Ív (geometria)

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
A zöld színnel megjelölt rész egy körcikk. Az L hosszúságú határoló görbe egy körív.

Az euklideszi geometriában az ív (jele: ) egy differenciálható görbe zárt darabja. Egy szokványos példa a síkban (kétdimenziós sokaság) a körvonal egy darabja, a körív. Ha az ív egy főkör (vagy fő ellipszis) darabja a térben, főívnek nevezzük.

Minden két különböző pont két ívet határoz meg egy körvonalon. Ha a két pont nem pontosan átellenben van egymással, akkor az egyik ív kisebb, és a hozzá tartozó középponti szög kisebb, mint radián (180°), a másik ív pedig nagyobb, és a hozzá tartozó szög is nagyobb, mint radián.

Körív[szerkesztés]

Körív hossza[szerkesztés]

Egy kör ívének hossza (pontosabban, ívhossza), ahol a sugár r és a szögszárak által bezárt szög – azaz a középponti szög – θ (radiánban mérve):

Ez abból következik, hogy

A kerületet behelyettesítve azt kapjuk, hogy

és egy ugyanakkora, fokban kifejezett α szöget behelyettesítve, mivel az ívhosszra azt kapjuk, hogy

A gyakorlatban úgy határozható meg egy kör ívének hossza, hogy az ív két végpontjából egy-egy egyenest húzunk a kör középpontjába, megmérjük a két egyenes által bezárt középponti szöget, és mindkét oldalt beszorozva kifejezzük L-t az alábbi egyenlőségből:

a fokban kifejezett szög/360° = L/kerület.

Például ha a szög 60°-os és a kerület 24 egység, akkor

Ez abból következik, hogy a kör kerülete és a középponti szöge – ami mindig 360° – egyenes arányban állnak.

Egy felső félkör a következőképpen paraméterezhető:

Ekkor az ívhossz -tól -ig

Ívhez tartozó körcikk területe[szerkesztés]

Egy ív és a kör középpontja által meghatározott terület (amit az ív és a két végpontjába húzott sugár határol):

Az A terület úgy aránylik a kör területéhez, mint a θ szög egy teljes körbeforduláshoz:

-vel egyszerűsítve:

-tel beszorozva mindkét oldalt kapjuk az alábbi végeredményt:

A fenti átváltást használva egy fokban kifejezett középponti szöghöz tartozó körcikk területe

Ívhez tartozó körszelet területe[szerkesztés]

Egy ív és a két végpontját összekötő egyenes által határolt alakzat területe

Egy ívhez tartozó körszelet területének meghatározásához az területből ki kell vonnunk a kör középpontja és az ív két végpontja által meghatározott háromszög területét.

Ívhez tartozó sugár[szerkesztés]

Az AP és PB szakaszok szorzata egyenlő a CP és PD szakaszok szorzatával. Amennyiben az ívhez tartozó húr hossza AB és a körívtetőpont magassága CP, a kör átmérője

A húrtétel (másnéven a pont körre vonatkozó hatványa vagy az érintő- és szelőszakaszok tétele) alkalmazásával egy kör r sugara kiszámítható a H körívtetőpont magasságból és a W ívhez tartozó húr hosszából:

Vegyünk egy húrt, aminek a két végpontja egybeesik az ív végpontjaival. A felezőmerőlegese szintén egy húr, a kör átmérője. Az első húr hossza W, amit a felezővonal két egyenlő részre oszt, amiknek a hossza . Az átmérő teljes hossza 2r, amit az első húr 2 részre oszt. Az egyik rész, H, hossza egyenlő a körívtetőpont magasságával, a másik rész hossza pedig az átmérő fennmaradó része, . A húrtételt alkalmazva a két húrra kapjuk, hogy

amiből

így

Parabolaív[szerkesztés]

A parabolához tartozó ívek tulajdonságairól (hossz, közbezárt terület):

Fordítás[szerkesztés]

  • Ez a szócikk részben vagy egészben a Arc (geometry) című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.