Euler-egyenletek

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

Az Euler-egyenletek a belső súrlódás (viszkozitás) nélküli ideális közeg mozgását leíró differenciálegyenlet rendszer. Nevét Leonhard Euler után kapta. Az egyenletek a tömeg (folytonosság), mozgásmennyiség és energia megmaradását fejezik ki és a Navier-Stokes egyenletek viszkozitás és hővezetés nélküli alakjának felelnek meg. Euler csak a folytonosságot és az impulzus megmaradását vezette le, de a folyadékok mechanikája irodalma általában az energia megmaradással bővített egyenletrendszert is Euler-egyenleteknek hívja.[1]

A Navier-Stokes egyenletekhez hasonlóan az Euler-egyenleteket is kétféle alakban szokás megadni: az egyik esetben az egyenleteket az álló koordináta-rendszerhez képest rögzített közegtérfogatra írják fel, a másik esetben pedig egy közegtérfogat változásait írják le, amint az áramlással együtt továbbhalad. Az Euler-egyenletek mind összenyomható (gáz), mind összenyomhatatlan (folyadék) közegre érvényesek, ez utóbbi esetben a sebességek vektorterének divergenciája zéró értéket vesz fel.

Az eredeti Euler-egyenlet álló koordináta-rendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szárny körül áramló ideális folyadék áramvonalai

Az Euler egyenlet a folyadékrészre ható erők és a gyorsulása között teremt összefüggést:

 \frac{d\vec{v}}{dt} = \vec{g} - \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}\;p,

ahol

 \frac{d\vec{v}}{dt} a folyadékrész gyorsulásvektora,
\vec{g} a nehézségi gyorsulás vektora,
\rho a folyadék sűrűsége,
p pedig a nyomás skalár mezője.

A folyadék rész gyorsulására a következő összefüggés írható:

 \frac{d\vec{v}}{dt} = \frac {\partial \vec{v}}{\partial t} + \operatorname{grad}\;\frac{v^2}{2} - \vec{v} \times  \operatorname{rot}\;\vec{v}

Ezzel az Euler-egyenlet így is írható:

 \frac {\partial \vec{v}}{\partial t} + \operatorname{grad}\;\frac{v^2}{2} - \vec{v} \times  \operatorname{rot}\;\vec{v} =  \vec{g} - \frac{1}{\rho} \operatorname{grad}\;p

Végül, ha a sűrűség a nyomásnak függvénye (összenyomható közeg esetén), a jobb oldal így is írható:

\vec{g} - \frac{1}{\rho(p)} \operatorname{grad}\;p = \vec{g} -  \operatorname{grad}\;\int \limits_{p_0}^{p} \frac{dp}{\rho (p)}

Az egyenlet "természetes" koordináta-rendszerben[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ha az áramlás stacionárius (időben nem változó), és a koordináta-rendszert úgy vesszük fel, hogy az 'e'-tengely az áramvonal érintője legyen, az 'n' koordináta az áramvonalat az érintési pontban a görbületi középponttal összekötő normálisa, a harmadik, 'b' koordináta pedig az első kettő síkjára merőleges binormális, akkor az Euler-egyenlet érintő irányú komponense:

 v \frac {\partial v}{\partial e} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial e} + g_e

Az egyenlet normális irányú komponense pedig:

 - \frac{v^2}{R} = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial n} + g_n ,

A binormális irányú komponens pedig, mivel ebben az irányban nincs gyorsulás:

 0 = - \frac{1}{\rho} \frac{\partial p}{\partial b} + g_b

ahol

 R az áramvonal görbületi sugara,
 g_e a nehézségi gyorsulás érintő irányú,
 g_n a normális irányú,
 g_b pedig a binormális irányú komponense.

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Anderson, John D. (1995), Computational Fluid Dynamics, The Basics With Applications. ISBN 0-07-113210-4

Irodalom[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Dr. Gruber József-Blahó Miklós: Folyadékok mechanikája. Hatodik kiadás. Tankönyvkiadó, Budapest, 1965.
  • Lajos Tamás: Az áramlástan alapjai. Előadási jegyzet. Budapesti Műszaki Egyetem Áramlástan Tanszék. Budapest, 1992. Kézirat. Magyar Elektronikus Könyvtár