Rayleigh-eloszlás

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A valószínűségszámítás elméletében, és a statisztika területén a Rayleigh-eloszlás egy folytonos valószínűség eloszlás.

A Rayleigh-eloszlás gyakran megfigyelhető, amikor egy vektor nagyságrendje kapcsolatban van az irány komponenseivel.

Egy tipikus példa a Rayleigh-eloszlásra, mely a természetben is megfigyelhető, amikor a szél sebességét analizálják az ortogonális kétdimenziós vektor komponensei szerint. Feltételezve, hogy a komponenseknek nincs korrelációjuk egymással, és normális eloszlásúak, hasonló szórásnégyzettel, akkor a szél sebességét a Rayleigh-eloszlás jellemzi.

Egy következő példa az algebrából: véletlenszerű komplex számok esetében, ahol a valós és imaginárius komponensek függetlenek és azonos eloszlásúak. Ebben az esetben a komplex szám abszolút értéke Rayleigh-eloszlású.

Az eloszlást felfedezőjéről, John William Strutt, Rayleigh III. lordjáról nevezik Rayleigh-eloszlásnak.

A Rayleigh-féle valószínűségsűrűség-függvény:

ahol és a kumulatív eloszlás függvény:

ahol

Tulajdonságok[szerkesztés]

A Rayleigh-eloszlás sűrűségfüggvénye
Rayleigh-féle kumulatív eloszlásfüggvény

A nyers momentum:

ahol a gamma függvény. A Rayleigh-féle valószínűségi változó középértéke és szórásnégyzete:

és

A ferdeség:

A többlet lapultság:

A karakterisztikus függvény:

ahol a képzetes hibafüggvény.

A momentum-generáló függvény:

ahol a hibafüggvény.

Információ entrópia[szerkesztés]

Az információ entrópia, vagyis a Shannon-entrópiafüggvény:

ahol az Euler–Mascheroni állandó.

Paraméter becslés[szerkesztés]

N darab független és azonos eloszlású Rayleigh-eloszlású valószínűségi változó esetén a maximális valószínűsége:

A értékének becslése az MRI képalkotó technikában is használatos, ahol az MRI képelemek komplex alkotókból állnak, és a háttér adat Rayleigh-eloszlású. A fenti összefüggés segítségével megbecsülhető a hiba szórás a MRI háttér adatokból.[1][2]

Rayleigh-eloszlású valószínűségi változók generálása[szerkesztés]

Ha adva van egy állandó eloszlásból származó U valószínűségi változó, (0, 1) tartományban, akkor a valószínűségi változó:

Rayleigh-eloszlású lesz paraméterrel. Ez a kumulatív eloszlás függvényből következik. Ha U egységes (uniformizált), (1–U)-nak is hasonló tulajdonsága lesz, a fenti összefüggés egyszerűsíthető:

Megjegyzés: ha véletlen számokat generálunk [0,1) tartományban, a zérót kizárjuk, hogy elkerüljük a zéró természetes logaritmusát.

Kapcsolódó eloszlások[szerkesztés]

  • Ha Rayleigh-eloszlású, akkor , ahol , és független normál valószínűségi változók.(Ez teszi lehetővé a szimbólum alkalmazását a fenti Rayleigh-sűrűségfüggvény parametrizálásánál.
  • Ha , akkor khí-négyzet eloszlású. két szabadságfokkal:
  • Ha X exponenciális eloszlású , akkor , then .
  • Ha , akkor gamma-eloszlású, and : paraméterekkel.
  • A Khí-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Rice-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása
  • A Weibull-eloszlás a Rayleigh-eloszlás egy általánosítása. Ez esetben a sigma paraméter kapcsolódik a Weibull-skálaparaméterhez :

.

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]

Források[szerkesztés]