Érintő- és szelőszakaszok tétele

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
Érintő- és szelőszakaszok tétele:

Érintő- és szelőszakaszok tétele: Egy tetszőleges külső pontból húzott érintőszakasz hossza megegyezik a pontból húzott szelőszakaszok ( vagy ) mértani közepével.

Bizonyítás[szerkesztés]

A háromszög hasonló a háromszöghöz, mert a szög megegyezik az szöggel, PBT és PTA szögek egyenlők, mivel ugyanahhoz az (AT) ívhez tartozó kerületi ill. érintőszárú kerületi szögek. A hasonlóság alapján a megfelelő oldalak aránya megegyezik, azaz .Ezt az arányt átrendezve a bizonyítandó állítást kapjuk.

Általánosítás[szerkesztés]

A tétel igaz akkor is, ha a pont belső pont, bár ekkor nincsen érintő. A tétel általános alakja (szelőtétel néven is ismeretes) a következő:

Adott kör esetén egy adott ponton átmenő szelők körrel való metszéspontjainak -től való távolságainak szorzata állandó

Bizonyítás[szerkesztés]

Vegyünk fel két szelőt a ponton keresztül. Legyenek az egyiken a két metszéspont és , a másikon és .

Szelőszakaszok tétele

Az háromszög hasonló az háromszöghöz, mivel a szög és a szög megegyezik, hiszen ugyanahhoz a húrhoz () tartozó külső szögek, valamint a csúcsnál fekvő szögük megegyezik. Hasonló háromszöge megfelelő oldalainak aránya állandó, így kapjuk

,

amiből átrendezéssel adódik az állításunk. QED

Ha az érintőt olyan speciális szelőnek tekintjük, mely esetén a két metszéspont egybeesik, akkor megkapjuk a pont körre vonatkozó hatványának tételét.