Pont körre vonatkozó hatványa

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A pont körre vonatkozó hatványa vagy egy pont körhatványa az euklideszi síkgeometriában egy ponthoz és körhöz rendelhető mennyiség, értéke:

hk = d2 - r2 = PT2 = PA · PB

ahol:

hk a hatvány értéke,
d a pont és a kör középpontja közti távolság
r a kör sugara
PT a P pontból a körhöz húzott érintő hossza
PA és PB a P pontból húzott tetszőleges szelő A és B metszéseinek P ponttól való irányított távolsága

A mennyiséget még Jacob Steiner svájci matematikus vezette be, és mutatta meg a kifejezések egyenértékűségét.

Speciális elrendezések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A körhatvány előjele a pont körhöz viszonyított helyzetétől függ:

  • ha a pont a körön kívül van a hatvány pozitív,
  • ha a pont a köríven van, nulla,
  • ha a pont a körön belül van negatív a hatvány, érintő nem húzható, a hatvány abszolútértékének gyökét a PO egyenesre merőleges szelővel kaphatjuk meg

Ha a kör pontkör, akkor r2 = 0, a hatvány a tőle való távolságnégyzet lesz.


Bizonyítása[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A pont kívül van: PA · PB szorzat pozitív

Annak a bizonyítása, hogy két szelőre a szorzat ugyanaz[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Legyen P egy tetszőleges pont, a belőle húzott két szelő metszései a körrel A, B, C és D pontok, lásd ábra. ABCD húrnégyszög, ezért ACP< szög megegyezik BDP< szöggel, és APC< szög is BPD< szöggel, tehát

APCΔ és BPDΔ hasonlók

a megfelelő oldalaik aránya megegyezik:

PA / PC = PD / PB

amit átszorozva kapjuk, hogy:

PA · PB = PC · PD


Ha a szelő átmérő: PA·PB szorzat megegyezik d2 - r2 értékkel.

Megegyezik a d2 - r2 kifejezéssel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Abban az esetben, amikor a szelő egyben átmérő PA és PB értéke: d + r és d - r, PA · PB szorzat:

PA · PB = (d + r) · (d - r) = d2 - r2

hasonlóan: ha d < r, azaz a pont a körön belül van, PA és PB irányítása elentétes, szorzatuk, d2 - r2 negatív.

Az érintő merőleges az érintési pontba húzott sugárra, felírhatjuk a Pitagorasz-tételt

Érintő hosszának négyzete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Szemléletesen: ha az érintési pontot úgy tekintjük, mintha A és B egybeesne T-ben:

PA · PB = PA · PA = PT2

Ám mert a szelők szorzatának egyenlőségének bizonyítása kihasználta, hogy két metszéspont van, és mert nem létezik érintő ha P a körön belül van, mégis tisztább máshogy bizonyítani. Ha kihasználjuk, hogy OTP< szög derékszög, akkor a Pitagorasz-tétel értelmében:

PT2 + r2 = d2, azaz PT2 = d2 - r2

Kör normálegyenlete[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ahogy az egyenes normálegyenlete a de(p)=0 kifejezés, ahol a de(p) a P pontnak az e egyenestől való távolságát jelenti, kör normálegyenletének a hk(p)=0 egyenletet nevezzük, ahol a hk(p) megadja egy P pontnak a k körre vonatkozó hatványát. Legyen a kör sugara r, középpontjába mutasson o vektor.

hk(p)=d2-r2=d2-r2=(p-o)2-r2

egy kör normálegyenlete ezekszerint hk(p)=0:

(p-o)2-r2=0


Kapcsolódó tételek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Általánosítások, hasonló mennyiségek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

További információk[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Hajós, György. Bevezetés a geometriába, 6. kiadás, Budapest: Tankönyvkiadó (1979). ISBN 9631747360 
  • Matematikai versenytételek I. rész
  • Dr. Szendrei János: Algebra és számelmélet