Boltzmann-tényező

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer $E_{i}$ állapotban van:

$P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E_{i}\,)}$

ahol $\beta$ :

$\beta ={\frac {1}{k_{B}T}}$

$Z_{}$ a partíció függvény (statisztikai mechanika) $k_{B}$ a Boltzmann-állandó, $T$ a hőmérséklet $E_{i}$ az $i$ állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

$\exp {(-\beta E_{i}\,)}=\exp {(-E_{i}/k_{B}T)}$

Levezetés

Tekintsünk egy egyatomos rendszert $E_{1},E_{2},...$ energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

$E=E_{s}+E_{r}=konstans$

ahol $E_{s}$ a rendszer teljes energiája és a $E_{r}$ a teljes tárolt energia. Egyensúlyban $R$ és $S$ állapotai száma $\Omega$ többszöröse. Így a teljes energia :

$\Omega _{E}\approx \Omega _{R}(E_{R})-\Omega _{S}(E_{S})$

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom $E_{j}$ állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

${\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}={\frac {\Omega _{R}(E-E_{2})}{\Omega _{R}(E-E_{1})}}$

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

$S_{R}(E_{j})=k_{B}\ln[\Omega _{R}(E-E_{j})]$ kifejezésen keresztül

amely adja:

${\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}={\frac {\exp {[{\frac {S_{R}(E_{2})}{k_{B}}}]}}{\exp {[{\frac {S_{R}(E_{1})}{k_{B}}}]}}}=\exp \left[{\frac {S_{R}(E_{2})-S_{R}(E_{1})}{k_{B}}}\right]$

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

$dS_{R}={\frac {1}{T}}[dU_{R}+PdV_{R}]$

ahol $S_{R}$ az entrópia, $U_{R}$ a belső energia, $P$ a nyomás, és $V$ a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy $PdV_{R}\ll dU_{R}$, így:

$\Delta S_{R}={\frac {1}{T}}\Delta U_{R}$

$\Delta S_{R}={\frac {1}{T}}[U_{R}(E_{2})-U_{R}(E_{1})]$

Energia tároláskor: $E=E_{R}+E_{i}$ and $U_{R}(E_{j})=E-E_{j}$ melyből

$\Delta S_{R}=-{\frac {1}{T}}(E_{1}-E_{2})$ következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

${\frac {P(E_{2})}{P(E_{1})}}=\exp({\frac {-[E_{2}-E_{1}]}{k_{B}T}})={\frac {\exp {(-\beta E_{2})}}{\exp {(-\beta E_{1})}}}$

ahol $\beta$ egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

${\frac {P(E_{2})}{\exp {(-\beta E_{2})}}}={\frac {P(E_{1})}{\exp {(-\beta E_{1})}}}=const={\frac {1}{Z}}$

és ezáltal:

$P(E_{i})={\frac {1}{Z}}\exp {(-\beta E_{i})}$

Megjegyzés

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

Irodalom

• Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. (hely nélkül): Freeman & Co.: New York. 1980.  
• Wesson, John; et al: Tokamaks. (hely nélkül): Oxford University Press. 2004. ISBN 0-19-850922-7