Homogén koordináták

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Az olyan koordináta-rendszereket nevezik homogénnek, amelyekben a pontot azonosító rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva ugyanazt a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk.

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók.

Tartalomjegyzék 1 Fontosabb típusok 2 Az egyenes projektív koordinátái 3 A sík projektív koordinátái 4 A tér projektív koordinátái 5 Rácspontok 6 Irodalom

[szerkesztés] Fontosabb típusok

• Projektív koordináták.
• Súlyponti (baricentrikus) koordináták.
• Plücker-féle derékszögű homogén koordináták.

A projektív koordináta-rendszer az általános, a többi ennek speciális esete. (A magyar geometria tankönyvek tévesen a Plücker-féle koordinátákat és csak ezeket nevezik homogénnek! )

[szerkesztés] Az egyenes projektív koordinátái

A projektív rendszert az egyenesen kívüli pontból induló két bázis-vektorral - - adjuk meg. A két bázis egy tetszőleges lineáris kombinációja egy olyan vektort ad meg, aminek egyenese az adott egyenest egy P pontban metszi.

Definíció: Az [x₀;x₁] rendezett pár elemei a P pont koordinátái.

A definíció következménye: [μx₀;μx₁] = [x₀;x₁] , mert a μ szorzó az és az vektor-komponenseket és ezzel a eredőt arányosan nyújtja meg. A vektor egyenese nem változik, ugyanazt a P pontot jelöli ki.

Súlyponti koordinátákat akkor kapunk, ha a bázisvektorok "végpontja" az egyenesre esik.

Az egyenes Plücker-féle koordinátáit az egyenesre merőleges és párhuzamos, egyenlő hosszúságú bázis-pár szolgáltatja.

Egységpont: A bázis-vektorok összege olyan pontot jelöl ki, melynek koordinátái E[1;1] = [μ;μ]

A koordnáta-rendszer az egyenes három (különböző) pontjának kijelölésével egyértelműen megadható:

• R = {A₀,A₁,E} .

[szerkesztés] A sík projektív koordinátái

Az egyeneshez hasonlóan a sík koordináta-bázisát is egy külső pontból indítjuk. A különbség csupán a dimenzióban van. A síkbeli P pontot a bázis lineáris kombinációjával adott eredő-vektor egyenese döfi ki. A pontkoordináták eszerint:

• P[μx₀;μx₁;μx₂].

A bázistól függetlenül is (anélkül, hogy a síkból kilépnénk) megadható a koordináta-rendszer a három alappont és az egységpont kitűzésével: R = {A₀,A₁,A₂,E} . (Kikötés: A négy pont hármasával nem eshet egy egyenesbe!)

A súlyponti és a derékszögű homogén (az ábrán) koordináták ugyanúgy adódnak, mint az egyenesnél.

[szerkesztés] A tér projektív koordinátái

A térben a koordináta-rendszert a négy alappontjával (tetraéder) és az egységponttal tűzhetjük ki:

• R = {A₀,A₁,A₂,A₃,E}.

A súlyponti rendszer egységpontját az alaptetraéder geometriai súlypontjában kell felvenni. A térbeli Plücker-féle rendszer alappontjai és egységpontja a Descartes-rendszerével esnek egybe.

[szerkesztés] Rácspontok

Az egyenes projektív rácspontjai azok, amelyeknek koordinátáinak hányadosa egész szám. Mivel a hányados (arány) nem kommutatív, kétféle rácspont-sorozatot kapunk. Az egyik az

...,[1; − 1],[1;0],[1;1],[1;2],[1;3],...

A másik a reciprok rácsok sorozata

...,[ − 1;1],[0;1],[1;1],[2;1],[3;1],...

A (piros) projektív skála rácspontjai megfelelnek egy centrálisan vetített (kék) számegyenes rácspontjainak. A sík projektív rácspontjai és a rácsvonalak alkotják a Möbius-hálót, mely a perspektivikus térábrázolásban játszik szerepet.

[szerkesztés] Irodalom

• Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
• Coxeter,H.S.M.: Projektív geometria - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
• Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai - ELTE-Mikrológia 43, 2002.