Homogén koordináták

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az olyan koordináta-rendszereket nevezik homogénnek, amelyekben a pontot azonosító rendezett pár (hármas, négyes stb.) elemeit egy nullától különböző számmal megszorozva ugyanazt a pontot azonosító párt (hármast, négyest…) kapjuk.

(x_0, x_1) = (\mu\cdot x_0, \mu\cdot x_1)

A homogén koordináták igazi jelentőségét az adja, hogy használatukkal az ideális térelemek (pont, egyenes, sík) is megadhatók.

Fontosabb típusok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Projektív koordináták.
  • Súlyponti (baricentrikus) koordináták.
  • Plücker-féle derékszögű homogén koordináták.

A projektív koordináta-rendszer az általános, a többi ennek speciális esete. (A magyar geometria tankönyvek egy része a nemzetközi terminológiával nem lévén összhangban, a Plücker-féle koordinátákat és csak ezeket nevezik homogénnek! )

Az egyenes (1D-tér) projektív koordinátái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Proj-koor-01.gif

A projektív rendszert az egyenesen kívüli pontból induló két bázis-vektorral - \vec{a_0} , \vec{a_1} - adjuk meg. A két bázis egy tetszőleges lineáris kombinációja egy olyan \vec{p} = x_0\vec{a_0}+x_1\vec{a_1} vektort ad meg, aminek egyenese az adott egyenest egy P pontban metszi.

Definíció: Az [x_0; x_1] rendezett pár elemei a P pont koordinátái.

A definíció következménye: [\mu x_0; \mu x_1] = [x_0; x_1] , mert a \mu szorzó az x_0\vec{a_0} és az x_1\vec{a_1} vektor-komponenseket és ezzel a \vec{p} eredőt arányosan nyújtja meg. A vektor egyenese nem változik, ugyanazt a P pontot jelöli ki.

Proj-koor-02.gif

Súlyponti koordinátákat akkor kapunk, ha a bázisvektorok "végpontja" az egyenesre esik.

Proj-koor-03.gif

Az egyenes Plücker-féle koordinátáit az egyenesre merőleges és párhuzamos, egyenlő hosszúságú bázis-pár szolgáltatja.

Egységpont: A bázis-vektorok összege olyan pontot jelöl ki, melynek koordinátái E[1;1] = [\mu;\mu]

A koordnáta-rendszer az egyenes három (különböző) pontjának kijelölésével egyértelműen megadható:

  • R =\{A_0, A_1, E\} .

A sík (2D-tér) projektív koordinátái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Proj-koor-04.gif

Az egyeneshez hasonlóan a sík koordináta-bázisát is egy külső pontból indítjuk. A különbség csupán a dimenzióban van. A síkbeli P pontot a bázis lineáris kombinációjával adott \vec{p} = x_0\vec{a_0}+x_1\vec{a_1} +x_2\vec{a_2} eredő-vektor egyenese döfi ki. A pontkoordináták eszerint:

  • P[\mu x_0; \mu x_1; \mu x_2].

Proj-koor-05.gif

A bázistól függetlenül is (anélkül, hogy a síkból kilépnénk) megadható a koordináta-rendszer a három alappont és az egységpont kitűzésével: R =\{A_0, A_1, A_2, E\} . (Kikötés: A négy pont hármasával nem eshet egy egyenesbe!)

Proj-koor-06.gif

A súlyponti és a derékszögű homogén (az ábrán) koordináták ugyanúgy adódnak, mint az egyenesnél.

A 3D-tér projektív koordinátái[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Proj-koor-07.gif

A térben a koordináta-rendszert a négy alappontjával (tetraéder) és az egységponttal tűzhetjük ki:

  • R =\{A_0, A_1, A_2, A_3, E\}.

A súlyponti rendszer egységpontját az alaptetraéder geometriai súlypontjában kell felvenni. A térbeli Plücker-féle rendszer alappontjai és egységpontja a Descartes-rendszerével esnek egybe.

Rácspontok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az egyenes projektív rácspontjai azok, amelyeknek koordinátáinak hányadosa egész szám. Mivel a hányados (arány) nem kommutatív, kétféle rácspont-sorozatot kapunk. Az egyik az

...,[1;-1],[1;0],[1;1],[1;2],[1;3],...

A másik a reciprok rácsok sorozata

...,[-1;1],[0;1],[1;1],[2;1],[3;1],...

Proj-koor-08.jpg

A (piros) projektív skála rácspontjai megfelelnek egy centrálisan vetített (kék) számegyenes rácspontjainak. A sík projektív rácspontjai és a rácsvonalak alkotják a Möbius-hálót, mely a perspektivikus térábrázolásban játszik szerepet.

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajós György: Bevezetés a geometriába - Tankönyvkiadó, Budapest, 1960.
  • Coxeter,H.S.M.: Projektív geometria - Gondolat Kiadó, Budapest, 1986.
  • Hack Frigyes: A 3D-grafika geometriai alapjai - ELTE-Mikrológia 43, 2002.