Koordináta-rendszer

Descartes-féle koordináta-rendszer

Koordináták (egymástól független méretek) segítségével megadható egy tetszőleges pont helyzete a térben, vagy a síkban. A koordináta-rendszer egy sík, vagy egy tér, melyben egy kezdőpontot és tengelyeket jelölünk ki, melyektől a koordináták mérhetők.

Descartes-féle koordináta-rendszer

Bal- és jobbsodrású koordináta-rendszer

A síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben egy P pont helyzetét az xy síkon az $(x, y)$ koordináta-kettőssel adhatjuk meg. A két tengely metszéspontja a koordináta-rendszer kezdőpontja vagy origója.

• $x$ a P pont előjeles távolsága az y-tengelytől és
• $y$ a P pont előjeles távolsága az x-tengelytől.

Térbeli Descartes-koordináta-rendszerben egy P pont helyzetét az xyz térben az $(x, y, z)$ koordináta-hármassal adhatjuk meg.

• $x$ a P pont előjeles távolsága az yz síktól,
• $y$ a P pont előjeles távolsága az xz síktól és
• $z$ a P pont előjeles távolsága az xy síktól.

A térbeli pont helye koordinátáinak megadásával nem egyértelmű, rögzíteni kell a koordináta-tengelyek egymáshoz viszonyított helyzetét is. Az ábra mutatja az úgynevezett bal- és jobbsodrású rendszerben a koordináta-tengelyek elhelyezkedését. A gyakorlatban legtöbbször jobbsodrású rendszert használnak, ha a forrás külön nem említi, akkor jobbsodrású rendszerről van szó. A tájékozódást a gyakorlatban a jobbkéz-szabály segíti.

Polárkoordináták

Átszámítás a két koordináta-rendszer között

A polárkoordináta-rendszer síkbeli koordináta-rendszer, melyet O kezdőpontja (az origó) és egy ebből kiinduló L félegyenes definiál. Az L' félegyenest polártengelynek is hívják. Ha Descartes-féle koordináta-rendszerben polárkoordinátákkal kell megadni adatokat, akkor általában origóként a (0,0) pontot, L félegyenesként pedig az x tengely pozitív részét (az origótól jobbra eső részt) választják.

Polárkoordináta-rendszerben egy P pont helyét két adattal adják meg: $(r, \vartheta)$.

• $0\leq{r}$ (sugár) a pontnak a 0 kezdőponttól való távolsága,
• $0\leq\vartheta<360^\circ$ szög pedig az L félegyenes és a sugár által bezárt szög.

Abban az esetben ha a Descartes-féle koordináta-rendszer és a polárkoordináta-rendszer kezdőpontja egybeesik és a polártengely az x tengely pozitív részével azonos, polárkoordinátákról Descartes koordinátákra az átszámítás:

$x = r \cos \vartheta \,$

$y = r \sin \vartheta, \,$

Az $x$ és $y$ Descartes-koordináta átszámítása polárkoordinátákra:

$r = \sqrt{x^2 + y^2} \,$ (a Pitagorasz-tételből)

A $\vartheta$ szögkoordináta meghatározásához a következő megfontolásokat kell tenni$\vartheta$

• $r$ = 0 esetén $\vartheta$ bármely valós értéket felvehet,
• $r$ ≠ 0 esetén ahhoz, hogy $\vartheta$ értékét egyértelműen megkapjuk, tartományát 2π-re kell korlátoznunk. Általában ez a tartomány [0, 2π) és (‒π, π] szokásos értéke.

$\vartheta$ értékének kiszámítása a [0, 2π) tartományra a tangens függvény inverzével számítható:

$\theta = \begin{cases} \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) & \mbox{ha } x > 0 \mbox{ valamint } y \ge 0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + 2\pi & \mbox{ha } x > 0 \mbox{ valamint } y < 0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ha } x < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y > 0\\ \frac{3\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y < 0 \end{cases}$

A (‒π, π] intervallumra pedig:

$\vartheta = \begin{cases} \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) & \mbox{ha } x > 0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) + \pi & \mbox{ha } x < 0 \mbox{ valamint } y \ge 0\\ \mathrm{arctg}(\frac{y}{x}) - \pi & \mbox{ha } x < 0 \mbox{ valamint } y < 0\\ \frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y > 0\\ -\frac{\pi}{2} & \mbox{ha } x = 0 \mbox{ valamint } y < 0 \end{cases}$

Hengerkoordináták

A hengerkoordináták térbeli alakzatok leírására szolgálnak.

Egy P pontot három koordinátája $(r, \vartheta, h)$ definiál.

• $0\leq{r}$ (sugár) a távolság a z tengely és a P pont között,
• $0\leq\vartheta<360^\circ$ szög a pozitív x tengely és az xy síkra vetített sugár között és
• $h \,\!$ (magasság) a P pont és az xy sík közötti előjeles távolság.

A hengerkoordinátáknál is fellép a polárkoordinátáknál leírt redundancia; $\vartheta$ elveszíti jelentőségét $r=0$-nál (vagyis akármilyen értéket felvehet).

Hengerkoordinátákat körszimmetrikus rendszerek analízisénél érdemes használni. Például egy végtelen hosszú henger, melynek egyenlete Descartes-féle koordináta-rendszerben $x^2+y^2=c^2$, hengerkoordinátákban az $r=c$ egyenletre egyszerűsödik.

Gömbi koordináták

A gömbi koordináták is térbeli objektumok leírására szolgálnak.

Egy P pontot meghatározó három koordináta $(\varrho, \vartheta, \varphi)$:

• $0\leq\varrho$ (sugár) a távolság a $P$ pont és a koordináta-rendszer kezdőpontja között,
• $0\leq\varphi\leq 180^\circ$ (szélesség) a $z$-tengely és a sugár között és
• $0\leq\vartheta<360^\circ$ (hosszúság) a pozitív $x$-tengely és a sugárnak az $xy$-síkra eső vetülete közötti szög.
  

Gauss-féle koordináták

A Gauss-féle koordinátákat akkor szoktuk alkalmazni, mikor egy euklideszi térben meg van adva egy felület és ezen a szabálytalan sík felületen szeretnénk szerkesztéseket végezni.

Egy P pontot két koordinátával tudunk meghatározni: $P(u;v)\,$, mint ahogy az ábrán is látható, így az ábrán megjelölt P pont helye: $P(3;2)\,$.

Az ábrán látható két görbe közé még végtelen görbét be lehetne rajzolni, ami az x görbe és x+1 görbe közti összes valós számnak felelne meg.

Vegyünk egy P' pontot, melyhez a következő koordináták tartoznak: $P(u+du;v+dv)\,$, ahol a du és dv nagyon kicsi számokat jelöl. A P és P' közötti távolság szintén nagyon kicsi szám lesz, amit ds -el jelölünk, azaz Gauss szerint: $ds^2=g_{11}du^2+2g_{12}dudv+g_{22}dv^2\,$, ahol a g₁₁, g₁₂ és g₂₂ olyan számokat jelölnek, amik függnek u-tól és v-től. Ezek a mennyiségek szabják meg a mérőeszköz viselkedését a görbékhez képest.

Ha az u és v görbék egyenes vonalak lennének, akkor euklideszi geometria lenne érvényes, azaz a fenti egyenlet így nézne ki: $ds^2=du^2+dv^2\,$

A Gauss-féle koordináta-rendszer megfontolása legjobban a kétdimenziós terekre érvényes, de alkalmazható három, illetve négydimenziós terekre is, ahogy Einstein is tette az általános relativitás elméletében.

Forrás

• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-53091
• Free On-line Dictionary of Computing

Lásd még

• Abszcissza, Ordináta
• Földrajzi koordináta-rendszer
• Csillagászati koordináta-rendszer