Klein-féle palack

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Klein-féle palack
A Klein-féle kancsó üvegből elkészítve

A Klein-féle palack a matematikai topológia egyik fogalma, egy kétdimenziós, egyoldalú (vagyis nem irányítható) felület, amit önmagába forduló rugalmas kúpként lehet elképzelni. A palacknak a belseje egyben a külseje is, tehát ha a felületét elkezdenénk festeni, az ecset felemelése nélkül ki tudnánk festeni az egészet. Nevét Felix Klein német matematikusról kapta.

A Klein-kancsó szemléletes leírása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szemléletes leírással jól elképzelhetővé tehetjük a rajzon is látható Klein kancsót. A Klein kancsó felülete egy alján kiöblösödő, de fölfelé haladva fokozatosan elvékonyodó cső, (szemléletesen egy lopótök alakú kancsó), melynek fölső, elvékonyodó szára visszakanyarodik, fogantyút alkot, majd áthatol a cső falán, és belülről csatlakozik a cső szélesebb (a „lopótök” belső) „aljához”.

Érdekességek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Klein-féle kancsó két tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával létrehozva, melyeken kettős-fríz mintázat látható.
  • A Klein-kancsó előállítható két, tükörképi helyzetű Möbius-szalag összeragasztásával.
  • A Klein-kancsó felületére kettős-fríz mintázatok helyezhetők, melyek érdekesen transzformálódnak a két Möbius-szalaggá való szétválasztáskor.
  • A Klein-kancsó önátmetszés nélkül nem ágyazható be a háromdimenziós térbe. Ehhez legalább négy dimenzió kell.
  • A Klein-kancsó kétdimenziós, zárt sokaság, ami azt jelenti, hogy kompakt felület, és nincs határa.
  • Differenciálható sokaság, azaz leírható differenciálható függvényekkel.
  • Ha egy gömbön kivágunk két lyukat, és a lyukak határát egy-egy Möbius-szalag határával azonosítjuk, akkor Klein-palackot kapunk.
  • A Klein-kancsóra rajzolt bármely térkép kiszínezhető legfeljebb hat szín felhasználásával. Ez az egyetlen kivétel a Heawood-sejtés alól, ami a négyszíntétel általánosításaként összefüggést állít a felhasználandó színek száma és az adott felület nemszáma között. A sejtés szerint a színek számának hétnek kell lennie.

Képletek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Klein-palack a következőképpen írható le képletekkel:

r=4 \Bigl(1-\frac{\cos(u)}{2}\Bigr)

ahol 0 \le v < 2\pi és 0 \le u < \pi esetén:

x = a \cos(u) (1 + \sin(u)) + r \cos(u) \cos(v)
y = b \sin(u) + r \sin(u) \cos(v)
z = r \sin(v)

és 0 \le v < 2\pi -re meg  \pi < u \le 2 \pi -re:

x = a \cos(u) (1 + \sin(u)) + r \cos(v + \pi)
y = b \sin(u)
z = r \sin(v)

Az a és a b konstansok a palack méretét és arányait határozzák meg.

Topológia[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A Klein-palack a következőképpen konstruálható: Veszünk egy négyzetet, és azonosítjuk az éleket úgy, ahogy az ábra mutatja: az azonos színűeket azonosítjuk a nyilaknak megfelelő irányok szerint. Formálisan, a Klein-palack megkapható az [0,1] × [0,1] négyzetből a (0,y) ~ (1,y), 0 ≤ y ≤ 1 és az (x,0) ~ (1-x,1) 0 ≤ x ≤ 1 relációk szerinti ragasztással. Ezt úgy is mondjuk, hogy a négyzet a Klein-palack fundamentális poligonja.

A Klein-palack topológiai értelemben nem metszi át magát, mégsem ágyazható be a háromdimenziós térbe önátmetszés nélkül. Ekkor a következőképpen képzelhető el: egy hosszú téglalap hosszabb oldalait összeragasztjuk úgy, ahogy a piros nyilak mutatják. Ezután a cső egyik végét átdugjuk a cső falán, és belülről ragasztjuk a cső másik végéhez. Az így készült Klein-palackon lehet egy törés ott, ahol a két véget összeragasztottuk, azonban valójában sehol sincs törés. Ez a Klein-palack immerziója a háromdimenziós térbe. A háromdimenziós immerzió lehetővé teszi, hogy láttassuk a Klein-palack tulajdonságait: nincs határa, ahol hirtelen véget érne, egy oldalú és nem irányítható.

Hasonló módon készítenek Klein-palackokat üvegből.

Négy dimenzióban az önátmetszés kiküszöbölhető úgy, hogy a háromdimenziós immerzióban kapott képben kihúzzuk az önátmetszés környékét a negyedik dimenzió irányába. Koordinátákkal ez úgy valósítható meg, hogy a háromdimenziós Klein-palackot a nulla negyedik koordinátájú altérbe képezzük le, és az önátmetszés környékén folytonosan megnöveljük a negyedik koordinátát úgy, hogy ott legyen a legnagyobb, ahol az önátmetszés lenne.

Lásd még[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]