Log-normális eloszlás

A log-normális eloszlás egy folytonos valószínűség-eloszlás, melyre az jellemző, hogy a valószínűségi változó logaritmusa normális eloszlású.

Ha X valószínűségi változó normális eloszlású, akkor Y=exp(X) log-normális eloszlású. Hasonlóképpen, ha Y log-normális eloszlású, akkor X=log(Y) normális eloszlású.

Ezt az eloszlást Galton-eloszlásnak is szokták hívni Francis Galton után, továbbá más elnevezések is előfordulnak, mint például: McAlister, Gibrat és Cobb–Douglas.

A változókat log-normálisként modellezik, ha független valószínűségi változók többszörös szorzataként jellemezhetők.(Ezt igazolja a log-tartományra érvényes központi határérték-elmélet).

Például a drót nélküli távközlésben az árnyékolás és a lassú fading jelenség okozta jelveszteséget log-normális eloszlásúnak tekintik.

A log-normális eloszlás egy X valószínűségi változóra nézve maximális-entrópia típusú valószínűség eloszlású, ha várható értéke és szórásnégyzete: $\ln(X)$.

Hely- és skálaparaméterek

Sűrűségfüggvény

Kumulatív eloszlás függvény

A normális eloszlás standardizálhatóságán alapul, hogy az X log-normális eloszlású valószínűségi változót egyértelműen jellemzi a μ és a σ értékpár. Ha

$N=\mu +\sigma Z,$

ahol Z egy standard normális eloszlású valószínűségi változó, akkor

$X=e^{N}=e^{\mu +\sigma Z}.$

Az összefüggés igaz függetlenül attól, hogy a függvény logaritmikus vagy exponenciális.

Ha log_a(Y) normális eloszlású, akkor log_b(Y) is az, bármely pozitív számra. Hasonlóképpen, ha $e^{X}$ normális eloszlású, akkor $e^{\ln(a)X}$ is az, ahol a egy pozitív szám, ami nem egyenlő 1-gyel. Logaritmikus ábrázolásnál, a μ és σ-t helyparaméternek, illetve skálaparaméternek hívják.

Jellemzők

A log-normális eloszlású valószínűségi változó csak pozitív valós értéket vehet fel.

Sűrűségfüggvény

A log-normális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye:

$f_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,e^{-{\frac {(\ln x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},\ \ x>0$ (Ez a változók cseréjének szabályából következik)

Kumulatív eloszlásfüggvény

$F_{X}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{2}}\operatorname {erfc} \!\left[-{\frac {\ln x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]=\Phi {\bigg (}{\frac {\ln x-\mu }{\sigma }}{\bigg )},$

ahol erfc a komplementer hibafüggvény, és Φ a standard normális eloszlás kumulatív eloszlásfüggvénye.

Karakterisztikus függvény

A karakterisztikus függvény, E[e ^itX] több megjelenítése is ismert.

Az integrálja konvergál Im(t) ≤ 0. A legegyszerűbb, ha Taylor-sorbafejtést alkalmazunk:

$\varphi (t)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(it)^{n}}{n!}}e^{n\mu +n^{2}\sigma ^{2}/2}.$ A soros megjelenítés divergál, ha σ² > 0. Ez azonban elegendő a karakterisztikus függvény kiszámolására pozitív $\sigma$ esetén, amíg a szumma felső határértéke érvényes, n ≤ N, ahol

$\max(|t|,|\mu |)\ll N\ll {\frac {2}{\sigma ^{2}}}\ln {\frac {2}{\sigma ^{2}}}$

és σ² < 0.1.

Momentumok

A hely- és skálaparaméterek ismerete esetén könnyebben használható a mértani középérték és a geometrikus szórás, mint az számtani középérték és a szórás.

Geometrikus momentumok

A log-normális eloszlás mértani közepe: $e^{\mu }$. Mivel a log-normális eloszlás logaritmusa szimmetrikus, és a kvantilisek monoton transzformáción megmaradnak, a mértani közepe (várható értéke) egyenlő a mediánnal. A mértani közép (m_g) levezethető az számtani középből (m_a):

$m_{g}=m_{a}e^{-{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}.$

A mértani szórás: $e^{\sigma }$

Aritmetikai momentumok

Ha X log-normális eloszlású valószínűségi változó, akkor a várható értéke (E, számtani középérték), szórásnégyzete (Var), és szórása (s.d.) a következő:

${\begin{aligned}&\operatorname {E} [X]=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}},\\&\operatorname {Var} [X]=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}\\&\operatorname {s.d.} [X]={\sqrt {\operatorname {Var} [X]}}=e^{\mu +{\tfrac {1}{2}}\sigma ^{2}}{\sqrt {e^{\sigma ^{2}}-1}}.\end{aligned}}$

Fordítva: a μ és σ paraméterek megkaphatók, ha a várható érték és a szórásnégyzet ismert:

${\begin{aligned}\mu &=\ln(\mathrm {E} [X])-{\frac {1}{2}}\ln \!\left(1+{\frac {\mathrm {Var} [X]}{(\mathrm {E} [X])^{2}}}\right),\\\sigma ^{2}&=\ln \!\left(1+{\frac {\mathrm {Var} [X]}{(\mathrm {E} [X])^{2}}}\right).\end{aligned}}$

Bármely s valós vagy komplex számra és a log-normális X-re:

$\operatorname {E} [X^{s}]=e^{s\mu +{\tfrac {1}{2}}s^{2}\sigma ^{2}}.$

A log-normális eloszlást nem határozzák meg kizárólagosan a momentumai E[X^k] k ≥ 1 esetre, azaz létezik néhány más eloszlás is hasonló momentumokkal az összes k-ra. Valójában egy nagy eloszlás család létezik hasonló momentumokkal, mint a log-normális eloszlás.

Módusz és medián

Középérték, medián, módusz, különböző ferdeségek esetén

A módusz a sűrűségfüggvény maximális pontja. Elsősorban megoldja a (ln ƒ)′ = 0 egyenletet:

$\mathrm {Mode} [X]=e^{\mu -\sigma ^{2}}.$

A medián az a pont, ahol F_X = 1/2:

$\mathrm {Med} [X]=e^{\mu }\,.$

Szórási tényező

${\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}$

Egyéb összefüggés

Egy adathalmaz, mely a log-normális eloszlásból származik, szimmetrikus Lorenz-görbe. A harmonikus (H), mértani (G) és számtani (A) közép (várható érték) kapcsolódik egymáshoz; és ez a kifejezés adja meg az összefüggést:

$H={\frac {G^{2}}{A}}.$

A log-normális eloszlások végtelenül oszthatók.

Alkalmazások

• Biológia:
  • Élő szövetek méretei (hosszúság, súly, bőrfelület))
  • Inaktív emberi testrészek hosszúság (haj, köröm, fogak)
  • egyes fiziológiás mérések (például : vérnyomás férfi/női populációnál)
• Hidrológia:
  • Esőzési adatok (extrém értékek)
  • Folyó áradások adatai
• Gazdaság:
  • A lakosság jövedelme 97–99%-a log-normális eloszlást mutat.
• Pénzügyek
• Black-Scholes modell: átváltási ráták, árindexek, tőzsde mutatók
• Települések:
  • Városok mérete log-normális eloszlású
• Megbízhatósági analízis:
  • Karbantartási idők meghatározásánál log-normális eloszlást is használnak
• Drót nélküli kommunikáció:
• Mechanika:
  • Súrlódási tényezők számítása

Irodalom

• Johnson, Norman L.; Kotz, Samuel; Balakrishnan, N: Lognormal Distributions", Continuous univariate distributions. (hely nélkül): New York: John Wiley & Sons. 1994.  
• Leipnik, Roy B: On Lognormal Random Variables: I – The Characteristic Function", (hely nélkül): Journal of the Australian Mathematical Society Series B, 32. 1991.  

Külső hivatkozások

• A log-normális eloszlás a MathWorld-ön (angolul)