Statisztikus fizika

A statisztikus fizika a sok részecskéből álló rendszereket tanulmányozó ága a fizikának. Ebben az esetben a részecskék alatt molekulákat, atomokat és elemi részecskéket értünk.

A klasszikus mechanikával ellentétben itt nem a részecskék mozgásegyenlete a kérdés. A gázokban, folyadékokban makroszkopikusan már észlelhető (látható, mérhető, stb.) mennyiségű részecske van – tipikusan 10²³ nagyságrend –, ami ugyanannyi másodrendű differenciálegyenlet megoldását jelenti. Ez, a mai számítástechnikai lehetőségeket figyelembe véve, még lehetetlen. Másrészt, a mozgásegyenletek egzakt megoldása kezdeti feltételeket is igényel, vagyis mindegyik részecskének ismeri kell a kezdeti helyzetét és sebességét. Ilyen fizikai kísérlet egyelőre még nem létezik. A kísérletek során mindig átlagos értékeket lehet mérni, így a statisztikus fizikától is az átlagos értékek változásának a leírását lehet csak követelni.

A nagy számú részecskék miatt a statisztikus fizika valószínűség-számítási alapokon nyugszik. A feladat: mekkora valószínűséggel található a rendszer egy adott időben egy adott állapotban, majd az állapot alapján a releváns fizikai mennyiségek kiszámítása. Az állapotokat a fázistérben egy-egy pont jelzi, és az eloszlásfüggvény megadja, hogy egy adott rendszer mekkora valószínűséggel található a fázistér egy pontjában.

Gibbs három alapvető eloszlásfüggvényt posztulált:

• Mikrokanonikus
• Kanonikus
• Nagykanonikus

Alapfogalmak

Makro- és mikroállapotok

Amennyiben egy rendszer állapotát pontosan ismerjük (vagyis ismerjük az összes részecskéhez tartozó helykoordinátát és minden egyes részecske impulzusát), azt mondjuk, hogy ismerjük a rendszer mikroállapotát. A mikroállapot természetesen függ attól is, hogy klasszikus mechanikai, vagy kvantummechanikai tárgyalást taglalunk. Míg első esetben egy mikroállapot a 6N dimenziós fázistér egyetlen pontja (ahol N a molekulák száma), utóbbi esetben a mikroállapot a rendszer egy konkrét kvantumállapota. Azt gondolhatnánk, hogy a két tárgyalásmód merőbben más eredményre vezet, ez azonban nem így van, a kvantummechanika némileg pontosítja a klasszikus tárgyalást. Ezt azzal értelmezhetjük, hogy a kvantummechanikában a mikroállapotot jellemző fázispont elmosódik, ú.n. fáziscellákról beszélünk.

Vegyünk egy egyensúlyi izolált állapotú gáz. Ha egy adott pillanatban ismernénk a molekulák helyzetét és sebességét, a megfigyelés eredménye egy fázispont lenne. Ha a megfigyelést többször megismételnénk, nyilvánvalóan más és más mikroállapotokat kapnánk. Ennek az az oka, hogy a rendszert jellemző adatok – melyek általában az U belső energia, a V térfogat és az N részecskeszám –, rengeteg különböző mikroállapottal férnek össze.

Az is nyilvánvaló, hogy az egyensúlyi állapotok meghatározzák azon mikroállapotokat, melyek hozzájuk tartoznak, illetve azt a valószínűséget, amellyel az egyes mikroállapotokat megtalálhatjuk. Ugyanezt feltételezhetjük a részleges egyensúlyi állapotokról is. Ebből a nézőpontból az egyensúlyi, valamint a részleges egyensúlyi állapotokat makroállapotoknak tekintjük. A makroállapotokat tehát azzal az alaptulajdonságukkal jellemezhetjük, hogy a rendszer részletes megfigyelésekor a különféle mikroállapotokat meghatározott valószínűséggel kapjuk eredményül.

Információ-mennyiség

Tételezzük fel, hogy van egy rendszerünk, melyről rendelkezünk valamekkora információval. Ha ezt a rendszert magára hagyjuk, nyilvánvaló, hogy a rendszerről tudott információ mennyísége csak csökkenhet; másképpen megfogalmazva: egy magárahagyott rendszer információ-hiánya nem csökkenhet. Az információ-hiány mérőszáma az információ-mennyíség, mely azt fejezi ki, hogy mekkora információ birtokába jutunk akkor, ha az adott rendszerről megismerünk valamit.

A következőkben jelölje I magát az információ-mennyíséget, valamint jelöljük egy teljes eseményrendszer egymást kizáró eseményeit $p_{i}$-vel (i=1..n). A kérdés tehát az, hogy mekkora információhoz jutunk, ha megtudjuk, hogy az adott eseményrendszerben melyik $p_{i}$ esemény következett be. Ahhoz, hogy ezt a kérdést számszerüleg meg tudjuk válaszolni, néhány dolgot posztulálnunk kell:

• Abban az esetben, ha egyetlenegy $p_{i}$ kivételével az összes többi zérus, I=0.
• Adott n-nél I akkor a maximális, ha az összes lehetőség bekövetkezősi valószínűsége azonos, azaz $p_{i}=1/n$. A maximális érték legyen n-nek szigorúan monoton növő függvénye!
• Független eseményrendszerekre nézve I legyen additív! Legyen az egyik eseményrendszer n elemű és a bekövetkezési valószínűségeket jelöljük $p_{i}$-vel, a másik eseményrendszernél rendre ugyanezek legyenek m és $q_{j}$. Ekkor annak a valószínűsége, hogy az első rendszerben i.-ik, a másodikban j.-ik lehetőség valósul meg, $p_{i}\cdot q_{i}$. Az additivitás feltétele tehát:

$I(p_{1}q_{1},...,p_{n}q_{m})$=I(p1,…,p_n)+I(q_1,…q_m)

• Az információmennyíség abban az esetben, ha két elemi esemény van és ezek egyenlő valószínűséggel következnek be, legyen egységnyi, azaz

$I(1/2,1/2)=1bit$

Irodalom

Hraskó Péter: Termodinamika és statisztikus fizika