Maxwell–Boltzmann-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás gázokban lévő részecskék sebességéről szól, ahol a részecskék között nincs állandó kölcsönhatás, szabadon mozognak rövid ütközések között.

A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a részecskék sebességét írja le (a sebesség vektor nagyságrendjét) a rendszer hőmérséklete függvényében. Ezt a valószínűségi eloszlást James Clerk Maxwellről és Ludwig Boltzmannról nevezték el.

Többnyire azt gondolják a Maxwell–Boltzmann-eloszlásról, hogy az csak a molekuláris sebességekről szól, de vonatkozik a sebességek eloszlására, a nyomatékokra, a molekulák momentumának nagyságrendjére, és mindezek különböző eloszlási valószínűségéről is.

Ez a szócikk a sebesség eloszlásáról szól. Az eloszlásban 3 dimenziós vektorok szerepelnek, melyek komponensei függetlenek és normál eloszlásúak (normális eloszlás) '0' középértékkel és a szórással. Ha eloszlása , akkor

a Maxwell–Boltzmann-eloszlást követi paraméterrel. Az paramétertől eltekintve, az eloszlás azonos a 3 szabadságfokú khí-eloszlással.

Alkalmazás[szerkesztés]

A Maxwell–Boltzmann-eloszlást a termodinamikai egyensúly közelében lévő ideális gázokra alkalmazzák nemrelativisztikus sebességeken, ahol a kvantummechanikai hatás elhanyagolható.

A kinetikus gázelmélet alapjául szolgál, megmagyarázza a gázok alapvető tulajdonságait, mint például a nyomást és a diffúziót.

Levezetés[szerkesztés]

Maxwell levezetésében eredetileg a három irány egyenlő mértékben szerepelt, de később Boltzmann elhagyta ezt a feltételezést és a kinetikus elméletet használta.

Az energiákat tekintve a Maxwell–Boltzmann-eloszlás leginkább a Boltzmann-eloszlásból ered: (lásd még a Maxwell–Boltzmann-statisztikát a matematikai statisztikából):

ahol:

  • i a mikroállapot
  • Ei az i mikroállapot energia szintje
  • T a rendszer egyensúlyi hőmérséklete
  • gi az a tényező, mely az azonos energiaállapotban lévő mikroállapotok számát jelzi.
  • k a Boltzmann-állandó
  • Ni z egyensúlyi T hőmérsékleti állapotban a molekulák száma, i állapotban, melynek energiája Ei és gi degenerációban (kvantum állapotok hasonló energia állapotokban).
  • N a molekulák teljes száma

A fenti egyenletet néha gi degenerációs tényező nélkül írják fel . Ez esetben az “i” index egy egyedi állapotot specifikál a gi állapotok helyett, melyek hasonló Ei energiával rendelkeznek. Mivel a sebesség az energiával kapcsolatos, az (1) számú egyenletet használják a gázmolekulák hőmérséklete és a sebessége közötti kapcsolat levezetésére. Ebben az egyenletben a nevezőt úgy ismerik, mint a kanonikus partíciós függvény.

A momentum vektor eloszlása[szerkesztés]

Ez a levezetés nagyban különbözik Maxwell azon levezetésétől, amit később Boltzmann kiegészített. Ez Boltzmann 1877-es megközelítéséhez áll közel. Arra az esetre, amikor az ideális gáz alaphelyzetben olyan atomokat tartalmaz, melyek nincsenek egymással kölcsönhatásban, minden energia kinetikus energia formában van jelen, és a gi, állandó minden i-re. A kinetikus energia és a momentum (lendület) közötti kapcsolat részecskékre:

ahol p² a momentumvektor négyzete p = [pxpypz]. Ekkor átírhatjuk a (1) egyenletet:

Ahol Z a partíció függvény, az (1) egyenlet nevezője. Az “m” a gáz molekuláris tömege, “T” a termodinamikus hőmérséklet és “k” a Boltzmann-állandó. Ni/N eloszlás arányos a fp sűrűségfüggvény-nyel:

A c normalizáló állandó meghatározásánál figyelembe veendő, hogy annak a valószínűsége, hogy bármely molekulának van momentuma, =1. Ezért a (4) egyenlet integráljának minden px, py és pz-re 1-nek kell lennie.

Az (5) egyenletet behelyettesítve a (4) egyenletbe:

Látható, hogy az eloszlás három független, normális eloszlású változó, , és szorzata, szórásnégyzettel. Ráadásul látható, hogy a momentum nagyságrendjének eloszlása megfelel a Maxwell–Boltzmann-eloszlásnak, mellett. A momentum Maxwell–Boltzmann-eloszlása alapvetően megkapható a H-elmélet felhasználásával egyensúlyi állapotban a kinetikus elmélet keretein belül.

Energia-eloszlás[szerkesztés]

p² = 2mE esetén, az energia eloszlás:

Mivel az energia arányos a három normális eloszlású momentum komponens négyzetével, ez az eloszlás a gamma-eloszlás, és a chi-négyzet eloszlás harmadfokú szabadságfokkal. Az ekvipartíció-tétel szerint, ez az energia egyenletesen oszlik el a három szabadságfok között, így az egy szabadságfokra jutó energia a chi-négyzet eloszlás szerint oszlik el, egy szabadságfokkal:[1]

ahol egy szabadságfokra jutó energia. Egyensúlyi állapotban, az eloszlás igaz bármely számú szabadságfokra. Például, ha a részecskék merev dipólusok, három transzlációs szabadságfokkal és kettő járulékos körforgó szabadságfokkal rendelkeznek. Minden egyes szabadságfok energiája a fent említett chi-négyzet eloszlással írható le, és a teljes energia a chi-négyzet eloszlással írható le öt szabadságfokkal. Ennek hatása van a gázok hőkapacitás elméletére.

Sebességvektor eloszlás[szerkesztés]

A sebességvektor valószínűség sűrűsége fv arányos a momentum valószínűség sűrűség függvénnyel:

és ha p = mv , akkor

mely a Maxwell–Boltzmann-sebességvektor eloszlása. Annak valószínűsége, hogy [dvxdvydvz] részecske elemeket találjunk a v = [vxvyvz] vektornál elenyésző kicsi.

Mint ahogy a momentum, az eloszlás három független normális eloszlású változó , és szorzata, szórásnégyzettel. Látni kell, hogy a Maxwell-Boltzmann-sebességvektor eloszlás a [vxvyvz] sebességvektorokra az eloszlások szorzata minden egyes – három – irányra:

Ahol minden egyes irányra az eloszlás:

A sebességvektor minden komponense normális eloszlású középértékkel és a szórás , így a vektornak egy háromdimenziós normál eloszlása van, ‘multinormál’ eloszlásnak is hívják, középértékkel és szórással.

A sebesség eloszlás[szerkesztés]

A sebesség skaláris mennyiség.

Maxwell-Boltzmann molekuláris sebesség eloszlás

Az ábra néhány nemesgáz sebességének valószínűségi sűrűségfüggvényét ábrázolja 25 °C hőmérsékleten. Az y tengelyen s/m a paraméter, így a görbe alatti terület dimenzió nélküli. Általában a molekulák sebessége érdekel bennünket és nem a komponenseinek vektorai. A Maxwell–Boltzmann-eloszlás a sebességvektor eloszlásából következik. A sebesség:

és a térfogat növekménye:

ahol a és a a vektor azimút és útszög (a vektor eltérési szöge) jellemzői. A normál valószínűség sűrűség függvény integrálása, a sebesség behelyettesítve a vektorkomponensek négyzetének összegével, adja a valószínűség sűrűség függvényt a sebességre:

Ez az egyenlet egyszerűen a Maxwell-eloszlás szórás paraméterrel.[2]

Rendszerint sokkal jobban érdekelnek bennünket a mennyiségek, például a részecskék átlagos sebessége, mint az aktuális eloszlásuk. Az átlagos sebesség, a legvalószínűbb sebesség a Maxwell-eloszlásból számítható.

Relatív sebesség eloszlása[szerkesztés]

A relatív sebesség: , ahol a legvalószínűbb sebesség. Relatív sebesség eloszlás lehetővé teszi különböző gázok összehasonlítását, függetlenül a hőmérséklettől és a molekuláris súlytól.

A tipikus sebesség[szerkesztés]

A gyakorlatban az eloszlásnál érdekesebb lehet az átlagos sebesség.

A leginkább valószínű sebesség vp, az a sebesség, melyet bármely molekula leginkább felvesz (azonos tömeg esetén), és mely megfelel a f(v) maximum értékének. Ennek kiszámításához, a kiindulás: és megoldjuk v-re:

Ahol R a gáz állandó és M = NA, m az anyag moláris tömege. A diatomos nitrogén esetében (N2,mely a levegő fő komponense) szobahőmérsékleten: m/s Az átlagos sebesség a sebesség eloszlás matematikai átlaga:

Az effektív sebesség, vrms, az átlagos sebesség négyzetgyöke:

A tipikus sebesség:

A relatív sebesség eloszlása[szerkesztés]

Maxwell-Juttner-sebesség eloszlás elektron gázra, különböző hőmérsékleteken

Amikor a gáz forrosódik és a kT közelít vagy meghaladja a mc²-t a valószínűség eloszlása a relativisztikus Maxwelliánus gáznál, a Maxwell–Juttner-eloszlás szerinti: [3]:

ahol: és a a módosított másodrendű Bessel-függvény.

A momentummal kifejezve:

Ahol: .

A Maxwell–Juttner egyenlet kovariáns, és a gáz hőmérséklete nincs hatással a gáz sebességére.[4]

További információk[szerkesztés]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

  1. Statistical thermodynamics: fundamentals and applications. Cambridge University Press, 434. o (2005). ISBN 0-521-84635-8 , Appendix N, page 434
  2. http://mathworld.wolfram.com/MaxwellDistribution.html Maxwell distribution
  3. Synge, J.L. The Relativistic Gas, Series in physics. North-Holland. Sablon:LCCN (1957) 
  4. (2009.) „On the Manifestly Covariant Juttner Distribution and Equipartition Theorem”. arXiv:0910.1625v1. (Hozzáférés ideje: 2011. október 22.)