Fermi–Dirac-statisztika

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A fizikában a Fermi–Dirac-statisztika (F–D-statisztika) leírja a részecskék energiaállapotát egy rendszerben, amely azonos részecskékből áll a Pauli-elv alapján. Az elnevezést Enrico Fermi és Paul Dirac fizikusokról kapták, akik egymástól függetlenül fedezték fel. [1][2]

Az F-D-statisztika termikus egyensúlyban lévő rendszerekben lévő félinteger spinnel rendelkező részecskékre (fermionok)vonatkozik. További feltételezés, hogy ezek a részecskék egymással elhanyagolható kölcsönhatásban vannak. Ez lehetővé teszi a sok részecskéből álló rendszerek leírását egyedi részecskék energiaállapotával.

A F-D-statisztika szerint két részecske nem lehet azonos állapotban, ez jelentős hatással van a rendszer tulajdonságaira. A leggyakrabban elektronokra alkalmazzák, melyek ½ spinnel rendelkező fermionok. Az F-D-statisztika része az általánosabb statisztikus mechanika és a kvantummechanika elméletének.

Történet[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az F-D-statisztika 1926-ban történő bevezetése előtt nehéz volt megérteni néhány jelenséget az elektronokkal kapcsolatban, azok ellenmondásossága miatt. Például a fémek szobahőmérsékleten mért hőkapacitásánál 100-szor kevesebb elektront tapasztaltak, mint az elektromos áramnál. [3].

Azt is nehéz volt megérteni, hogy a fémekre ható nagyenergiájú tér hatására keletkező emissziós áram miért majdnem független a hőmérséklettől. Ezek a nehézségek abból adódtak, hogy 1926 előtt a klasszikus statisztikus elmélet szerint az elektronok mind egyformán viselkednek. Más szóval, azt hitték, hogy minden elektron a Boltzmann-állandó szerint járul hozzá a hőhöz.

Ez a statisztikai probléma megoldatlan maradt az F-D-statisztika felfedezéséig.

Az F-D-statisztikát először 1926-ban publikálta Enrico Fermi[1] és Paul Dirac .[2]

Pascual Jordan hasonló elméletet fejlesztett ki 1925-ban, melyet Pauli-statisztikának nevezett el, de ezt nem publikálta időben.[4]

Az F-D-statisztikát először 1926-ban Raph Fowler alkalmazta, amikor leírta egy csillag összeomlását fehér törpévé.[5].

Arnold Sommerfeld az elektronokra alkalmazta az elméletet[6] 1928-ban, Fowler és Nordheim az elektromos tér hatására történő elektronemisszióra alkalmazta az elméletet.[7] A Fermi–Dirac-statisztika fontos részévé vált a fizikának.

Fermi–Dirac-eloszlás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az energiaszintek betöltöttségének valószínűségét a Fermi-Dirac-eloszlási függvény határozza meg. Azoknál a rendszereknél, melyek azonos fermionokat tartalmaznak, a fermionok számát a Fermi–Dirac-eloszlás adja meg:[8]

 \bar{n}_i = \frac{1}{e^{(\epsilon_i-\mu) / k T} + 1}

ahol k a Boltzmann-állandó, T az abszolút hőmérséklet, \epsilon_i \ egy i állapotú egyedi részecske energiája, és \mu\ a kémiai potenciál. T = 0-nál a kémiai potenciál egyenlő a Fermi-energiával (Fermi-szint). Az F-D-eloszlás csak akkor érvényes a fermionok számának kiszámítására, ha a rendszer elég nagy, azaz egy plusz fermion hozzáadása elhanyagolható hatással van a \mu\ -re.[9] Mivel az F-D-eloszlás a Pauli-elvből származik, mely csak egy elektront enged meg minden egyes állapotban, az eredmény 0 < \bar{n}_i  < 1.

A sakkjátékkal történő összehasonlításban egy kockában csak egy figura lehet, azaz a sakkfigurák átlagos száma négyzetenként nem lehet 1-nél nagyobb.)

Fermi-szint[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Félvezetőkben lévő elektronoknál a \mu\ -t Fermi-szintnek is hívják.[10][11] A Fermi-szint az az energiaérték, ahol az elektronnal és lyukkal való betöltöttség valószínűsége megegyezik. A vezetőkben a Fermi-szint a vezetési sávban (lásd energiasávok), a szigetelőkben a vegyértéksávban van, félvezetők esetében pedig a vezetési sáv és a vegyértéksáv közé esik. Az abszolút nulla hőmérsékleten az elektronok betöltik az energiaszinteket a Fermi-szintig, de a magasabb szintek nincsenek betöltve. Az intrinsic félvezető Fermi-szintje gyakorlatilag a tiltott sáv közepén helyezkedik el. N-típusú félvezetőben a Fermi-szint a tiltott sáv felső felében, p-típusú félvezetőben a tiltott sáv alsó felében helyezkedik el. Az adalékolás növelésével a Fermi-szint a sávszélek felé mozdul el, a hőmérséklet növekedésével fordítva, a sáv közepe felé mozdul.

F-D eloszlás, energia függés
F-D eloszlás, hőmérséklet függés

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b Fermi, Enrico (1926.). „Sulla quantizzazione del gas perfetto monoatomico” (Italian nyelven). Rend. Lincei 3, 145–9. o.  , translated as (1999. december 14.) „On the Quantization of the Monoatomic Ideal Gas”.  
  2. ^ a b Dirac, Paul A. M. (1926.). „On the Theory of Quantum Mechanics”. Proceedings of the Royal Society, Series A 112 (762), 661–77. o. DOI:10.1098/rspa.1926.0133. Sablon:Jstor.  
  3. (Kittel 1971, pp. 249–50)
  4. (2000. május 19.) „History of Science: The Puzzle of the Bohr–Heisenberg Copenhagen Meeting”. Science-Week, Chicago 4 (20). Hozzáférés ideje: 2009. január 20.  
  5. Fowler, Ralph H. (1926. December). „On dense matter”. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society 87, 114–22. o.  
  6. Sommerfeld, Arnold (1927. október 14.). „Zur Elektronentheorie der Metalle”. Naturwissenschaften 15 (41), 824–32. o. DOI:10.1007/BF01505083. Hozzáférés ideje: 2009. január 18.  
  7. Fowler, Ralph H. (1928. május 1.). „Electron Emission in Intense Electric Fields” (PDF). Proceedings of the Royal Society A 119 (781), 173–81. o. DOI:10.1098/rspa.1928.0091. Sablon:JSTOR.  
  8. (Reif 1965, p. 341)
  9. (Reif 1965, pp. 340–2)
  10. (Blakemore 2002, p. 11)
  11. Kittel, Charles. Thermal Physics, 2nd, San Francisco: W. H. Freeman, 357. o (1980). ISBN 978-0716710882 

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]