Inverzió (matematika)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az inverzió geometriai transzformáció, ami nem hasonlósági transzformáció, de az érintkezést megtartja.

Legyen kijelölve egy G gömb az E euklideszi térben; középpontját jelölje O, sugarát r. A G gömbre vonatkozó inverzióban az x pont képe megadható vektorosan: \frac{xr^2}{|x|^2}. Másként: x képe az a pont, ami az Ox félegyenesen van, és a középponttól mért távolsága r^2/|x|. Ekkor G az inverzió alapgömbje. A O pont az inverzió középpontja vagy pólusa, r^2 az inverzió hatványa.

Tulajdonságai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Négyzete az identitás.
  • Fixpontjai az alapgömbjének pontjai.
    • A középpontján átmenő hipersíkokat és az alapgömböt merőlegesen metsző gömböket önmagukba viszi.
  • Megcseréli az alapgömb belsejét és külsejét.
  • Nincs értelmezve a középpontjában. A végtelen távoli ponttal bővített térben a középpont a végtelenbe képződik.
  • Gömb vagy hipersík képe gömb vagy hipersík.
  • Szögtartó, érintkezéstartó a gömbök és hipersíkok körében.
  • Az alacsonyabb dimenziós gömbök és alterek körében is szögtartó és érintkezéstartó.
    • A középpontban érintkező gömbök és hipersíkok képei párhuzamos hipersíkok.
  • A metsző altérre vett leszűkítése is inverzió. Ennek alapgömbje az inverzió alapgömbjéből kimetszett alacsonyabb dimenziós gömb.
  • Irányításváltó.

A komplex számsíkon[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A síkbeli inverzió tekinthető a komplex számokon értelmezett függvénynek. Különösen egyszerűen lehet tárgyalni az egységkörre vett inverziót:

A z komplex szám inverze w=\frac{1}{\bar z}.

Így bizonyíthatók a síkbeli inverzió következő tulajdonságai:

  • A középponton átmenő kör középponton át nem menő egyenesre képeződik
  • Annak a körnek a képe, ami nem megy át a középponton, a középponton át nem menő kör
  • Az inverzió nem reguláris függvény, mert megváltoztatja az irányítást. Másként: nem reguláris, mert előáll az 1/z és a konjugálás kompozíciójaként, és a konjugálás nem reguláris.

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Simon-Baderkó: Másodrendű parciális differenciálegyenletek – inverzió értelmezése magasabb dimenzióban is
  • Halász Gábor: Komplex függvénytan – az egységkörre vett inverzió a komplex számsíkon
  • Reiman István: Geometria és határterületei – inverzió a komplex síkon tulajdonságokkal