Boltzmann-tényező

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Boltzmann-tényező a fizika egyik szakterminusa, egy súlyzó tényező, amely meghatározza egy többállapotú rendszerben az i állapotban lévő részecske relatív valószínűségét, amikor a rendszer termodinamikus egyensúlyban van T hőmérsékleten.

Normál esetben a Boltzmann-tényezőt a kanonikus halmazok leírásánál alkalmazzák. A nagy kanonikus halmazok esetén a Gibbs-tényező használata előnyösebb, mely figyelembe veszi a részecske mozgását a rendszer és a környezet között. Annak a valószínűsége, hogy egy rendszer állapotban van:

ahol  :

a partíció függvény (statisztikai mechanika) a Boltzmann-állandó, a hőmérséklet az állapot energiája

A Boltzmann-tényező :

Levezetés[szerkesztés]

Tekintsünk egy egyatomos rendszert energia állapotokkal. Ez a rendszer kapcsolatban van egy hőtárolóval és a teljes energia:

ahol a rendszer teljes energiája és a a teljes tárolt energia. Egyensúlyban és állapotai száma többszöröse. Így a teljes energia :

Az ekvipartíció-tételből következően annak valószínűsége, hogy egy atom állapotban van, összefüggésben van a tároló állapotainak számával. Tekintsük a két valószínűség arányát:

az állapotok száma összefüggésbe hozható az entrópia elméletével a

kifejezésen keresztül

amely adja:

Az alapvető termodinamikus összefüggésből következik, hogy a tároló (a kémiai potenciált elhanyagolva):

ahol az entrópia, a belső energia, a nyomás, és a térfogat.

Gázoknál indokolt feltételezni, hogy , így:

Energia tároláskor: and melyből

következik.

A valószínűség arányt behelyettesítve:

ahol egy tetszőlegesen definiált jel, a Boltzmann-állandó és a hőmérséklet szorzatának reciproka. A változók szeparálása után írhatjuk:

és ezáltal:

Megjegyzés[szerkesztés]

A Boltzmann-tényező önmagában nem egy valószínűség, mert nincs normalizálva. A normalizáló tényező egy osztva a partíciófüggvénnyel, amely a Boltzmann-tényezők összege a rendszer összes állapotára vonatkozóan. Ez adja a Boltzmann-eloszlást.

A Boltzmann-tényezőből le lehet vezetni a következő statisztikákat: Maxwell–Boltzmann-statisztika, a Bose–Einstein-statisztika, és a Fermi–Dirac-statisztika, amelyek leírja a klasszikus részecskék mozgását, valamint a kvantummechanika bozonjait és fermionjait.

Irodalom[szerkesztés]

  • Charles Kittel, Herbert Kroemer: Thermal Physics. (hely nélkül): Freeman & Co.: New York. 1980.  
  • Wesson, John; et al: Tokamaks. (hely nélkül): Oxford University Press. 2004. ISBN 0198509227