Négyzetre emelés

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A négyzetre emelés azt jelenti, hogy a számot megszorozzuk önmagával. Ez egy egyváltozós művelet. A hatványozás speciális esetének tekinthető (második hatvány); a kitevőbe írt 2-vel jelölik.

Példa: öt a négyzeten vagy öt a másodikon:

5^2 = 5 \cdot 5 = 25

A négyzet elnevezés a geometriából ered: geometriai értelemben a négyzet szabályos négyszög, négy egyforma hosszú oldallal és négy derékszöggel. A négyzet területe megkapható oldalhosszának négyzetre emelésével.

A természetes számok négyzetei a négyzetszámok:

1^2=1; \; 2^2=4; \; 3^2=9; \; \ldots

A szorzás fogalmának kiterjesztésével tetszőleges egész, racionális, valós vagy komplex szám megszorozható önmagával, azaz négyzetre emelhető. Még általánosabban, a négyzetre emelés értelmezhető bármely olyan struktúrában, ahol szorozni lehet, tehát csoportokban és gyűrűkben. Így lehet beszélni például mátrixok négyzetéről.

Tulajdonságai:

  • Valós szám négyzete nem-negatív.
  • Egy valós szám négyzete megegyezik ellentettjének négyzetével.
  • Egész szám négyzete egész. Páros szám négyzete páros (sőt 4-gyel osztható), páratlan szám négyzete páratlan.

A valós számokon értelmezett x \mapsto x^2 függvény másodfokú függvény. Grafikonja a normálparabola. A valós számok halmazán nem egy-egyértelmű, de a nem-negatív számok halmazán igen. Itt értelmezett inverze a négyzetgyökfüggvény:

x \in \mathbb{R}^+_0 \rightarrow \sqrt x