Differenciálszámítás

Egyváltozós függvényrajz (feketével), és ennek érintője (vörössel) a piros körrel jelzett pontban. Az érintő meredeksége megegyezik az adott pontban számított deriválttal. A képen az érintő lejt, így az itteni derivált egy negatív szám

A differenciálszámítás a matematikai analízis egyik legfontosabb módszere. Azt vizsgálja, hogy a (valós vagy komplex értékű) függvények hogyan változnak néhány (esetleg az összes, de legalább egy) független változó változására. Ennek jellemzésére a differenciálszámítás elsődleges fontosságú fogalma, a derivált szolgál.

Egyváltozós valós-valós függvénynél (valós számokhoz valós számokat rendelünk, síkban többnyire ábrázolható) a pontbéli derivált egyenlő az adott pontban húzott érintő meredekségével (kivétel ez alól az inflexiós pont). Általánosságban egy függvény deriváltja megmutatja az adott függvény tárgyalt pontjában való legjobb lineáris közelítését.

A derivált megkeresésének folyamatát nevezzük differenciálásnak. Bizonyítható, hogy a differenciálás az integrálás inverz művelete.

A differenciálszámítást a természettudományok túlnyomó részében használjuk. Például a fizikában egy testre vonatkozó helyvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltja a sebesség. Newton második mozgási törvénye értelmében egy adott testre ható erővektorok algebrai összegének időfüggvénye egyenlő a testre vonatkozó impulzusvektor időfüggvényének idő szerinti első deriváltjával. A kémiában a reakcióidőket, az operációkutatásban a gazdaságosságokat, a játékelméletben megfelelő stratégiákat lehet meghatározni vele stb.

A deriváltakat gyakran függvények extrémumainak meghatározására is alkalmazzuk. Függvényegyenletek is tartalmazhatnak deriváltakat, ezeket differenciálegyenleteknek nevezzük. Sok jelenségét le tudunk írni a differenciálszámítás alkalmazásával, általában azokat, melyek folytonos mozgással vagy változásokkal modellezhetőek.

A deriválási tételek, szabályok, tulajdonságok és ezek általánosításai megjelennek még a komplex analízisben, a függvényanalízisben, a differenciálgeometriában, az absztrakt algebrában is, illetve mind az elméleti, mind az alkalmazott természettudományok további területein.

A derivált

• Az alábbiakban csakis kizárólag egyváltozós, valós explicit függvények differenciálásával fogunk foglalkozni.

Legyen x és y valós szám, és y legyen x függvénye, tehát y = f(x). Az egyik legegyszerűbb függvény a lineáris függvény. Ennek képe egy egyenes. Ekkor y = f(x) = m x + c, ahol m és c valós számok. Itt m határozza meg f(x) meredekségét, c pedig azt, hogy f(x) hol metszi az y tengelyt (leggyakrabban ezt vertikális tengelyként ábrázoljuk). Könnyen belátható, hogy $\scriptstyle m={\frac {\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~y}{\mathrm {v{\acute {a}}ltoz{\acute {a}}s} ~x}}={\Delta y \over {\Delta x}}\,$. A Δ a görög delta betű, jelentése itt: "változás". Mivel y + Δy = f(x+ Δx) = m (x + Δx) + c = m x + c + m Δx = y + mΔx, ebből következik, hogy Δy = m Δx.

Bár ez csak lineáris függvényekre igaz, folytonos f függvényt közelíthetünk lineáris függvénnyel.

Elemi függvények deriváltjai

Tételezzük fel, hogy f(x) függvény az értelmezési tartomány egészén folytonos, tehát nincs szakadása, továbbá differenciálható.

Alapfüggvény típusa	Általános jelölése	(elsőrendű) Deriváltja
Konstans függvény	$f(x)=c\quad (c\in R)$	$f'(x)=0\,$
Lineáris függvény	$f(x)=cx\,$	$f'(x)=c\,$
Hatványfüggvény	$f(x)=cx^{n}\,$	$f'(x)=cn\cdot x^{n-1}$
Szinusz trig.m.fv.	$f(x)=\sin x\,$	$f'(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}+k2\pi \right)=\cos x$
Koszinusz trig.m.fv.	$f(x)=\cos x\,$	$f'(x)=\sin(\pi +k2\pi )=-\sin(x)\,$
Exponenciális függvény	$f(x)=c^{x}\,$	$f'(x)=c^{x}\cdot \ln c$
Logaritmus függvény	$f(x)=\log _{c}x={\frac {\ln x}{\ln c}}$	$f'(x)={\frac {1}{x\cdot \ln c}}$

Inverz- és egyéb további függvények deriváltjairól a Derivált szócikkben olvashatsz.

Differenciálási szabályok

Vannak olyan összetett függvények, melyek nem lettek külön megemlítve az elemi függvények deriváltfüggvényei között. Ezek például a két függvény hányadosából előállított függvények. Összetett függvények differenciálásához szükségesek a következő szabályok:

• $\left[f(x)\pm g(x)\right]'=f'(x)\pm g'(x)$

miszerint, két függvény összegének deriváltján az egyik függvény deriváltjának, valamint a másik függvény deriváltjának összegét értjük.

• $\left[c\!\cdot \!f(x)\right]'=c\!\cdot \!f'(x)$

tehát, bármely függvény "szorzó-konstansa" kivihető a deriváltjel alól (melyek az integrálási azonosságokhoz hasonlóan adódnak).

• $\left[f(x)\cdot g(x)\right]'=f'(x)\!\cdot \!g(x)\;+\;f(x)\!\cdot \!g'(x)$

vagyis, azt mondhatjuk, hogy két függvény szorzatának deriváltja az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának összegével egyenlő.

• $\left[{\frac {f(x)}{g(x)}}\right]'={\frac {f'(x)\!\cdot \!g(x)\;-\;f(x)\!\cdot \!g'(x)}{g^{2}(x)}}$

avagy, két függvény hányadosának deriváltján (a két függvény szorzatának deriváltjából kiindulva) az egyik függvény deriváltjának és a másik függvény szorzatának, valamint az egyik függvény és a másik függvény deriváltjának szorzatának különbségének és a második függvény négyzetének hányadosával egyenlő.

• $\left[(f\circ g)(x)\right]'=\left[f(g(x))\right]'=f'(g(x))\!\cdot \!g'(x)$ (láncszabály)

azaz, két függvény kompozíciójának deriváltja az első függvény deriváltjának a második függvény értékén, és a második függvény deriváltjának szorzatával egyenlő.

1. példa: a tangensfüggvény deriválása - A részletezés jobbra nyitható!

Határozzuk meg az $\scriptstyle f(x)=\tan x$ trigonometrikus szögfüggvény deriváltfüggvényét!

A tangens trigonometrikus függvény összetett függvény, mivel a szinusz- és a koszinuszfüggvények hányadosából áll elő. Ezen ismeret felhasználásával állapítsuk meg $\scriptstyle f'(x)$-et!

$f(x)=\tan x={\frac {\sin x}{\cos x}}$

$f'(x)=\left({\frac {\sin x}{\cos x}}\right)'={\frac {(\sin x)'\cos x-\sin x(\cos x)'}{\cos ^{2}x}}$

$f'(x)={\frac {\cos ^{2}x+\sin ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {\cos ^{2}x+1-\cos ^{2}x}{\cos ^{2}x}}={\frac {1}{\cos ^{2}x}}$

Ennek alapján kijelenthető, hogy:

$g(x)=\cot x\ ={\frac {1}{\tan x}}={\frac {\cos x}{\sin x}}$

$g'(x)=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}}$

A differenciálszámítás gyakorlati alkalmazása

Analízis

Legyen adott az $\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$ harmadfokú függvény. Elemezzük ezt a függvényt az alábbi szempontok alapján:

• Függvénytípus meghatározása (a függvénycsalád definiálása)
• Értelmezési tartomány
• Értékkészlet
• Zérushely(ek)
• Határérték
• Szélsőértékek (extrémumok)
• Monotonitás
• Inflexiós pont(ok)
• Konvexitás
• Sajátos függvényvonások: paritás (és szimmetria), aszimptoták.

Függvénytípus: Egyváltozós explicit, algebrai és harmadfokú függvény.

Értelmezési tartomány:

$\scriptstyle D_{f}:\forall x\in \mathbb {R}$

Értékkészlet:

$\scriptstyle R_{f}:\forall y\in \mathbb {R}$

Zérushely(ek):

A zérushelyek megállapításához meg kell oldanunk a következő harmadfokú egyenletet:

$\scriptstyle x^{3}+8x^{2}+16x=0$

$\scriptstyle x(x^{2}+8x+16)=0$ (kiemeltünk 'x'-et)

Ebből a megoldások: $\scriptstyle x_{1}=0$ és $\scriptstyle x_{2}=-4$

Határérték(ek):

$\lim _{x\rightarrow +\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=+\infty$

$\lim _{x\rightarrow -\infty }x^{3}+8x^{2}+16x=-\infty$

(tehát a függvénynek az értelmezési tartomány egészén nincs határértéke /az $\scriptstyle x\in \mathbb {R}$ intervallumon/.)

Extrémumok (lokális szélsőértékek):

Bármely függvény (lehetséges!) szélsőértékeinek helyét a függvény első deriváltjának zérushelye(i) adja:

$\scriptstyle f'(x)=3x^{2}+16x+16$

$\scriptstyle 3x^{2}+16x+16=0$

$\scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}$

$\scriptstyle x_{2}=-4$

Hogy melyik x lesz a minimum és maximum hely, azt az f(x)-be történő behelyettesítés után kapott érték után tudjuk egyértelműen eldönteni (a kapott x-eket helyettesítsük be f(x)-be!):

$\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$

$\scriptstyle x_{1}=-1{\frac {1}{3}}$

$\scriptstyle f(x_{1}=-1{\frac {1}{3}})=\left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{3}+8\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)^{2}+16\cdot \left(-1{\frac {1}{3}}\right)=-256/27\approx -9,4815$

$\scriptstyle f(x)=x^{3}+8x^{2}+16x$

$\scriptstyle x_{2}=-4$

$\scriptstyle f(x_{2}=-4)=(-4)^{3}+8\cdot (-4)^{2}+16\cdot (-4)=0$

Tehát: $\scriptstyle f(x_{2})>f(x_{1})$

Így: $\scriptstyle x_{\max }=-4;x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}$.

Ha az első derivált 0, még mindig elképzelhető, hogy a függvénynek azon a helyen nincs sem lokális minimuna, sem lokális maximuma, például a $\scriptstyle g(x)=x^{3}$ függvény deriváltja a 0 helyen: ${\frac {d}{dx}}x^{3}{\Bigg |}_{x=0}=0$, pedig nincs szélsőérték.

Monotonitás:

A monotonitás meghatározásához többféle kalkulus módszert és/vagy tételt alkalmazhatunk, mi azonban használjuk fel azt, hogy az extrémumok meghatározása után vagyunk és tudunk következtetést mondani a függvény egyszerűsége miatt a függvény monotonitására. A páratlan kitevős algebrai függvény grafikonja és a lokális szélsőértékek miatt:

f(x) függvény extrémumai (x):

$\scriptstyle x_{\max }=-4$ és $\scriptstyle x_{\min }=-1{\frac {1}{3}}$, tehát tekintsük ezen pontok halmazait monotonitás szempontjából:

• Az f(x) függvény szigorúan monoton növekvő az $\scriptstyle x\in ]-\infty ;-4[\cup ]-1{\frac {1}{3}};+\infty [$ intervallumon
• Az f(x) függvény szigorúan monoton csökkenő ugyanezen valós számhalmaz komplementerén, azaz: $\scriptstyle x\in ]-4;-1{\frac {1}{3}}[$

Inflexiós pontok (konvexitás határok): Bármely függvény inflexiós pontja(i)nak helyét a függvény második deriváltjának zérushelye(i) adja meg:

$\scriptstyle f''(x)=6x+16$

$\scriptstyle 6x+16=0$

$\scriptstyle x={\frac {-16}{6}}$

Az inflexiós pont (IP) koordinátái: $\scriptstyle IP\left(-{\frac {16}{6}};-{\frac {256}{54}}\right)$.

Figyeljünk arra, hogy inflexiós pont sem mindig létezik, csak ha $\scriptstyle f'''(x_{0})\neq 0$, tehát a harmadik deriváltnak zérustól különbözőnek kell lennie. Vannak azonban olyan esetek, amikor ennek ellenére mégis van zérushelye a függvénynek (pl. az $\scriptstyle f(x)=x\cdot |x|$, mivel e függvény inflexiós pontja: $\scriptstyle IP(0;0)$).

Konvexitás:

Az inflexiós pontnak és a függvény grafikonjának megsejtésének köszönhetően megmondhatjuk, hogy a függvény hol konvex, illetve konkáv:

• Az f(x) függvény konvex az x ∈ ]-∞ ; -16/6 [ intervallum egészén;
• Az f(x) függvény konkáv az x ∈ ]-16/6 ; +∞ [ intervallum egészén.

Koordinátageometria

Lineáris közelítés: Legyen adott f függvény. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintőjének egyenlete: y = f(x0)+f'(x0)(x-x0). Tekintsük az f(x)=x² algebrai polinom függvényt, valamint x0=4 pontját. Ekkor f-nek az x0 abszcisszájú pontjába húzható érintő egyenes egyenlete esetünkben: y = 16 + 8(x-4), azaz: 8x - y = 16. Megj.: minden lineáris és konstans függvény érintője önmaga (∀x∈R-ben)

Simulókör egyenlete:

Ívdifferenciál kiszámítása. A függvények differenciáljának definícióját felhasználva: r = √1+y'².

Differenciálegyenletek

Differenciálegyenletek megoldása és megoldhatósága, nevezetes és közönséges differenciálegyenletek és problémák.

Egyéb analitikus területek

Középérték tétel: Legyen adott az f függvény, amelyre teljesül, hogy folytonos az [a, b] intervallumon, valamint differenciálható az ]a, b[ intervallumon. Ekkor ∃c∈]a, b[, hogy azt mondhatjuk: [f(b)-f(a)]:(b-a) = f'(c).

Függvények közelítő értéke: Legyen adott f függvény, melynek x0 helyen vett helyettesítési értékét nem, vagy csak feltételesen, illetve legtöbbször csak hosszú munkával tudnánk kiszámítani. Ekkor az f(x0+t) helyettesítési értéket a differenciálszámítás tulajdonságát kihasználva felbontással úgy kapjuk, hogy: f(x0+t) = f(x0)+f'(x0)t (feltéve, hogy t minimális). Számítsuk ki f=√1000 értékét! Nyilvánvaló, hogy 1024-et könnyen meg tudjuk mondani kettő egész kitevős hatványaként: 2¹⁰, mely 1000-hez kellően közeli környezetében van. Ekkor a képletet felhasználva: f(1024-24)=32+(1/2·32)·(-24) ≈ 31,62.

Források

• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 3-4., Thomas-féle Kalkulus I., 2. kiadás (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114