Bohr-féle atommodell

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
A Bohr-féle atommodell

A Bohr-féle atommodell a Rutherford-féle atommodell javított változata. A pozitívan töltött atommag körül keringenek az elektronok – hasonlóan a Naprendszerhez. Ez a modell sikeresen magyarázta a Rydberg-formulát és a hidrogén spektrumát, viszont más, finomabb részleteket nem tudott megindokolni. Ma már az atom kvantummechanikai leírása teljesebb, ezt a modellt azonban egyszerűsége miatt még mindig tanítják.

A Bohr modell félig kvantumos jellegű, és így posztulátumokra támaszkodik:

  • Az elektron az atommag körül körpályán mozog a klasszikus mechanika törvényei szerint. (A centripetális erőt a Coulomb-erő szolgáltatja.)
  • Az elektronok csak bizonyos megengedett sugarú pályákon keringhetnek, amelyeken nem sugároznak. Mivel az E energia ezeken a pályákon állandó, az elektron stacionárius állapotban van.
  • A stacionárius állapotok közti átmenetek úgy mennek végbe, hogy az elektron átugrik egyik állapotból a másikba, és eközben az atom elektromágneses hullámokat bocsát ki. A két energiaállapot közti különbség egyenlő a kibocsátott vagy elnyelt sugárzás energiakvantumával. (A modell ezen a ponton tér el gyökeresen a makroméretű keringő mozgások, égitestek fizikájától.)
  • az energiaszintek az impulzusmomentum (L) diszkrét értékeitől függenek:
ahol az n a főkvantumszám, a h pedig a Planck-állandó

A hidrogén energiaszintjei[szerkesztés]

A Bohr-modell jó eredményeket csak az egy elektronnal rendelkező rendszerek esetében ad, ilyenek a hidrogén vagy az ionizált hélium.

A modell abból indul ki, hogy az elektronokat a Coulomb-erő tartja pályán, illetve hogy a Coulomb-erő egyenlő a centripetális erővel:

ahol , és az elemi töltés.

A kvantum-posztulátum a következő: a pálya hossza meg kell hogy egyezzen az elektron de Broglie-féle hullámhosszának egész számú többszörösével:

A két egyenletből kifejezzük a sugarat:

Innen az első energiaszint sugara r=0.0529 nm, ez a klasszikus Bohr-sugár. Az elektron energiája ezek szerint:

Ha behelyettesítjük az állandók értékeit:

Ezek szerint a hidrogén legalacsonyabb energiaszintje -13,6 eV, a második -3,4 eV, a harmadik -1,5 eV és így tovább. Tehát, egy alapállapotban lévő hidrogénatom ionizációs energiája 13,6 eV.

A Rydberg-formula[szerkesztés]

A Bohr-posztulátumok szerint egy elektron kibocsát egy fotont, ha egy magasabb energiaszintről egy alacsonyabbra ugrik:

ahol jelöli a végső energiaszintet, a pedig a kezdetit.

A foton energiája a következőképpen számolható:

ebből a hullámhossz reciproka a hullámszám kifejezhető:

A fenti Rydberg-formula már a XIX. században ismert volt, kísérleti alapon jutottak el hozzá. A Bohr-modell megadta az elméleti alapjait, és a Rydberg-állandóra is jó értéket adott.

Hidrogén[szerkesztés]

A hidrogénatom az előforduló atomok közül a legkönnyebb (atomtömege 1,008) és a legegyszerűbb. Egy pozitív töltésű magból, protonból, és egy negatív töltésű elektronból áll, amelynek mozgását a Schrödinger-egyenlet írja le, ha potenciál helyére a vonzó elektrosztatikus potenciált helyettesítjük (ahol a proton és az elektron távolsága).

A hidrogénatom sajátállapotait vagy pályáit 5 kvantumszámmal jellemezhetjük:

1. A főkvantumszám (jele gyakran: ). Az elektron energiája és az atommagtól mért távolsága egyedül a főkvantumszámtól függ. A lehetséges energiaállapotok:

ahol és

ahol a Rydberg-állandó ().

A teljes energia negatív, mert az elektron kötött állapotban van, azaz energiája kisebb mintha szabadon mozoghatna. Az energiaállapotokhoz tartozó átlagos sugarak:

A legbelső Bohr-féle pálya sugara ezek alapján .

2. A mellékkvantumszám (jele: )(az impulzusmomentum kvantumszáma) határozza meg a keringő elektron impulzusmomentumát. Az impulzusmomentum négyzetére a következő összefüggés érvényes:

Minden energiaállapothoz különböző impulzusmomentum-értékek tartozhatnak, de úgy, hogy mindig kisebb, mint . Az alapállapothoz tehát csak impulzusmomentum tartozhat.

3. A mágneses kvantumszám a teljes impulzusmomentumnak egy mágneses tér által kijelölt irányra vonatkozó összefüggését adja meg. Az főkvantumszám és az mellékkvantumszám által meghatározott állapotokban a mágneses kvantumszám a következő értékeket veheti fel: . Az mágneses kvantumszám abszolútértékének kisebbnek vagy egyenlőnek kell lennie a mellékkvantumszám abszolútértékével.

4. Az spinkvantumszám, amely az elektron spinjét adja meg mindig .

5. Egy kitüntetett irányban az spinvetület kvantumszáma vagy - lehet.

Az atomban lévő elektron állapotát ezekkel a kvantumszámokkal jellemezzük. Az impulzusmomentum kvantumszámának különböző értékeit betűkkel jelöljük. -sel jelöljük az , -vel az , -vel az , -val az értékeket stb. A 2,,1 állapot tehát azt jelenti, hogy az elektron hullámfüggvényét az , és kvantumszámok határozzák meg. Az azonos főkvantumszámú állapotok energiája megegyezik. Az főkvantumszámú energiaszintek -szeresen elfajultak.

További információk[szerkesztés]