„Átló” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
a ==Lásd még== → ==Kapcsolódó szócikkek==, egyéb apróság AWB |
Nincs szerkesztési összefoglaló |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[ |
A [[matematika|matematikában]] az '''átló''' szónak [[geometria]]i jelentése van, de használják még a [[mátrix (matematika)|mátrixoknál]] is. |
||
== Sokszögek == |
== Sokszögek == |
||
Egy [[sokszög]]re nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő [[szakasz (geometria)|szakasz]]. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy [[konvex]] sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a [[konkáv]] sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak. |
Egy [[sokszög]]re nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő [[szakasz (geometria)|szakasz]]. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy [[konvex]] sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a [[konkáv]] sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak. |
||
Egy ''n'' oldalú sokszögnek |
Egy ''n'' oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával: |
||
::(''n'' − 3) × ''n'', |
::(''n'' − 3) × ''n'', |
||
mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így: |
viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma: |
||
:<math> |
:<math>\frac{(n - 3) \cdot n}{2}.\, </math> |
||
=== Hossza === |
=== Hossza === |
||
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható: |
A két szomszédos csúcs közötti átló ''d'' hossza a [[koszinusztétel]]lel számítható: |
||
24. sor: | 24. sor: | ||
* A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
* A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
||
:<math>\begin{align} |
:<math>\begin{align} |
||
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\ |
d_4^2 & = (s_0 - & s_1 \cdot \cos(\varphi_1) + s_2 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2) - s_3 \cdot \cos(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2\\ |
||
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math> |
& + ( & s_1 \cdot \sin(\varphi_1) - s_2 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2) + s_3 \cdot \sin(\varphi_1+\varphi_2+\varphi_3))^2 \end{align} </math> |
||
* Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
* Az ''n''-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza: |
||
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 |
:<math>d_n =\sqrt{ \left( s_0 + \sum_{i=1}^{n-1} (-1)^i \cdot s_i \cdot \cos \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2 + \left( \sum_{i=1}^{n-1} - (-1)^i \cdot s_i \cdot \sin \left( \sum_{k=1}^{i} \varphi_k \right) \right) ^2}</math> |
||
=== Speciális esetek === |
=== Speciális esetek === |
||
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek. |
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek. |
||
* Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza |
* Egy ''a'' és ''b'' oldalú [[paralelogramma]] átlóinak hossza |
||
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math> |
: <math>e = \sqrt{a^2+b^2+2ab\cos\alpha}</math> |
||
és |
és |
||
50. sor: | 50. sor: | ||
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
:A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza |
||
: <math>d = 2 a</math>. |
: <math>d = 2 a</math>. |
||
== Poliéderek == |
== Poliéderek == |
||
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]] |
[[Fájl:Cube diagonals.svg|thumb|right|[[Kocka]] egyik lapátlója (AC), illetve testátlója (AC').]] |
||
57. sor: | 58. sor: | ||
=== A testátlók száma === |
=== A testátlók száma === |
||
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: |
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható: |
||
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L |
:<math>Z = \frac{C (C-1)}{2} - E - \sum_{i=1}^L \frac{N_i(N_i-3)}{2}</math>, |
||
.ahol ''C'' a csúcsok száma, ''E'' az éleké, ''L'' a lapoké, és az ''i''-edik lap éleinek száma ''N''<sub>''i''</sub> |
.ahol ''C'' a csúcsok száma, ''E'' az éleké, ''L'' a lapoké, és az ''i''-edik lap éleinek száma ''N''<sub>''i''</sub> |
||
Például a [[paralelepipedon |
Például a [[paralelepipedon]]okra: |
||
: <math>C = 8 , \quad L = 6 , \quad E = 12 , \quad N_i = 4 \quad \forall i</math>: |
: <math>C = 8 , \quad L = 6 , \quad E = 12 , \quad N_i = 4 \quad \forall i</math>: |
||
:<math>Z = \frac{8 (8-1)}{2} - 12- \sum_{i=1}^6 |
:<math>Z = \frac{8 (8-1)}{2} - 12- \sum_{i=1}^6 \frac{4(4-3)}{2}</math> |
||
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math> |
:<math>Z = 28 - 12- 6 \cdot 2 = 4</math> |
||
103. sor: | 104. sor: | ||
* [[Diagonális mátrix]] |
* [[Diagonális mátrix]] |
||
* [[Tridiagonális mátrix]] |
* [[Tridiagonális mátrix]] |
||
== Források == |
== Források == |
||
* Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás |
* Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás |
A lap 2015. január 2., 19:41-kori változata
A matematikában az átló szónak geometriai jelentése van, de használják még a mátrixoknál is.
Sokszögek
Egy sokszögre nézve az átló két nem szomszédos csúcsot összekötő szakasz. Így egy négyszögnek két átlója van, összekötve a csúcspárokat. Egy konvex sokszög átlói a sokszögön belül futnak. Ez nem vonatkozik a konkáv sokszögekre. Megfordítva: a sokszög akkor és csak akkor konvex, ha átlói a sokszögön belül futnak.
Egy n oldalú sokszögnek mindegyik csúcsából indul átló az összes csúcspontba, kivéve önmagát és a két szomszédos csúcspontot, így egy csúcsból n-3 átló húzható. Ezt kell megszorozni a csúcsok számával:
- (n − 3) × n,
viszont mivel az összes átlót kétszer számoltuk, így az átlók száma:
Hossza
A két szomszédos csúcs közötti átló d hossza a koszinusztétellel számítható:
ahol s0 és s1 a két szomszédos oldal, és φ a közrezárt szög.
A távolabbi csúcsok közötti átlók hossza a koszinusztétel többszöri alkalmazásával számítható, ha adottak az oldalhosszak, és a szomszédos oldalak által közrezárt szögek.
- A két oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- A három oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
- Az n-1 oldal távolságra levő csúcsok közötti átló hossza:
Speciális esetek
Speciális esetben a képletek leegyszerűsödnek.
- Egy a és b oldalú paralelogramma átlóinak hossza
és
- .
- Az a és b oldalú téglalap átlójának hossza a Pitagorasz-tétellel számítható:
- .
- Az a oldalú négyzet átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos ötszög átlója:
- .
- Az a oldalú szabályos hatszögben a szomszédos csúcsok közötti átló hossza
- .
- A szemközti csúcsokat összekötő átló hossza
- .
Poliéderek
A geometriában megkülönböztetik a poliéderek lapátlóját és testátlóját.
- Egy poliéder lapátlója a poliéder egy lapjának átlója.
- Egy poliéder testátlója egy olyan egyenes szakasz, ami összeköti a test két nem szomszédos csúcsát, és nincs oldallap, ami tartalmazza.
A testátlók száma
A testátlók száma ezzel a képlettel számítható:
- ,
.ahol C a csúcsok száma, E az éleké, L a lapoké, és az i-edik lap éleinek száma Ni
Például a paralelepipedonokra:
- :
A poliéder átlóinak hossza
Egy lapátló hossza az adott lap átlójának hosszaként számítható.
- Egy a, b és c élű téglatest testátlójának hossza .
- Speciális esetként adódik a kocka testátlója: .
- Általános esetben a testátló hossza is a koszinusztétel többszöri alkalmazásával kapható meg.
Mátrixok
A négyzetes mátrixoknak kétféle átlóját különböztetik meg. A főátló azokat a mátrixban levő elemeket foglalja magába, amelyek sor- és oszlopindexe megegyezik. A mellékátló az első sor utolsó elemét és az utolsó sor első elemét összekötő vonalra eső elemek vektora.
Az egységmátrixban a főátló csupa egyes, a többi helyen nulla áll:
Ebben a mátrixban a mellékátlón állnak egyesek, a többi helyen nullák vannak:
Sokszor egyszerűen átlónak hívják a főátlót, és a vele párhuzamos diagonálisokra eső elemek vektorait, például az alkalmazásokban gyakran megjelenő sávos mátrixok esetén. Nem négyzetes mátrixok esetén nem beszélnek mellékátlóról.
A különböző speciális mátrixoknál a főátló kitüntetett szerephez jut. Egyszerűbb vele meghatározni az egyes típusokat.
A főátlóra eső elemek összege a mátrix nyoma, ami egyenlő a mátrix sajátértékeinek összegével.
Kapcsolódó szócikkek
Források
- Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás
- Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.