Momentumgeneráló függvény

A momentumgeneráló függvény a valószínűségi változókhoz rendelt függvények egyike. Sok esetben definiálható a függvény a nulla egy környezetében a komplex síkon vagy a valós számok egy szakaszán, és deriváltjai segítenek kiszámítani a valószínűségi változó momentumait, innen a neve.

Definíció

Egy $X$ valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye:

$M_{X}(t):=E\left(e^{tX}\right)$,

ahol $t$ a függvény változója. A momentumgeneráló függvény ott van értelmezve, ahol a jobb oldali várható érték létezik. Mindenesetre a konvergencia igaz a $t=0$ pontban. Sok esetben ennek egy környezetében is teljesül a konvergencia, így a függvény hatványsorba fejthető:

$M_{X}(t)=E\left(\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(tX)^{n}}{n!}}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}E(X^{n})=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}}{n!}}m_{X}^{n}$.

Ahol $0^{0}:=1$ és $m_{X}^{n}=E(X^{n})$ az $X$ momentumai.

A momentumgeneráló függvény csak $X$ eloszlásától függ. Ha a valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye a nulla egy környezetében is konvergál, akkor az eloszlásnak van momentumgeneráló függvénye. Ha $M_{X}(t)$ csak a nullában értelmezhető, akkor az eloszlásnak nincs momentumgeneráló függvénye.

Folytonos valószínűségeloszlások

Ha $X$ eloszlása folytonos az $f$ folytonos sűrűségfüggvénnyel, akkor a várható érték helyettesítésével teljesül, hogy

$M_{X}(t)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x$

$=\int _{-\infty }^{\infty }\left(1+tx+{\frac {t^{2}}{2!}}x^{2}+\dotsb \right)f(x)\,\mathrm {d} x$

$=1+tm_{X}^{1}+{\frac {t^{2}}{2!}}m_{X}^{2}+\dotsb$

ahol $m_{X}^{k}$ az $X$ $k$-adik momentuma. Az $M_{X}\left(-t\right)$ éppen az $X$ által meghatározott mérték kétoldali Laplace-transzformációja.

Megjegyzések

Elnevezés

A momentumgenerátor név abból ered, hogy a függvény deriváltjai a nulla helyen éppen a valószínűségeloszlás momentumait veszik fel, mégpedig a $k$-adik derivált a $k$-adik momentumot:

${\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} t^{k}}}M_{X}(t){\biggr \vert }_{t=0}=E(X^{k})=m_{X}^{k}$,

ahogy az a fenti hatványsorból is kiolvasható. Az összes létező és nem eltűnő momentummal az eloszlás egyértelmű, feltéve, ha a momentumgeneráló függvény értelmezhető egy nyílt $(-\varepsilon ,\varepsilon )$ szakaszon, ahol $\varepsilon >0$.

Kapcsolat a karakterisztikus függvénnyel

A momentumgeneráló függvény kapcsolódik az eloszlás $\varphi _{X}(t)=E\left(e^{\mathrm {i} tX}\right)$ karakterisztikus függvényéhez. Momentumgeneráló függvény létezése esetén $\varphi _{X}(t)=M_{iX}(t)=M_{X}(\mathrm {i} t)$. Szemben a momentumgeneráló függvénnyel, karakterisztikus függvénye minden valószínűségi változónak van.

Kapcsolat a valószínűséggeneráló függvénnyel

Valószínűséggeneráló függvénye csak olyan eloszlásoknak van, amelyek értékei $\mathbb {N} _{0}$-beliek. Ekkor ez a függvény $m_{X}(t)=\operatorname {E} (t^{X})$. Ekkor diszkrét változókra $m_{X}(e^{t})=M_{X}(t)$ .

Kapcsolat a kumulánsgeneráló függvénnyel

A kumulánsgeneráló függvény a momentumgeneráló függvény logaritmusa. Belőle vezetik le a kumulánsokat.

Független valószínűségi változók összege

Független valószínűségi változók összegének momentumgeneráló függvénye a valószínűségi változók momentumgeneráló függvényeinek szorzata. Azaz, ha $X_{1},\dotsc ,X_{n}$ független valószínűségi változók, akkor $Y=X_{1}+\dotsb +X_{n}$ momentumgeneráló függvénye:

$M_{Y}(t)=E(e^{tY})=E(e^{tX_{1}+\ldots +tX_{n}})=E(e^{tX_{1}}\cdots e^{tX_{n}})=E(e^{tX_{1}})\cdots E(e^{tX_{n}})=M_{X_{1}}(t)\cdots M_{X_{n}}(t)$,

ahol az utolsó előtti egyenlőség azt használja fel, hogy független valószínűségi változók összegének várható értéke a valószínűségi változók várható értékeinek szorzata.

Egyértelműség

Ha egy valószínűségi változó momentumgeneráló függvénye véges a nulla egy környezetében, akkor egyértelműen meghatározza a valószínűségi változó eloszlását.

Legyenek $X$ és $Y$ valószínűségi változók, az $M_{X}$ és $M_{Y}$ momentumgeneráló függvényekkel. Ha van egy $\varepsilon >0$, hogy $M_{X}(s),M_{Y}(s)<\infty$ minden $s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$ esetén, akkor $P_{X}=P_{Y}$ akkor és csak akkor, ha $M_{X}(s)=M_{Y}(s)$ minden $s\in (-\varepsilon ,\varepsilon )$ helyen.

Példák

Több eloszlásnak ismert a momentumgeneráló függvénye:

Eloszlás	Momentumgeneráló függvény, MX(t)
Bernoulli-eloszlás $\mathrm {B} (p)$	$M_{X}(t)=1-p+pe^{t}$
Béta-eloszlás $\mathrm {B} (a,b,p,q)$	$M_{X}(t)=1+\sum _{n=1}^{\infty }\left(\prod _{k=0}^{n-1}{\frac {a+k}{a+b+k}}\right){\frac {t^{n}}{n!}}$
Binomiális eloszlás $\mathrm {B} (p,n)$	$M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n}$
Cauchy-eloszlás	Nincs momentumgeráló függvény.
Khi-négyzet-eloszlás $\chi _{n}^{2}$	$M_{X}(t)={\frac {1}{(1-2t)^{n/2}}}$
Erlang-eloszlás $\mathrm {Erlang} (\lambda ,n)$	$M_{X}(t)=\left({\frac {\lambda }{\lambda -t}}\right)^{n}$ ha $t<\lambda$
Exponenciális eloszlás $\mathrm {Exp} (\lambda )$	$M_{X}(t)={\frac {\lambda }{\lambda -t}}$ ha $t<\lambda$
Gamma-eloszlás $\gamma (p,b)$	$M_{X}(t)=\left({\frac {b}{b-t}}\right)^{p}$
Geometriai eloszlás a $p$ paraméterrel	$M_{X}(t)={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}$
Egyenletes eloszlás a $[0,a]$ intervallumon	$M_{X}(t)={\frac {e^{ta}-1}{ta}}$
Laplace-eloszlás a $\mu ,\sigma$ paraméterekkel	$M_{X}(t)={\frac {e^{\mu t}}{1-\sigma ^{2}t^{2}}}$
Negatív binomiális eloszlás $\mathrm {NB} (r,p)$	$M_{X}(t)=\left({\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}$ ha $t<|\ln(1-p)|$
Normális eloszlás $\mathrm {N} (\mu ,\sigma ^{2})$	$M_{X}(t)=\exp {\left(\mu t+{\frac {\sigma ^{2}t^{2}}{2}}\right)}$
Poisson-eloszlás a $\lambda$ paraméterrel	$M_{X}(t)=\exp(\lambda (e^{t}-1))$

Többdimenziós valószínűségi változó

A momentumgeneráló függvény általánosítható $\ell$ dimenziós valós valószínűségi vektorváltozóra. Legyen $\mathbf {X} =(X_{1},\dotsc ,X_{\ell })$, ekkor

$M_{\mathbf {X} }(t)=M_{\mathbf {X} }(t_{1},\dots ,t_{l})=\operatorname {E} (e^{\langle t,\mathbf {X} \rangle })=\operatorname {E} \left(\prod _{j=1}^{\ell }e^{t_{j}X_{j}}\right)$,

ahol $\langle t,\mathbf {X} \rangle =\sum \limits _{j=1}^{\ell }t_{j}X_{j}$ a skaláris szorzás.

Források

• Klaus D. Schmidt: Maß und Wahrscheinlichkeit. Springer, Berlin / Heidelberg 2009, ISBN 978-3-540-89729-3, S. 378 ff.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Momenterzeugende Funktion című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.