„Lineáris leképezés” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
Apró módosítás |
Bővítés |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
Egy '''lineáris leképezés''' (vagy '''lineáris operátor |
Egy '''lineáris leképezés''' (vagy '''lineáris operátor''') a [[matematika|matematikában]], közelebbről a [[lineáris algebra|lineáris algebrában]], egy azonos [[test (algebra)|test]] feletti [[vektortér|vektorterek]] között ható [[művelet]]tartó [[függvény (matematika)|függvény]] (szakszóval vektortér-[[homomorfizmus]]). Egy [[operátor (matematika)|operátor]] bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha |
||
* két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és |
* két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és |
||
* egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa. |
* egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa. |
||
5. sor: | 5. sor: | ||
Leggyakrabban a [[valós számok|valós]], a [[komplex számok|komplex]] vagy a [[kvaterniók|kvaternió]] test feletti operátorokról van szó. |
Leggyakrabban a [[valós számok|valós]], a [[komplex számok|komplex]] vagy a [[kvaterniók|kvaternió]] test feletti operátorokról van szó. |
||
A [[geometria]] szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan [[affin transzformáció|affin leképezés]]ek |
A [[geometria]] szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan [[affin transzformáció|affin leképezés]]ek, melyeknek van [[fixpont]]ja. [[Algebra]]i szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek [[kategória (matematika)|kategóriájában]] az objektumok közti morfizmus. Az [[matematikai analízis|analízisben]] szintén vannak alkalmazásai, hiszen a [[Hilbert-tér|Hilbert-terek]] közt ható függvények is lineáris operátorok. |
||
== |
==Definíciók== |
||
Legyen ''V'' és ''U'' a <math>\mathbb{T}</math> [[test (algebra)|test]] feletti két [[vektortér]]. Az <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[leképezés]]t lineárisnak nevezzük, ha minden ''v''<sub>1</sub> és ''v''<sub>2</sub> ∈ ''V'' vektorra, illetve minden ''λ'' ∈ <math>\mathbb{T}</math> elemre és ''v'' ∈ ''V'' vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal: |
|||
* additivitás: <math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math> |
|||
* homogenitás: <math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math> |
|||
Ha tehát ''V'' és ''U'' a ''T'' [[test (algebra)|test]] feletti [[vektortér]], akkor az <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math>: ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub> ∈ ''V'' vektorra illetve λ ∈ ''T'' elemre és '''v''' ∈ ''V'' vektorra: |
|||
:<math>\mathcal{A}(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)</math> ''additivitás'' |
|||
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy <math>\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]képzést, azaz minden ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, … , ''λ''<sub>''n''</sub> <math>\mathbb{T}</math>-beli elemre és ''v''<sub>1</sub>, ''v''<sub>2</sub>, … , ''v''<sub>''n''</sub> ∈ ''V'' vektorra: |
|||
:<math>\mathcal{A}(\lambda\mathbf{v})=\lambda\mathcal{A}(\mathbf{v})</math> ''homogenitás'' |
|||
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math>. |
|||
Ez még úgy is megfogalmazható, hogy <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> megtartja a [[lineáris kombináció]]t, azaz minden λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, … , λ<sub>n</sub> ''T''-beli elemre és '''v'''<sub>1</sub>, '''v'''<sub>2</sub>, … , '''v'''<sub>n</sub> ∈ ''V'' vektorra: |
|||
:<math>\mathcal{A}(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_n\mathbf{v}_n)=\lambda_1\mathcal{A}(\mathbf{v}_1)+\lambda_2\mathcal{A}(\mathbf{v}_2)+...+\lambda_n\mathcal{A}(\mathbf{v}_n)</math> |
|||
Ha ''V'' és ''U'' megegyezik, akkor '''lineáris transzformáció'''ról beszélünk. |
|||
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet: |
|||
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math> |
|||
A '''lineáris leképezés rangja''' a képterének dimenziója, azaz |
|||
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math>: ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' egy ''T'' feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> leképezés ''T''-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a '''C''' <math>\rightarrow</math> '''C''', <math>\mbox{ }_{z}\,</math> <math>\mapsto</math> <math>\mbox{ }_{\overline{z}}\,</math> konjugálás ugyan '''R'''-lineáris, de nem '''C'''-lineáris. |
|||
:<math>\operatorname{Im}(\mathcal{A}) = \{\,\mathbf{w} \in U: \mathbf{w} = \mathcal{A}(\mathbf{v}), \mathbf{v} \in V\,\}</math> '''képtér''' esetén |
|||
:<math>\operatorname{rk}(\mathcal{A}) = \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(\mathcal{A}))</math>. |
|||
== Jelölése== |
|||
A ''V'' <math>\rightarrow</math> ''T'' típusú lineáris leképezéseket (a térből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) '''lineáris funkcionál'''oknak nevezzük. Például a [[duális tér]] elemei lineáris funkcionálok. |
|||
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy [[görög ábécé|görög betűvel]] jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet: |
|||
: <math>\mathcal{O}</math>, <math>\underline{\underline{\mathcal{A}}}</math>, <math>\widehat{\mathcal{B}}</math>, <math>\widehat{\underline{\underline{C}}}</math>,<math>\varphi\,</math>, <math>\mathcal{A}\mathbf{v}</math> |
|||
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> egy <math>\mathbb{T}</math> feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az <math>\mathcal{A}</math> leképezés <math>\mathbb{T}</math>-'''lineáris'''. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a <math>\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}</math>, <math>z \mapsto \overline{z}\,</math> [[Komplex konjugált|konjugálás]] ugyan <math>\mathbb{R}</math>-lineáris, de nem <math>\mathbb{C}</math>-lineáris. |
|||
Minden lineáris leképezés a 0 elemet a képtér 0 elemébe képezi. Ha <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math>: ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'', akkor |
|||
:<math>\mathcal{A}\mathbf{0}_V=\mathbf{0}_U</math> |
|||
A <math>V \rightarrow \mathbb{T}</math> típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) '''lineáris funkcionál'''oknak nevezzük. Például a [[duális tér]] elemei lineáris funkcionálok. |
|||
==Lineáris leképezések tere== |
|||
Az azonos test feletti, ''V''-ből ''U''-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában |
|||
:<math>\mathrm{Hom}(V;U)\,</math>-val vagy <math>\mathrm{Lin}(V;U)\,</math>-val jelölik. |
|||
A Hom rövidítés nyilván a vektortér homomorfizmusra utal. |
|||
== Fajtái== |
|||
A Hom(V;V) tér (''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' vektortér automorfizmusok) ezen kívül egységelemes [[algebra (gyűrű)|algebrát]] alkotnak, a kompozíció műveletével, mint szorzással. |
|||
* '''Monomorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[injektív függvény|injektív]] lineáris [[homomorfizmus]] |
|||
* '''Epimorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[szürjektív függvény|szürjektív]] lineáris homomorfizmus |
|||
* '''[[Izomorfizmus]]''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math> [[bijektív függvény|bijektív]] lineáris homomorfizmus |
|||
* '''Endomorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow V</math> lineáris homomorfizmus |
|||
* '''Automorfizmus''': <math>\mathcal{A}: V \rightarrow V</math> bijektív lineáris homomorfizmus |
|||
== Tulajdonságai == |
|||
A ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval, mint művelettel csoportot, a ''V''-feletti ''[[Általános lineáris csoport|lineáris csoport]]''ot, azaz <math>\mbox{ }_{\mathrm{GL}(V)\,}</math>-t alkotják. |
|||
* Minden lineáris leképezés esetében az ''U''-beli [[neutrális elem]] (ami vektorterek esetében a [[nullvektor]]) képe a ''V''-beli neutrális elem, azaz ha <math>\mathcal{A}: V \rightarrow U</math>, akkor <math>\mathcal{A}(\mathbf{0}_V)=\mathbf{0}_U</math>. Ha ''U'' és ''V'' megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció [[fixpont]]ja. |
|||
==Mátrixreprezentáció== |
|||
Leképezések fajtái: |
|||
Véges dimenziós [[vektortér|vektorterek]] közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott [[Vektortér#Bázis|bázisától]]. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített ''A'' ''m''×''n''-es [[mátrix (matematika)|mátrix]] mellett bármely ''x'' ''n''-elemű vektorhoz az ''A·x'' ''m''-elemű vektort rendeli. |
|||
* '''Monomorfizmus'''. ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' injektív lineáris homomorfizmus. |
|||
* '''Epimorfizmus'''. ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' szűrjektív lineáris homomorfizmus. |
|||
Lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor egy leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében). |
|||
* '''Izomorfizmus'''. ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' bijektív lineáris homomorfizmus. |
|||
* '''Endomorfizmus'''. ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' lineáris homomorfizmus. |
|||
* '''Automorfizmus'''. ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' bijektív lineáris homomorfizmus. |
|||
==Koordináta reprezentáció== |
|||
===Előírhatósági tétel=== |
===Előírhatósági tétel=== |
||
Ha <math> |
Ha <math>\mathcal{A}</math> és <math>\mathcal{B}</math> két ''V'' <math>\rightarrow</math> ''U'' véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, …, ''b''<sub>''n''</sub>) [[Vektortér#Bázis|bázis]] ''V''-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz |
||
:<math>\mathcal{A}(\mathbf{b}_1)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_1),\;\mathcal{A}(\mathbf{b}_2)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_2),\;...\;,\mathcal{A}(\mathbf{b}_n)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_n)</math> |
:<math>\mathcal{A}(\mathbf{b}_1)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_1),\;\mathcal{A}(\mathbf{b}_2)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_2),\;...\;,\mathcal{A}(\mathbf{b}_n)=\mathcal{B}(\mathbf{b}_n)</math> |
||
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math> |
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz <math>\mathcal{A} = \mathcal{B}</math>. |
||
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez véges térbe, a |
Ez '''a lineáris leképezések előírhatósági tétele'''. Eszerint egy lineáris leképezést, ha ''n'' dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér ''n'' vektora egyértelműen meghatározza. |
||
===Leképezés mátrixa=== |
===Leképezés mátrixa=== |
||
Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a ''V'' bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő ''m''×''n''-es mátrixot értjük: |
|||
:<math>[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix} |
:<math>[\mathcal{A}]_{B,C} = \begin{bmatrix} |
||
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} |
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ \mathcal{A}\mathbf{b}_n \\ \vert \\ \vert \end{matrix} |
||
\end{bmatrix} </math> |
\end{bmatrix} </math> |
||
ahol ''B'' = ('''b'''<sub>1</sub>,'''b'''<sub>2</sub>,…,'''b'''<sub>n</sub>) a ''V'' bázisa, ''C'' az ''U'' bázisa, a mátrix oszlopai pedig a ''B'' elemeinek <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> általi képvektoraiból, mint oszlopvektorokból áll. Ha <math>\mbox{ }_\mathcal{A}</math> ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' típusú, akkor csak <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]_B}</math>-t szokás írni, ha pedig pusztán <math>\mbox{ }_{[\mathcal{A}]}</math>-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a ''T''<sup>n</sup> vektortér (például '''R'''<sup>n</sup>) ''sztenderd bázis''áról van szó, azaz a |
|||
ahol ''B'' = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, …, ''b''<sub>''n''</sub>) a ''V'' bázisa, ''C'' az ''U'' bázisa, a mátrix oszlopai pedig a ''B'' elemeinek <math>\mathcal{A}</math> általi képvektorai mint ''m''-elemű oszlopvektorok. Ha az ''U'' tér ''m''-dimenziós, akkor a <math>[\mathcal{A}]_{B,C}</math> mátrix összesen ''m'' <math>\cdot</math> ''n'' darab (szám)adatot tartalmaz. Ha <math>\mathcal{A}</math> <math>V \rightarrow V</math> típusú, akkor csak <math>[\mathcal{A}]_B</math>-t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy [[négyzetes mátrix]] lesz. Ha pedig pusztán <math>[\mathcal{A}]</math>-t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a <math>\mathbb{T}^n</math> ''n''-dimenziós vektortér (például <math>\mathbb{R}^n</math>) bázisaként a különféle irányú [[egységvektor]]okból álló '''sztenderd bázis'''ról van szó, azaz a |
|||
:<math>\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}</math> |
:<math>\mbox{ }_{\mbox{ }_{\begin{pmatrix}1\\0\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\1\\0\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\begin{pmatrix}0\\0\\1\\ \vdots \\0 \end{pmatrix},\;\dots\;,\begin{pmatrix}0\\0\\0\\ \vdots \\1 \end{pmatrix}}}</math> |
||
vektorrendszerről. |
vektorrendszerről. |
||
A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki: |
|||
:<math>[\mathcal{A}\mathbf{v}]_C=[\mathcal{A}]_{B,C}\cdot [\mathbf{v}]_B</math> |
:<math>[\mathcal{A}\mathbf{v}]_C=[\mathcal{A}]_{B,C}\cdot [\mathbf{v}]_B</math> |
||
=== Hasonló mátrixok === |
|||
Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg. |
|||
Definiáljuk először a '''hasonlóság''' tulajdonságát: egy ''A'' ''n''×''n''-es [[négyzetes mátrix]] hasonló egy ''B'' mátrixhoz (jelölésben: ''A'' ∼ ''B''), ha létezik olyan [[Invertálható mátrix|invertálható]] ''P'' mátrix, amelyre |
|||
: <math> B = P^{-1}AP</math>. |
|||
Bizonyítható állítások: |
|||
* Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok. |
|||
* A hasonló mátrixok [[rang (lineáris algebra)|rangjai]] megegyeznek, és ez azonos a közös lineáris leképezés rangjával. |
|||
* A hasonló mátrixok [[karakterisztikus polinom]]jai megegyeznek, és emiatt [[sajátérték]]eik is azonosak. |
|||
==Lineáris leképezések tere== |
|||
Az azonos <math>\mathbb{T}</math> test feletti, ''V''-ből ''U''-ba képező lineáris leképezések [[vektortér|vektorteret]] alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(''V'', ''U'')-val vagy Lin(''V'', ''U'')-val jelölik ,ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal. |
|||
A Hom(''V'', ''V'') vektortér elemei (azaz a ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' vektortér-automorfizmusok) ezen kívül [[egységelem]]es [[algebra (gyűrű)|algebrát]] alkotnak a [[függvénykompozíció|kompozíció]] műveletével mint szorzással. |
|||
A ''V'' <math>\rightarrow</math> ''V'' lineáris [[bijekció]]k invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy [[csoport (matematika)|csoportot]] alkotnak, a ''V''-feletti '''[[általános lineáris csoport|lineáris csoport]]'''ot (''GL''(''V'')). |
|||
===Operátorműveletek és mátrixműveletek=== |
===Operátorműveletek és mátrixműveletek=== |
||
67. sor: | 90. sor: | ||
*'''[[függvénykompozíció|Kompozíció]]''' |
*'''[[függvénykompozíció|Kompozíció]]''' |
||
:<math>[\mathcal{A}\circ\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]\cdot [\mathcal{B}]</math> |
:<math>[\mathcal{A}\circ\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]\cdot [\mathcal{B}]</math> |
||
*'''Invertálás'''. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll: |
*'''Invertálás'''. Injektív lineáris leképezés mátrixa [[reguláris mátrix|reguláris]], és fennáll: |
||
:<math>[\mathcal{A}^{-1}]=[\mathcal{A}]^{-1}</math> |
:<math>[\mathcal{A}^{-1}]=[\mathcal{A}]^{-1}</math> |
||
*'''Összeadás''' |
*'''Összeadás''' |
||
:<math>[\mathcal{A}+\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]+ [\mathcal{B}]</math> |
:<math>[\mathcal{A}+\mathcal{B}]=[\mathcal{A}]+ [\mathcal{B}]</math> |
||
*''' |
*'''Skalárszorzás''' |
||
:<math>[\lambda\mathcal{A}]=\lambda\cdot[\mathcal{A}]</math> |
:<math>[\lambda\mathcal{A}]=\lambda\cdot[\mathcal{A}]</math> |
||
=== Dimenziótétel === |
|||
{{bővebben|Dimenziótétel}} |
|||
== Példák == |
|||
Síkbeli lineáris transzformációk és <math>\mathbb{R}^2</math> felett a sztenderd bázishoz tartozó mátrixaik: |
|||
* [[identitás (geometria)|identitás]] |
|||
**: <math>\mathbf{I} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> |
|||
* [[forgatás]] az origó körül |
|||
** 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban: |
|||
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}</math> |
|||
** tetszőleges ''θ'' szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban: |
|||
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}</math> |
|||
* [[tükrözés (matematika)|tükrözés]] |
|||
** az x-tengelyre: |
|||
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}</math> |
|||
** az y-tengelyre: |
|||
**: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> |
|||
* kétszeres nagyítás: |
|||
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}</math> |
|||
* vízszintes nyírás: |
|||
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> |
|||
* [[hiperbolikus forgatás]]: |
|||
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}</math> |
|||
* merőleges vetítés az y-tengelyre: |
|||
*: <math>\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}</math> |
|||
Nem lineáris transzformáció: |
|||
* [[eltolás]] (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel) |
|||
==Források== |
==Források== |
||
79. sor: | 131. sor: | ||
*[http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html MathWorld: ''Linear Transformation''] |
*[http://mathworld.wolfram.com/LinearTransformation.html MathWorld: ''Linear Transformation''] |
||
{{Portál|Matematika}} |
{{Portál|Matematika|i |}} |
||
{{DEFAULTSORT:Linearislekepezes}} |
{{DEFAULTSORT:Linearislekepezes}} |
||
[[Kategória:Lineáris algebra]] |
[[Kategória:Lineáris algebra]] |
A lap 2019. augusztus 6., 01:09-kori változata
Egy lineáris leképezés (vagy lineáris operátor) a matematikában, közelebbről a lineáris algebrában, egy azonos test feletti vektorterek között ható művelettartó függvény (szakszóval vektortér-homomorfizmus). Egy operátor bemenete tehát vektor, kimenete pedig szintén vektor, az úgy nevezett képvektor. Lineáris tehát egy ilyen vektorhoz vektort rendelő leképezés, ha
- két vektor összegének képe a két vektor képének összege, és
- egy vektor számszorosának képe a vektor képének ugyanezen számszorosa.
Leggyakrabban a valós, a komplex vagy a kvaternió test feletti operátorokról van szó.
A geometria szempontjából a térbeli lineáris leképezések olyan affin leképezések, melyeknek van fixpontja. Algebrai szempontból a lineáris leképezés egy vektortér-homomorfizmus. A kategóriaelméletben a vektorterek kategóriájában az objektumok közti morfizmus. Az analízisben szintén vannak alkalmazásai, hiszen a Hilbert-terek közt ható függvények is lineáris operátorok.
Definíciók
Legyen V és U a test feletti két vektortér. Az leképezést lineárisnak nevezzük, ha minden v1 és v2 ∈ V vektorra, illetve minden λ ∈ elemre és v ∈ V vektorra egyszerre rendelkezik az alábbi két tulajdonsággal:
- additivitás:
- homogenitás:
A fenti definíció egyenértékű azzal, hogy megtartja a lineáris kombinációképzést, azaz minden λ1, λ2, … , λn -beli elemre és v1, v2, … , vn ∈ V vektorra:
- .
Ha V és U megegyezik, akkor lineáris transzformációról beszélünk.
A lineáris leképezés rangja a képterének dimenziója, azaz
- képtér esetén
- .
Jelölése
Szokás az operátorokat írott betűvel jelölni, vagy kettővel aláhúzni, vagy cirkumflexet tenni fölé, vagy görög betűvel jelölni, vagy az argumentuma köré nem tenni zárójelet:
- , , , ,,
Ha ki akarjuk hangsúlyozni (például az egyértelműség kedvéért), hogy egy feletti lineáris leképezés, akkor azt mondjuk, hogy az leképezés -lineáris. Különleges esetben ennek jelentősége lehet, például a , konjugálás ugyan -lineáris, de nem -lineáris.
A típusú lineáris leképezéseket (a vektortérből az alaptestbe képező lineáris leképezéseket) lineáris funkcionáloknak nevezzük. Például a duális tér elemei lineáris funkcionálok.
Fajtái
- Monomorfizmus: injektív lineáris homomorfizmus
- Epimorfizmus: szürjektív lineáris homomorfizmus
- Izomorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
- Endomorfizmus: lineáris homomorfizmus
- Automorfizmus: bijektív lineáris homomorfizmus
Tulajdonságai
- Minden lineáris leképezés esetében az U-beli neutrális elem (ami vektorterek esetében a nullvektor) képe a V-beli neutrális elem, azaz ha , akkor . Ha U és V megegyezik, akkor a neutrális elem az adott lineáris transzformáció fixpontja.
Mátrixreprezentáció
Véges dimenziós vektorterek közötti lineáris leképezések mátrixleképezésekkel reprezentálhatók, de a leképezéshez tartozó mátrix függ a vektortér általunk választott bázisától. A mátrixleképezés olyan függvény, amely egy rögzített A m×n-es mátrix mellett bármely x n-elemű vektorhoz az A·x m-elemű vektort rendeli.
Lineáris leképezésekről akkor is beszélhetünk, amikor egy leképezésnek nincs mátrixa (pl. végtelen dimenziós vektorterek esetében).
Előírhatósági tétel
Ha és két V U véges dimenziós vektorterek között ható lineáris leképezés, (b1, b2, …, bn) bázis V-ben, és mindkét leképezés a bázis elemein ugyanazt veszik fel, azaz
akkor a két leképezés azonosan egyértelmű, azaz .
Ez a lineáris leképezések előírhatósági tétele. Eszerint egy lineáris leképezést, ha n dimenziós térből képez egy véges térbe, a véges tér n vektora egyértelműen meghatározza.
Leképezés mátrixa
Az előírhatósági tétel értelmében rögzített bázis (a kiindulási és az érkezési térben rögzített bázispár) esetén a lineáris leképezést egyértelműen meghatározza a V bázisát alkotó vektorok képeinek koordinátamátrixa, melyen a következő m×n-es mátrixot értjük:
ahol B = (b1, b2, …, bn) a V bázisa, C az U bázisa, a mátrix oszlopai pedig a B elemeinek általi képvektorai mint m-elemű oszlopvektorok. Ha az U tér m-dimenziós, akkor a mátrix összesen m n darab (szám)adatot tartalmaz. Ha típusú, akkor csak -t szokás írni, ami a vektortér-dimenziók azonossága miatt egy négyzetes mátrix lesz. Ha pedig pusztán -t írnak, akkor az azt jelenti, hogy a n-dimenziós vektortér (például ) bázisaként a különféle irányú egységvektorokból álló sztenderd bázisról van szó, azaz a
vektorrendszerről.
A bázisok ilyetén jelölése mellett a képvektorok koordinátáit a következő egyszerű mátrixszorzással számíthatjuk ki:
Hasonló mátrixok
Egy lineáris leképezéshez a vektorterek általunk választott különféle bázisai esetében más-más mátrix tartozik. Az azonos lineáris leképezéshez tartozó különféle mátrixok közötti algebrai kapcsolatot az alábbi tétel adja meg.
Definiáljuk először a hasonlóság tulajdonságát: egy A n×n-es négyzetes mátrix hasonló egy B mátrixhoz (jelölésben: A ∼ B), ha létezik olyan invertálható P mátrix, amelyre
- .
Bizonyítható állítások:
- Két mátrix pontosan akkor hasonló, ha van két olyan bázis, amelyekben a mátrixok ugyanazon lineáris leképezéshez tartozó mátrixok.
- A hasonló mátrixok rangjai megegyeznek, és ez azonos a közös lineáris leképezés rangjával.
- A hasonló mátrixok karakterisztikus polinomjai megegyeznek, és emiatt sajátértékeik is azonosak.
Lineáris leképezések tere
Az azonos test feletti, V-ből U-ba képező lineáris leképezések vektorteret alkotnak a pontonként összeadással és skalárszorzással. Ezt a vektorteret általában Hom(V, U)-val vagy Lin(V, U)-val jelölik ,ahol a „Hom” rövidítés nyilván a vektortér-homomorfizmusra utal.
A Hom(V, V) vektortér elemei (azaz a V V vektortér-automorfizmusok) ezen kívül egységelemes algebrát alkotnak a kompozíció műveletével mint szorzással.
A V V lineáris bijekciók invertálhatóak is. A kompozícióval mint művelettel egy csoportot alkotnak, a V-feletti lineáris csoportot (GL(V)).
Operátorműveletek és mátrixműveletek
A lineáris leképezésekkel végezendő műveletek a mátrixaikkal is elvégezhetők.
- Invertálás. Injektív lineáris leképezés mátrixa reguláris, és fennáll:
- Összeadás
- Skalárszorzás
Dimenziótétel
Példák
Síkbeli lineáris transzformációk és felett a sztenderd bázishoz tartozó mátrixaik:
- identitás
- forgatás az origó körül
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tetszőleges θ szöggel az óramutató járásával ellentétes irányban:
- 90 fokkal az óramutató járásával ellentétes irányban:
- tükrözés
- az x-tengelyre:
- az y-tengelyre:
- az x-tengelyre:
- kétszeres nagyítás:
- vízszintes nyírás:
- hiperbolikus forgatás:
- merőleges vetítés az y-tengelyre:
Nem lineáris transzformáció:
- eltolás (de előállítható eggyel magasabb dimenzióban lineáris leképezésként, fixpont helyett fixegyenessel)