„Tranzitív reláció” változatai közötti eltérés

[ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2013. december 17., 21:56-kori változata

A szaggatott nyíl behúzása szükséges a tranzitivitás eléréséhez

Egy homogén kétváltozós relációt akkor nevezünk tranzitívnak, ha az elempárok azon tulajdonsága, hogy egymással relációban állnak, „láncszerűen” tovább adódik, mint például a testmagasság esetében a „magasabbnak lenni” relációnál: ha én magasabb vagyok az apámnál, az apám pedig magasabb az anyámnál, akkor én magasabb vagyok az anyámnál.

Definíció

Az $A$ halmazon értelmezett $\sim$ reláció tranzitív, ha bármely $a,b,c\in A$ esetén valahányszor $a\sim b$ és $b\sim c$ egyszerre teljesül, mindannyiszor $a\sim c$ is teljesül.

Halmazelméletileg ez azt jelenti, hogy a reláció négyzete (önmagával való szorzata, kompozíciója) része önmagának $(\rho \rho \subseteq \rho )$ .

Példák

az egyenesek párhuzamossága (mert ha az $e$ egyenes párhuzamos az $f$ egyenessel, az $f$ egyenes pedig párhuzamos a $g$ egyenessel, akkor az $e$ egyenes szükségszerűen párhuzamos a $g$ egyenessel is),

a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert ha az $a$ osztható $b$ -vel és $b$ osztható $c$ -vel, akkor $a$ szükségszerűen osztható $c$ -vel is),

a halmazok között a tartalmazási reláció (mert ha az $A$ halmaz tartalmazza a $B$ halmazt, a $B$ halmaz pedig tartalmazza a $C$ halmazt, akkor az $A$ halmaz mindenképpen tartalmazza a C halmazt is),

az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert ha egy személy fölmenő rokona egy másiknak, ez a másik pedig fölmenő rokona egy harmadiknak, akkor az első szükségszerűen fölmenő rokona a harmadiknak is).

Ellenpéldák

az egyenesek merőlegessége (mert attól, hogy az $e$ egyenes merőleges az $f$ egyenesre, az $f$ egyenes pedig merőleges a $g$ egyenesre, az $e$ egyenes nem lesz merőleges a $g$ egyenesre),

a pozitív egész számok között a relatív prímek reláció (mert ha $a$ és $b$ relatív prímek és $b$ és $c$ is relatív prímek, attól $a$ és $c$ még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például $a=6,b=5,c=4$ esetén sem)

a halmazok között a diszjunktság reláció (mert attól, hogy az $A$ és a $B$ halmaznak nincs közös eleme, valamint a $B$ és a $C$ halmaznak sincs közös eleme még nem biztos, hogy $A$ és $C$ halmaznak sincs közös eleme),

az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert ha egy ember ismer egy másikat, s ez a másik ismer egy harmadikat, attól az első még nem fogja szükségképpen ismerni a harmadikat).

További példák tranzitív relációkra

valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő, a kisebb, a nagyobb, az egyenlőség
minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság;
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás,
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
- logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia
Minden (elő)rendezési és rendezési reláció, pl.:
- pozitív egész számokon az oszthatóság
- halmazokon a tartalmazási reláció.

@@ 12. sor: / 12. sor: @@
 == Példák ==
 *az [[egyenes]]ek [[párhuzamos]]sága (mert ha az <math>e</math> egyenes párhuzamos az <math>f</math> egyenessel, az <math>f</math> egyenes pedig párhuzamos a <math>g</math> egyenessel, akkor az <math>e</math> egyenes szükségszerűen párhuzamos a <math>g</math> egyenessel is),
-*a pozitív [[egész szám]]ok között az [[oszthatóság]] (mert ha az <math>a</math> osztható <math>b</math>-vel és <math>b</math> osztható <math>c</math>-vel, akkor <math>a</math> szükségszerűen osztható <math>c</math>-vel is),
+*a pozitív [[egész számok]] között az [[oszthatóság]] (mert ha az <math>a</math> osztható <math>b</math>-vel és <math>b</math> osztható <math>c</math>-vel, akkor <math>a</math> szükségszerűen osztható <math>c</math>-vel is),
 *a [[halmaz]]ok között a [[tartalmazási reláció]] (mert ha az <math>A</math> halmaz tartalmazza a <math>B</math> halmazt, a <math>B</math> halmaz pedig tartalmazza a <math>C</math> halmazt, akkor az <math>A</math> halmaz mindenképpen tartalmazza a C halmazt is),
@@ 22. sor: / 22. sor: @@
 ==Ellenpéldák==
 *az egyenesek [[merőleges]]sége (mert attól, hogy az <math>e</math> egyenes merőleges az <math>f</math> egyenesre, az <math>f</math> egyenes pedig merőleges a <math>g</math> egyenesre, az <math>e</math> egyenes nem lesz merőleges a <math>g</math> egyenesre),
-*a pozitív [[egész szám]]ok között a [[relatív prím]]ek reláció (mert ha <math>a</math> és <math>b</math> relatív prímek és <math>b</math> és <math>c</math> is relatív prímek, attól <math>a</math> és <math>c</math> még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például <math>a=6, b=5, c=4</math> esetén sem)
+*a pozitív [[egész számok]] között a [[relatív prímek]] reláció (mert ha <math>a</math> és <math>b</math> relatív prímek és <math>b</math> és <math>c</math> is relatív prímek, attól <math>a</math> és <math>c</math> még nem feltétlenül relatív prímek egymással, például <math>a=6, b=5, c=4</math> esetén sem)
 *a halmazok között a [[diszjunkt halmazok|diszjunktság]] reláció (mert attól, hogy az <math>A</math> és a <math>B</math> halmaznak nincs közös eleme, valamint a <math>B</math> és a <math>C</math> halmaznak sincs közös eleme még nem biztos, hogy <math>A</math> és <math>C</math> halmaznak sincs közös eleme),
@@ 32. sor: / 32. sor: @@
 === További példák tranzitív relációkra ===
-* [[valós szám]]okon a [[kisebb-egyenlő]], a [[nagyobb-egyenlő]], a [[kisebb]], a [[nagyobb]], az [[egyenlőség (matematika)|egyenlőség]]
+* [[valós számok]]on a [[kisebb-egyenlő]], a [[nagyobb-egyenlő]], a [[kisebb]], a [[nagyobb]], az [[egyenlőség (matematika)|egyenlőség]]
 * minden [[ekvivalenciareláció]], úgymint:
 ** [[halmazok]]on az [[ekvivalens halmazok|ekvivalencia]], azaz [[számosság]]azonosság;
-** [[egész szám]]okon az azonos [[paritás (matematika)|paritás]], vagy általánosabban az azonos [[maradékosztály]]ba tartozás,
+** [[egész számok]]on az azonos [[paritás (matematika)|paritás]], vagy általánosabban az azonos [[maradékosztály]]ba tartozás,
-** egy [[sík]] vagy a [[euklideszi illeszkedési tér|tér]] egyenesein a [[párhuzamos]]ság
+** egy [[sík (geometria)|sík]] vagy a [[euklideszi illeszkedési tér|tér]] egyenesein a [[párhuzamos]]ság
 ** a tér síkjain a párhuzamosság
 ** [[logikai formula|logikai formulák]] halmazán az [[logikai ekvivalencia]]
 * Minden [[előrendezési reláció|(elő)rendezési]] és [[rendezési reláció]], pl.:
-** pozitív [[egész szám]]okon az [[oszthatóság]]
+** pozitív [[egész számok]]on az [[oszthatóság]]
 ** [[halmaz]]okon a [[tartalmazási reláció]].