Főkvantumszám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A főkvantumszám (jele n) a kvantummechanikában használt négy, az atomban levő elektron állapotának leírására használt kvantumszám egyike. Diszkrét változó, értéke csak egész szám lehet. n növekedésével nő az elektronhéjak száma, és az elektron hosszabb időt tölt az atommagtól távolabb. n növekedésével az elektron energiája is nő, és így kevésbé szorosan kötődik az atommaghoz. Az elektron teljes energiája hidrogénatom esetén – ahogy alább látni fogjuk – az n főkvantumszám négyzetével fordítottan arányos.

Először a Bohr-féle atommodellben vezették be, a különböző energiaszinteket megkülönböztetendő. A modern kvantummechanika fejlődésével az egyszerű Bohr-modellt az atompályák bonyolultabb elmélete váltotta fel, de a főkvantumszámot ez az elmélet is használja.

A főkvantumszámon kívül a kötött elektron további kvantumszámai az mellékkvantumszám, az ml mágneses kvantumszám és az s spinkvantumszám.

Levezetése[szerkesztés]

Az atom energiaállapotaihoz több különböző kvantumszám tartozik. A négy – n, , m, és s – kvantumszám meghatározza az atom egyik elektronjának a teljes és egyedi kvantumállapotát, azaz annak hullámfüggvényét vagy pályáját. A Pauli-féle kizárási elv szerint egy atomon belül két elektronnak nem lehet ugyanaz mind a négy kvantumszáma. A Schrödinger-egyenlet hullámfüggvénye három egyenletre redukálódik, melyek megoldása megadja az első három kvantumszámot. Az első három kvantumszámra vonatkozó egyenletek ezért egymással összefüggnek. A főkvantumszám a hullámfüggvény megoldásának radiális részéből jön ki, amint az alább látható.

A Schrödinger hullámegyenlet az energia sajátállapotokat a megfelelő valós En számokkal írja le, meghatározott, En értékű teljes energiával. A hidrogénatomban az elektron kötött állapotának energiái:

n értéke csak pozitív egész szám lehet. Az energiaszintek fogalma és azok jelölése az atom Bohr-modelljéből származnak. A Schrödinger-egyenlet a lapos, két dimenziós Bohr-atom elképzeléséből háromdimenziós hullámfüggvénymodellt fejlesztett.

A Bohr-modellben a megengedett pályákat az L pályaimpulzusmomentum kvantált (diszkrét) értékeiből vezették le, az alábbi egyenlet szerint:

ahol n = 1, 2, 3, … neve főkvantumszám, h pedig a Planck-állandó. A kvantummechanikában ez a képlet nem helyes, mivel az impulzusmomentum nagyságát a mellékkvantumszám adja meg, de az energiaszintek helyesek, és klasszikusan megfelel az elektron potenciális és mozgási energia összegének.

Az n főkvantumszám adja meg az egyes pályák viszonylagos összenergiáját. Az egyes pályák energiaszintje a magtól távolodva növekszik. Az ugyanahhoz az n értékhez tartozó pályák összességét gyakran elektronhéjnak vagy energiaszintnek nevezik.

A bármely hullám-anyag kölcsönhatás során kicserélődő energia legkisebb értéke a hullám frekvenciájának és a Planck-állandónak a szorzata. Ez okozza azt, hogy a hullám részecskeszerű energiaadagként, kvantumként viselkedik. A különböző n értékekhez tartozó energiaszintek közötti különbség határozza meg egy elem emissziós spektrumát.

A periódusos rendszer szokásos jelölésével a fő elektronhéjak az alábbiak:

K (n = 1), L (n = 2), M (n = 3) stb.

A főkvantumszám és az nr radiális kvantumszám közötti kapcsolat:

ahol a mellékkvantumszám, nr pedig a radiális hullámfüggvény nullahelyeinek (csomófelületeinek) számával egyenlő.

Egy közös Coulomb-erőtérben mozgó, diszkrét spektrumú részecske teljes energiája:

,

ahol:

  • a Bohr-sugár,
  • a főkvantumszám.

A Coulomb-erőtérben mozgó elektron kvantummechanikai problémájának megoldásából származó vonalas spektrum egybeesik azzal, mint amelyet a klasszikus egyenletek Bohr–Sommerfeld-féle kvantálási szabályok alapján történő átalakítása eredményez. A radiális kvantumszám meghatározza az radiális hullámfüggvény csomófelületeinek számát.[1]

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. A. V. Andrew. 2. Schrödinger equation, Atomic spectroscopy. Introduction of theory to Hyperfine Structure (angol nyelven), 274. o.. ISBN 978-0-387-25573-6 (2006. december 7.) 

Fordítás[szerkesztés]

Források[szerkesztés]

Ismeretterjesztő weblapok[szerkesztés]

Szakkönyvek, tankönyvek[szerkesztés]