Sokaság (matematika)
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/5c/Klein_bottle.svg/140px-Klein_bottle.svg.png)
A matematikában a sokaság egy olyan topologikus tér, amely lokálisan minden pontja körül egy Euklidészi térre hasonlít. Pontosabban megfogalmazva, egy -dimenziós sokaság egy olyan topologikus tér, melyben minden pontnak van olyan környezete, amely homeomorf az dimenziós Euklidészi tér egy nyílt részhalmazához.
Egydimenziós sokaság például az egyenes, a kör, viszont nem tartozik a sokaságok közé a lemniszkáta, azaz a végtelen jele. Kétdimenziós sokaságokat általánosan felszínnek nevezünk, ismertebb példái a sík, a gömb, a tórusz vagy a Klein-féle palack.
A sokaság fogalma jelentős fontossággal bír a geometria számos területein és a matematikai fizikában, mert lehetővé teszi bonyolult alakzatok egyszerűbb leírását ismert terek topológiai tulajdonságai által. A sokaságok megjelenhetnek egyenletrendszerek megoldáshalmazaiként vagy függvények grafikonjaiként egyaránt.
A sokaságokat el lehet látni további struktúrával, hogy konkrétabb példákban legyenek alkalmazhatóak: a differenciálható sokaság, mely egy halmaz ellátva egy differenciálható struktúrával, a differenciálgeometria egyik legfontosabb fogalma. Egy Riemann-metrikával ellátott sima sokaságon meghatározhatóak szögek és hosszak egy nem feltétlenül lapos (Euklidészi) téren. Szimplektikus sokaságokkal modellezhetőek a Hamilton-féle klasszikus mechanika fázisterei, továbbá Lorentz-sokaságokkal leírható a téridő az általános relativitáselméletben.
Definíciók
[szerkesztés]Topologikus sokaságok
[szerkesztés]Geometriában és topológiában minden sokaság egy topologikus sokaság, amely a következőképp van definiálva:
Egy adott topologikus tér egy -dimenziós sokaság, ha Hausdorff (T2), megszámlálható bázisa van (M2), és minden -nek létezik olyan környezete, ami homeomorf -nel. Homeomorfiának nevezünk egy olyan leképezést két topologikus tér között, amely bijekció, folytonos és az inverze is folytonos. Habár léteznek nem-Hausdorff sokaságok is, ezek inkább tekinthetőek a sokaság-fogalom általánosításaként, így a leggyakrabban egy sokaság Hausdorff-nak és megszámlálható bázisúnak van definiálva.
Peremes sokaságok
[szerkesztés]Habár a sokaságokat nyílt halmazok segítségével definiáljuk, ez nem zárja ki a lehetőségét annak, hogy egy sokaságnak pereme legyen. Például, a körlap (vagy korong) egy kétdimenziós sokaság, melynek pereme a kör, mely egy egydimenziós sokaság. Precízebb megfogalmazásban egy peremes sokaság egy olyan topologikus tér, mely T2, M2, és bármely pontnak létezik egy olyan környezete, ami homeomorf a halmazhoz. Az így definiált sokaság pereme (általános jelölés szerint ) azon pontok halmaza, melynek nem létezik -nel homeomorf környezete. Továbbá, egy -dimenziós peremes sokaság pereme egy -dimenziós (nemperemes) sokaság.
Differenciálható sokaságok
[szerkesztés]Ahhoz, hogy egy adott sokaságon differenciálszámítást végezzünk, nem elegendő a topologikus sokaság definíciója, további struktúrára van szükség. Amennyiben egy -dimenziós topologikus sokaság, olyan nyílt részhalmaza -nek, mely homeomorf -nel és , akkor egy homeomorfizmust egy körüli térképnek nevezünk. Olyan térképek halmazát, melyek értelmezési tartománya lefedi -et, egy atlaszának nevezzük.
Amennyiben és nem diszjunkt nyílt részhalmazai -nek és , térképek, akkor a következő kompozíció segítségével definiálható egy homeomorfia két részhalmaza között:
melyre ezáltal alkalmazhatóak a többváltozós differenciálszámítás szabályai. Ha egy ilyen függvény és az inverze is -szer differenciálható, akkor -diffeomorfizmusnak nevezzük. Ha egy atlaszban minden térképpárból alkotható egy ilyen -diffeomorfizmus (tehát tetszőlegesen sokszor differenciálható) két részhalmaza között, akkor az atlasz kiterjeszthető egy sima struktúrává. Egy sima struktúrával ellátott topologikus sokaságot sima sokaságnak hívunk. Amennyiben ezek a diffeomorfizmusok csak -szer deriválhatóak, akkor a sokaságot -differenciálható sokaságnak nevezzük.
Tulajdonságok
[szerkesztés]Definíció szerint minden sokaság lokálisan Euklideszi. A sokaság az Euklideszi tér számos lokális tulajdonságát átveszi: egy sokaság ezáltal lokálisan kompakt, lokálisan összefüggő, teljesíti az első megszámlálhatósági axiómát (M1), lokálisan metrizálható és lokálisan összehúzható. Továbbá, minden lokálisan Euklideszi tér teljesíti az első szétválaszthatósági axiómát (T1), tehát Fréchet-tér.
Egy sokaságnak nem muszáj összefüggőnek lennie, viszont minden sokaság összefüggő sokaságok diszjunkt uniója.
Példák
[szerkesztés]Általános példák
[szerkesztés]- Bármely megszámlálható diszkrét topologikus tér egy 0-dimenziós sokaság.
- A kör egy egydimenziós kompakt sokaság. Továbbá, minden nemüres parakompakt összefüggő sokaság homeomorf vagy a körhöz, vagy -hez.[1]
- A tórusz és a Klein-féle palack kétdimenziós kompakt sokaságok.
- A Möbius-szalag egy kétdimenziós nem irányítható sokaság.
- A Lie-csoportok olyan differenciálható sokaságok, melyek csoportstruktúrával is el vannak látva, ahol a csoportművelet tetszőlegesen sokszor differenciálható.
Konstrukciók
[szerkesztés]![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/5/52/Connected_sum.svg/220px-Connected_sum.svg.png)
Már ismert sokaságok segítségével további sokaságok hozhatóak létre:
- Amennyiben egy -dimenziós sokaság, pedig egy -dimenziós sokaság, a Descartes-szorzatuk egy -dimenziós sokaság, amennyiben a szorzat-topológiával el van látva.[2]
- Egy topologikus sokaság bármely részhalmaza egy topologikus sokaság, ha el van látva az altér-topológiával.[2]
- -dimenziós sokaságok bármely megszámlálható halmazcsaládjának diszjunkt uniója -dimenziós sokaság.[1]
- Két -dimenziós sokaság összefüggő összege -dimenziós sokaság. Az összefüggő összeg létrehozható úgy, hogy mindkét -dimenziós sokaságból eltávolítunk egy-egy -dimenziós golyót, az így létrejövő két határgömböt pedig "összeragasztjuk".[1]
Jegyzetek
[szerkesztés]- ↑ a b c John Lee. Introduction to Topological Manifolds. Springer Science & Business Media, 64–. o. (2010. december 25.). ISBN 978-1-4419-7940-7
- ↑ a b Manifolds and Differential Geometry. American Mathematical Soc., 7–. o. (2009). ISBN 978-0-8218-4815-9
Források
[szerkesztés]- Kalmár Boldizsár: Differenciálható sokaságok
- Gergely Árpád László: Bevezetés a differenciálgeometriába
Fordítás
[szerkesztés]- Ez a szócikk részben vagy egészben a Manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Topological manifold című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.
- Ez a szócikk részben vagy egészben a Mannigfaltigkeit című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.