális eloszlás abszolút folytonos eloszlás, sűrűségfüggvénye

$f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

ahol $\lambda >0$ valós paraméter. Ha $\lambda >1$, akkor az $x=0$ helyen 1-nél nagyobb értéket vesz fel. Az, hogy $f_{\lambda }(x)$ sűrűségfüggvény, adódik az exponenciális függvény elemi integrációs szabályából, a nemnegativitás közvetlenül következik a hatványozás szabályaiból, és az integrálhatóság is bizonyítható.

A véges intervallumon egyenletes eloszlásnak is van sűrűségfüggvénye, például a $[0,1]$ intervallumon. Az általa megadott valószínűség

$P([a,b])=b-a$, ha $a\leq b$ és $a,b\in [0,1]$

Az intervallumon kívüli események valószínűsége nulla. Az $f$ sűrűségfüggvény megfelel az

$\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x=P([a,b])=b-a$

feltételeknek. Az $f(x)=1$ alkalmas függvény, amit a $[0,1]$ intervallumon kívül nulla folytat az integrálhatóság kedvéért. Ezzel a folytonos egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye:

$f(x)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{ ha }}x\in [0,1]\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}$

Egy másik megfelelő függvény:

$f(x)={\begin{cases}\displaystyle 1&{\text{ ha }}x\in (0,1)\\0&{\text{ egyébként }}\end{cases}}$

A két függvény egy Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik csak, és mindkettő megfelel a követelményeknek. Mivel egy tetszőleges pontban meg lehet változtatni az értéket, azért egy valószínűségeloszlásnak legalább kontinuum sok sűrűségfüggvénye van. Az integrálok értéke nem változik, tehát a módosított sűrűségfüggvény is sűrűségfüggvény marad.

Megjegyzések a definícióhoz

Szigorúan véve a definícióban egy $\lambda$ Lebesgue-mérték szerinti integrál szerepel, amit úgy kellene jelölni, hogy $\mathrm {d} \lambda (x)$. Többnyire azonban a Riemann-integrál is megfelel, emiatt szoktak a definícióban $\mathrm {d} x$ integrált írni. A különbséget az jelenti, hogy a Riemann-integrálnak nincs mértékelméleti háttere, míg a Lebesgue-integrálnak van.

A német szakirodalom meg is különbözteti a két eljárást. Amiből a valószínűségeloszlást származtatják, az a Wahrscheinlichkeitsdichte, a másik a Verteilungsdichte.

Létezés és egyértelműség

Valószínűségeloszlásból származtatva

A valószínűségeloszlással definiált esetben a $P$ valószínűségi mértékből származik a valószínűségeloszlás. A normáltságból következik $P(\mathbb {R} )=1$. Mivel a valószínűségek nem lehetnek negatívak, a függvény sehol se negatív. a σ-additív tulajdonság következik a majorált konvergencia tételéből, a sűrűségfüggvénnyel mint majoránssal és az

$f_{n}:=\sum _{i=1}^{n}f\chi _{A_{i}}$

függvénysorozattal, ahol az $A_{i}$ halmazok páronként diszjunktak, és $\chi _{A}$ az $A$ halmaz karakterisztikus függvénye.

Az egyértelműség következik a mérték egyértelműségének tételéből, és a Borel-σ-algebra generátorainak metszetstabil tulajdonságából, ami itt a zárt intervallumok.

A másik definíció alapján

A Radon-Nikodým-tétellel belátható, hogy adott valószínűségeloszláshoz létezik sűrűségfüggvény:

Ha $P$ valószínűségeloszlás, akkor akkor és csak akkor van sűrűségfüggvénye, ha abszolút folytonos a $\lambda$ Lebesgue-mértékre. Ez azt jelenti, hogy ha $\lambda (A)=0$, akkor $P(A)=0$.

Ez nem zárja ki, hogy több sűrűségfüggvény létezik, de mindegyik csak Lebesgue-nullmértékű halmazon különbözik a többitől, azaz majdnem mindenütt egyenlőek.

Emiatt a diszkrét valószínűségeloszlásoknak nincs sűrűségfüggvénye, mivel egy alkalmas $k\in \mathbb {R}$ elemre mindig teljesül, hogy $P(\{k\})>0$. Ezeknek a ponthalmazoknak azonban a Lebesgue-mértéke nulla, vagyis a diszkrét valószínűségeloszlások nem abszolút folytonosak.

A valószínűségek számítása

Alapok

Adva legyen az $f$ sűrűségfüggvény, ekkor az $[a,b]$ intervallum valószínűsége

$P(X\in [a,b])=\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Itt mindegy, hogy az intervallum zárt-e, vagy nyílt, félig nyílt, mivel a folytonos valószínűségi változók esetén egy pont valószínűsége nulla. Formálisan,

$\forall x\in \mathbb {R} \colon \,P(X=x)=0$

$P(a\leq X\leq b)=P(a<X\leq b)=P(a\leq X<b)=P(a<X<b)$

Bonyolultabb halmazok esetén az egyes intervallumokon vett integrálokat kell összeadni. Ekkor a képlet

$P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} x$.

Alkalmazható a σ-additivitás is, ami azt jelenti, hogy a $A_{1},A_{2},A_{3}\dotsc$ páronként diszjunkt intervallumok, és

$A=\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}$

az összes egyesítése, akkor

$P(A)=P\left(\bigcup _{i=1}^{\infty }A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{\infty }\int _{a_{i}}^{b_{i}}f(x)\,\mathrm {d} x$.

ahol $A_{i}=(a_{i},b_{i})$. Ez érvényes véges sok és végtelen számú intervallumra. Diszjunkt intervallumok valószínűsége összeadódik.

Példa

Egy callcenterben két hívás között eltelt idő megközelítően exponenciális eloszlású. Legyen ennek paramétere $\lambda$! Ekkor a sűrűségfüggvény

$f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$.

Az x tengely beosztását a $\lambda$ paraméter határozza meg úgy, hogy $\lambda$ idő alatt várható értékben egy hívás fut be. Annak a valószínűsége, hogy a következő hívás egy és két időegység után következik be:

$P(X\in [1,2])=\int _{1}^{2}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{1}^{2}=-\mathrm {e} ^{-2\lambda }+\mathrm {e} ^{-\lambda }$.

Tegyük fel, hogy egy munkatárs öt időegység hosszú szünetet tart! Annak a valószínűsége, hogy közben nem érkezik hívás, egyenlő azzal a valószínűséggel, hogy a következő hívásig öt vagy több időegység telik el. Ennek valószínűsége

$P(X\geq 5)=1-P(X\leq 5)=1-\int _{0}^{5}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=1-\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{5}=1-\left(-\mathrm {e} ^{-5\lambda }+1\right)=\mathrm {e} ^{-5\lambda }$

Jellemző számadatok meghatározása

Egy valószínűségi változó jellemző számadatai közül több is megadható a valószínűségi változó sűrűségfüggvényének segítségével.

Módusz

Egy valószínűségeloszlás illetve valószínűségi változó módusza definiálható a sűrűségfüggvénnyel: Ahol a sűrűségfüggvénynek maximuma van, ott van a módusz. Formálisan, $x_{\text{mod}}\in \mathbb {R}$ akkor módusza az $f$ sűrűségfüggvényű valószínűségi változónak, ha az $x_{\text{mod}}$ hely lokális maximumhely. ez azt jelenti, hogy

van $\varepsilon >0$, hogy $f(x)\leq f(x_{\text{mod}})$ minden $x\in (x_{\text{mod}}-\varepsilon ;x_{\text{mod}}+\varepsilon )$ helyen.

Egy sűrűségfüggvénynek több lokális maximumhelye is lehet, ekkor az eloszlás bimodális vagy multimodális. Az egyenletes eloszlás esetén minden hely módusz.

Medián

A mediánt rendszerint az eloszlásfüggvénnyel és kvantilisekkel definiálják. Abszolút folytonos eloszlás mediánja számítható sűrűségfüggvénnyel: $x_{\text{med}}$ az eloszlás vagy a valószínűségi változó mediánja, ha:

$\int _{-\infty }^{x_{\text{med}}}f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}$

és

$\int _{x_{\text{med}}}^{+\infty }f(x)\,\mathrm {d} x={\frac {1}{2}}$

Folytonosság miatt $x_{\text{med}}$ mindig létezik, de az egyértelműség nem garantált, például csak két diszjunkt intervallum unióján nullától különböző értékeket felvevő szimmetrikus sűrűségfüggvény esetén.

Várható érték

Ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_{X}$, akkor $X$ várható értéke:

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{+\infty }xf_{X}(x)\,\mathrm {d} x$,

ha az integrál konvergens. Ha nem konvergens, akkor a valószínűségi változónak nincs várható értéke.

Szórásnégyzet és szórás

Ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_{X}$, és várható értéke $\mu =\operatorname {E} (X)$, akkor $X$ szórásnégyzete

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{2}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$.

Vagy az eltolási tétellel:

$\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{2}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x-\mu ^{2}$.

Ezek a képletek csak akkor használhatók, ha az integrálok konvergensek. A szórás a szórásnégyzetből számítható gyökvonással, de sokszor elég a szórásnégyzetet használni.

Magasabb momentumok, ferdeség és lapultság

A fent leírt nemlineáris transzformáció felhasználásával közvetlenül kiszámíthatók a további momentumok. Így ha az $X$ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye $f_{X}$, akkor:

$m_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }x^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

és a k-adik abszolút momentum

$M_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }|x|^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$.

Ha $X$ várható értéke $\mu$, akkor a centrális momentumok:

$\mu _{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$

és az abszolút centrális momentumok:

${\overline {\mu }}_{k}=\int _{-\infty }^{+\infty }|x-\mu |^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$.

Példa

Példaként tekintsük az exponenciális eloszlást:

$f_{\lambda }(x)={\begin{cases}\displaystyle \lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}&x\geq 0\\0&x<0\end{cases}}$

ahol $\lambda >0$ paraméter!

Az exponenciális eloszlásnak mindig módusza a nulla. A $(-\infty ,0)$ intervallumon a sűrűségfüggvény konstans nulla, és az $[0,+\infty )$ intervallumon szigorúan monoton csökken, így a 0 helyen lokális maximum van. A monotóniából következik, hogy nincs több lokális maximum, a módusz egyértelmű.

A centrális momentumokból meghatározható a ferdeség és a lapultság.

A medián meghatározásához elég a $[0,\infty )$ félegyenesen integrálni, mivel a negatív számokon a függvény értéke konstans nulla:

$\int _{0}^{c}\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-\mathrm {e} ^{-\lambda x}\right]_{0}^{c}=-\mathrm {e} ^{-\lambda c}+1\;{\stackrel {!}{=}}\;{\frac {1}{2}}$.

Rövid számolással

$c={\frac {\ln 2}{\lambda }}$.

Ez teljesíti a mediánra vonatkozó második egyenlőséget is, tehát valóban medián.

A várható érték meghatározható parciális integrállal:

$\operatorname {E} (X)=\int _{0}^{+\infty }x\lambda \mathrm {e} ^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[-xe^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty }-\int _{0}^{+\infty }-e^{-\lambda x}\,\mathrm {d} x=\left[{\tfrac {1}{-\lambda }}e^{-\lambda x}\right]_{0}^{+\infty }={\frac {1}{\lambda }}$.

A parciális integrál kétszeri alkalmazásával számítható a szórásnégyzet is.

További példák

Legyen most az $f(x)$ sűrűségfüggvény $f(x)=3x^{2}$, ha $x\in [0,1]$; $f(x)=0$ ha $x<0$; és $f(x)=0$ ha $x>1$! Ekkor $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ valóban sűrűségfüggvény, mivel nemnegatív teljes $\mathbb {R}$-en, továbbá

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}3x^{2}\,\mathrm {d} x=1$.

Minden $x\in [0,1]$ esetén:

$F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)\,\mathrm {d} t=\int _{0}^{x}3t^{2}\,\mathrm {d} t=x^{3}$

Az eloszlásfüggvény

$F_{X}(x)={\begin{cases}0&{\text{ ha }}x<0\\x^{3}&{\text{ ha }}0\leq x\leq 1\\1&{\text{ ha }}x>1\end{cases}}$

Ha $X$ valószínűségi változó, aminek sűrűségfüggvénye $f$, akkor például

$P\left(X\leq {\tfrac {1}{2}}\right)=F\left({\tfrac {1}{2}}\right)={\tfrac {1}{8}}$.

Az $X$ változó várható értéke

$\operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x=\int _{0}^{1}3x^{3}\,\mathrm {d} x={\frac {3}{4}}$.

Többdimenziós sűrűségfüggvény

Többdimenziós valószínűségi változókra is definiálható sűrűségfüggvény, ha eloszlásuk abszolút folytonos. Legyen az $X$ valószínűségi vektorváltozó $\mathbb {R} ^{n}$ értékű; ekkor $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to [0,\infty )$ az $X$ (Lebesgue-mérték szerinti) sűrűségfüggvénye, ha

$P(X\in A)=\int _{A}f(x)\,\mathrm {d} ^{n}x$

minden $A\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} ^{n})$ Borel-halmazra.

Speciálisan, az $n$ dimenziós $I=[a_{1},b_{1}]\times \dotsb \times [a_{n},b_{n}]$ intervallumokra, ahol $a_{1}<b_{1},\dotsc ,a_{n}<b_{n}$ valós számok:

$P(X\in I)=\int _{a_{n}}^{b_{n}}\dotsi \int _{a_{1}}^{b_{1}}f(x_{1},\dotsc ,x_{n})\ \mathrm {d} x_{1}\dotso \mathrm {d} x_{n}$.

Valószínűségi vektorváltozóknak is definiálható eloszlásfüggvény. Itt $F(x)=P(X\leq x)$, ahol az egyenlőtlenség komponensenként értendő. Ekkor $F$ az $\mathbb {R} ^{n}$ teret a [0,1] intervallumra képezi úgy, hogy

$F(x_{1},\dotsc ,x_{n})=\int _{-\infty }^{x_{n}}\dotsi \int _{-\infty }^{x_{1}}f(t_{1},\dotsc ,t_{n})\ \mathrm {d} t_{1}\dotso \mathrm {d} t_{n}$.

Ha $F$ n-szer folytonosan differenciálható, akkor a sűrűségfüggvény parciális differenciálással megkapható:

$f(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})={\frac {\partial ^{n}F(x_{1},x_{2},\dotsc ,x_{n})}{\partial x_{1}\dotso \partial x_{n}}}.$

Az $X_{i}$ komponensek $f_{i}$ sűrűségfüggvényei a peremeloszlások többi komponens szerinti integrálásával kaphatók.

Továbbá: Ha $X=(X_{1},\dotsc X_{n})$ $\mathbb {R} ^{n}$ értékű sűrűségfüggvényes valószínűségi vektorváltozó, akkor a következők ekvivalensek:

• Az $X$ sűrűségfüggvényének alakja $f(x_{1},\dotsc ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdot \ldots \cdot f_{n}(x_{n})$, ahol $f_{i}$ az $X_{i}$ sűrűsége.
• Az $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ valószínűségi változók függetlenek.

Becslés diszkrét adatok alapján

Gyakorisági sűrűség (hisztogram)

Folytonosnak tekintett eloszlásból származó, de diszkréten mért adatok, például testmagasság centiméterben mérve reprezentálhatók gyakorisági sűrűségfüggvényként. Magsűrűségbecslőkkel a sűrűségfüggvény folytonos függvénnyel becsülhető. Az ehhez használt magnak a mérési hibához kell alkalmazkodnia.

Legyen $X_{a}$ approximáló véletlen változó, az $x_{i}$ jellemző mennyiségekkel és $p_{i}$ valószínűségekkel. Az $X_{a}$ diszkrét approximáló valószínűségi változó határátmenete az $X$ folytonos valószínűségi változóba valószínűségi hisztogrammal modellezhető. Ehhez $X$ lehetséges értékeit a $[c_{i-1},c_{i}]$ szakaszokra osztujk fel. Ezek a $\Delta x_{i}$ hosszú intervallumok és a hozzájuk tartozó $x_{i}$ osztályközepek a sűrűségfüggvény approximációját szolgálják, szemléletesen a valószínűségi hisztogrammal, ami az osztályközepekre emelt $p_{i}=f(x_{i})\Delta x_{i}$ téglalapokból áll. Kis $\Delta x_{i}$ esetén $X_{a}$ felfogható a folytonos $X$ valószínűségi változó approximációjaként. Minél rövidebbek a $[c_{i-1},c_{i}]$ szakaszok, annál jobban közelíti $X_{a}$ a folytonos $X$ valószínűségi változót. Az $\Delta x_{i}\rightarrow 0$ határátmenet minden intervallumra a következőhöz vezet:

a szórásnégyzet esetén

$\sum _{i}(x_{i}-\mu )^{2}f(x_{i})\Delta x_{i}\longrightarrow \int _{\mathbb {R} }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x\quad$

a várható érték esetén

$\sum _{i}x_{i}f(x_{i})\Delta x_{i}\longrightarrow \int _{\mathbb {R} }xf(x)\,\mathrm {d} x$.

A sűrűségfüggvény általánosítása

Létezik a matematikai statisztikában a sűrűségfüggvénynek egy általánosítása, az általánosított sűrűségfüggvény, mely a valószínűségi mező egy általánosításán, a statisztikai mezőn értelmezett, s definíciójában olyan mély mértékelméleti eszközöket használ, mint a Radon–Nikodym-derivált. Általánosított sűrűségfüggvénye minden valószínűségi változónak van, s abszolút folytonos esetben a sűrűségfüggvénnyel, míg diszkrét esetben a P függvénnyel azonos.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Lukács O. (2002): Matematikai statisztika. Műszaki Könyvkiadó, Budapest.
• Hans-Otto Georgii: Stochastik: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik. 4. Auflage. de Gruyter Lehrbuch, Berlin 2009, ISBN 978-3-11-021526-7.
• Norbert Henze: Stochastik für Einsteiger. 7. Auflage. Vieweg Verlag, Wiesbaden 2008, ISBN 978-3-8348-0423-5.
• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-76317-8.
• Lothar Sachs, Jürgen Hedderich: Angewandte Statistik: Methodensammlung mit R. 12. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg 2006, ISBN 978-3-540-32160-6.
• N.G. Ushakov: Density of a probability distribution
• Weisstein, Eric W.: Probability Density Function (angol nyelven). Wolfram MathWorld

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.