Bernoulli törvénye

Bernoulli törvénye azt mondja ki, hogy egy közeg áramlásakor (a közeg lehet például víz, de levegő is) a sebesség növelése a nyomás csökkenésével jár. Például, ha valaki egy papírlapot tart vízszintesen tartott tenyere alá és ujjai közé fúj, a papírlap a tenyeréhez tapad. Ennek oka, hogy a levegő sebessége a papír és tenyere közötti résben felgyorsul, nyomása lecsökken, a lap alatti nyomás azt a tenyeréhez szorítja. A Bernoulli-törvény pontosabban azt mondja ki, hogy áramló közegben egy áramvonal mentén a különböző energia összetevők összege állandó. A törvényt a holland-svájci matematikus és természettudós Daniel Bernoulliról nevezték el, noha ezt már korábban felismerte a szintén bázeli Leonhard Euler és mások.

Bernoulli egyenletei

A Bernoulli-egyenleteknek két különböző formája van, az egyik összenyomhatatlan közeg áramlására, a másik összenyomható közeg áramlására alkalmazható.

Összenyomhatatlan közeg

Állandó nehézségi gyorsulás esetén (ezzel számolhatunk a Földön kis magasságkülönbségek mellett) az eredeti alak:

${v^2 \over 2}+gh+{p \over \rho}=\mathrm{konstans}$

v = közeg sebessége az áramvonal mentén

g = nehézségi gyorsulás

h = magasság tetszőleges ponttól a gravitáció irányában

p = nyomás az áramvonal mentén

$\rho$ = a közeg sűrűsége

A fenti egyenlet érvényességének feltétele:

• Viszkozitás (belső súrlódás) nélküli közeg
• Állandósult áramlás
• Összenyomhatatlan közeg; $\rho$ = állandó az áramvonal mentén. Megengedett azonban, hogy a sűrűség az egyes áramvonalak között változzék.
• Általában az egyenlet egy adott áramvonal mentén érvényes. Állandó sűrűségű potenciálos áramlás esetén azonban igaz az áramlás minden pontjára.

A nyomás csökkenését a sebesség növekedésével, ahogy az a fenti egyenletből következik, Bernoulli törvényének szokás hívni.

Az egyenletet ebben az alakjában először Leonhard Euler vezette le.

Összenyomható közeg

Az egyenlet általánosabb alakja összenyomható közegekre írható fel, amely esetben egy áramvonal mentén:

${v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{konstans}$

ahol

$\phi \,$ = az egységnyi tömegre eső helyzeti energia, $\phi = gh \,$ állandó nehézségi gyorsulás esetén

$w \,$ = a közeg egységnyi tömegére eső entalpiája

Megjegyezzük, hogy

$w = \epsilon + \frac{p}{\rho}$ ahol $\epsilon \,$ a közeg egységnyi tömegére eső termodinamikai energia, vagy fajlagos belső energiája.

A jobb oldalon szereplő konstanst gyakran Bernoulli-állandónak hívják és $b$-vel jelölik.

Állandósult súrlódásmentes adiabatikus áramlás esetén (nincs energiaforrás vagy nyelő) $b$ állandó bármely adott áramvonal mentén.

Amikor egy lökéshullám jelentkezik, a lökéshullámon áthaladva a Bernoulli-egyenlet több paramétere hirtelen változást szenved, de maga a Bernoulli-szám változatlan marad.

Levezetése

Összenyomhatatlan közegre

Összenyomhatatlan közegre a Bernoulli-egyenletet az Euler-egyenletek integrálásával vagy az energiamegmaradás törvényéből lehet levezetni, amit egy áramvonal mentén két keresztmetszetre kell alkalmazni, elhanyagolva a viszkozitást és a hőhatásokat.

A legegyszerűbb levezetésnél először a gravitációt is figyelmen kívül hagyjuk és csak a szűkülő és bővülő szakaszok hatását vizsgáljuk egy egyenes csőben. Legyen az x tengely a cső tengelye is egyben.

Egy folyadékrész mozgásegyenlete a cső tengelye mentén:

$m \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t}= F$

$\rho A \operatorname{d}x \frac{\operatorname{d}v}{\operatorname{d}t}= -A \operatorname{d}p$

$\rho \frac{dv}{dt}= -\frac{dp}{dx}$

Állandósult áramlás esetén $v=v(x)$, így

$\frac{dv}{dt}= \frac{dv}{dx}\frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx}v=\frac{d}{dx} \frac{v^2}{2}$

Ha $\rho$ állandó, a mozgásegyenletet így lehet írni:

$\frac{d}{dx} \left( \rho \frac{v^2}{2} + p \right) =0$

vagy

$\frac{v^2}{2} + \frac{p}{\rho}= C$

ahol a $C$ állandó, ezt néha Bernoulli állandónak hívják. Látható, hogy ha a sebesség nő, a nyomás csökken. A fenti levezetés folyamán nem hivatkoztunk az energiamegmaradás elvére. Az energiamegmaradást a mozgásmennyiség egyenletének egyszerű átalakításából kaptuk. Az alábbi levezetés tartalmazza a gravitáció figyelembevételét és nem egyenesvonalú áramlás esetén is fennáll, de fel kell tételeznünk az energia megmaradását.

Egy folyadékrész balról jobbra áramlik. Feltüntettük a nyomást, a magasságot, a sebességet, egy $\Delta t;$ idő alatt megtett (s) utat és a keresztmetszet területét.

Az energiamegmaradás elvét alkalmazva írható:

a közegre ható erők munkája + a potenciális energia csökkenése = kinetikai energia növekedése

A külső erők munkája:

$F_{1} s_{1}-F_{2} s_{2}=p_{1} A_{1} v_ {1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t. \;$

A potenciális energia csökkenése:

$m g h_{1}-m g h_{2}=\rho g A _{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2} \Delta t h_{2} \;$

A kinetikai energia növekedése:

$\frac{1}{2} m v_{2}^{2}-\frac{1}{2} m v_{1}^{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2} ^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}.$

A fentieket összevetve:

$p_{1} A_{1} v_{1}\Delta t-p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}-\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}=\frac{1}{2}\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{2}^{2}-\frac{1}{2}\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{2}$

vagy

$\frac{\rho A_{1} v_{1}\Delta t v_{1}^{ 2}}{2}+\rho g A_{1} v_{1}\Delta t h_{1}+p_{1} A_{1 } v_{1}\Delta t=\frac{\rho A_{2} v_{2}\Delta t v_{ 2}^{2}}{2}+\rho g A_{2} v_{2}\Delta t h_{2}+p_{2} A_{2} v_{2}\Delta t.$

Miután egyszerűsítünk $\Delta t$-val, $\rho$-val és $A_{1} v_{1}$-val (= térfogatáram = $A_{2} v_{2}$, mivel a közeg összenyomhatatlan):

$\frac{v_{1}^{2}}{2}+g h_{1}+\frac{p_{1}}{\rho}=\frac{v_{2}^{2}}{2}+g h_{2}+\frac{p_{2}}{\rho}$

vagy, ahogy az első pontban állítottuk:

$\frac{v^{2}}{2}+g h+\frac{p}{\rho}=C$

Tovább egyszerűsítve g-vel:

$\frac{v^{2}}{2 g}+h+\frac{p}{\rho g}=C$

Egy h magasságból szabadon eső test végsebessége (vákuum esetében):

$v=\sqrt{{2 g}{h}}$ vagy $h=\frac{v^{2}}{2 g}$.

A $\frac{v^2}{2 g}$ kifejezést sebesség magasságnak hívják.

A hidrosztatikus nyomás vagy statikus magasság definíciója:

$p=\rho g h \,$, vagy $h=\frac{p}{\rho g}$.

A $\frac{p}{\rho g}$ kifejezést nyomásmagasságnak is hívják.

Összenyomható közegekre

Összenyomható közegre a levezetés hasonló. A levezetésben ismét felhasználjuk (1) a tömeg és (2) az energia megmaradását. A tömeg megmaradása azt jelenti, hogy a fenti ábrán az $A_1$ és az $A_2$ keresztmetszeten a $\Delta t$ időintervallum alatt átáramló közeg tömege egyenlő:

$0 = \Delta M_1 - \Delta M_2 = \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t$.

Az energia megmaradását hasonló módon alkalmazzuk: feltételezzük, hogy az áramcső térfogatában az $A_1$ és $A_2$ keresztmetszet között az energia változása kizárólag a két határkeresztmetszeten beáramló és eltávozó energiától függ. Egyszerűbben szólva feltételezzük, hogy belső energiaforrás (például rádióaktív sugárzás, vagy kémiai reakció) vagy energiaelnyelés nem áll fenn. Az összenergia változása tehát nulla lesz:

$0 = \Delta E_1 - \Delta E_2 \,$

ahol $\Delta E_1$ és $\Delta E_2$ az energia mennyisége, amely az $A_1$ kersztmetszeten beáramlik és a $A_2$ keresztmetszeten távozik.

A bejövő energia a közeg mozgási energiája, a közeg gravitációs helyzeti energiájának, a közeg termodinamikai energiájának és a $p\,dV$ mechanikai munka alakjában jelentkező energiájának az összege:

$\Delta E_1 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2 + \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t$

Hasonló összefüggést lehet felírni a $\Delta E_2$-re is. <gy behelyettesítve a $0 = \Delta E_1 - \Delta E_2$ ezt kapjuk:

$0 = \left[ \frac{1}{2} \rho_1 v_1^2+ \phi_1 \rho_1 + \epsilon_1 \rho_1 + p_1 \right] A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} \rho_2 v_2^2 + \phi_2\rho_2 + \epsilon_2 \rho_2 + p_2 \right] A_2 v_2 \, \Delta t$

amit így át lehet alakítani:

$0 = \left[ \frac{1}{2} v_1^2 + \phi_1 + \epsilon_1 + \frac{p_1}{\rho_1} \right] \rho_1 A_1 v_1 \, \Delta t - \left[ \frac{1}{2} v_2^2 + \phi_2 + \epsilon_2 + \frac{p_2}{\rho_2} \right] \rho_2 A_2 v_2 \, \Delta t$

Felhasználva a korábbi összefüggést a tömeg megmaradásra, így lehet egyszerűsíteni:

$\frac{1}{2}v^2 + \phi + \epsilon + \frac{p}{\rho} = {\rm konstans} \equiv b$

Ez a Bernoulli-egyenlet összenyomható közegre.

Irodalom

• Budó Ágoston (1967): Kísérleti Fizika I. Tankönyvkiadó, Budapest