„Valós számok” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [nem ellenőrzött változat] |
a Bot: ca:Nombre real egy kiemelt cikk; kozmetikai változtatások |
→Axiomatikus megközelítés: Pl. itt is látható http://www.komal.hu/cikkek/kg/oroszlan/oroszlan.h.shtml |
||
36. sor: | 36. sor: | ||
A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb: |
A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb: |
||
# Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz |
# Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám. |
||
# Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja. |
# Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja. |
||
A lap 2014. május 4., 22:46-kori változata
A racionális számok és az irracionális számok együtt alkotják a valós számok halmazát. A valós számok halmaza és a számegyenes pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető. A valós számok halmaza végtelen, hisz tartalmazza a szintén végtelen számú természetes, egész és tört számokat, tehát összességében a racionális számok halmazát, valamint az irracionális számok halmazát. Nincs olyan szám, amely egyszerre racionális és irracionális lenne, és a két halmaz elemein kívül más nem tartozik a valós számokhoz.
A számhalmaz létrehozásában alapvető volt a görögök felfedezése, miszerint kettőnek a négyzetgyöke (a négyzetátló hosszának mérőszáma) nem racionális szám, bár pontos, matematikaliag kielégítő definícióra a 19. századig kellett várni.
A valós számok halmazának matematikai jele (a latin realis szóból, ami valósat, valóságosat jelent).
Valós számok bevezetése
Valós számok megalkotása
Axiomatikus megközelítés
A valós számok egy modelljének nevezzük azt az R halmazt, amely tartalmaz két elemet (0 és 1), értelmezünk rajta két bináris operátort (+ és *, összeadás és szorzás) és egy bináris relációt (≤), valamint ezek kielégítik a következő tulajdonságokat:
- testet alkot, azaz :
- Asszociativitás: és
- Kommutativitás: és
- A szorzás disztributív az összeadásra nézve:
- Additiv semleges elem, a nullelem létezése:
- Multiplikatív semleges elem, az egységelem létezése:
- Additív inverz létezése:
- Multiplikatív inverz létezése: ha , akkor
- R-en teljes rendezés ≤, azaz minden :
- Reflexivitás: x ≤ x
- Antiszimmetria: ha x ≤ y és y ≤ x, akkor x = y
- Tranzitivitás: ha x ≤ y és y ≤ z, akkor x ≤ z
- Teljesség: x ≤ y vagy y ≤ x
- Az összeadás és a szorzás kompatibilis a rendezéssel, azaz minden x, y, z-re az R-ből:
- Ha x ≤ y, akkor x + z ≤ y + z
- Ha 0 ≤ x és 0 ≤ y, akkor 0 ≤ x*y
- Minden nem üres részhalmazának ha van felső korlátja R-ben, akkor van legkisebb felső korlátja (szuprémuma) is R-ben.
Az utolsó tulajdonság fontos, mivel az különbözteti meg például a racionális számok halmazától, mivel az a halmaz, amelynek az elemeinek négyzete kisebb kettőnél, rendelkezik racionális felső korláttal (2 például ilyen), de a legkisebb felső korlátja (a gyök kettő) nem eleme a halmaznak.
A valós számok egy ekvivalens axiómarendszere a ha van felső korlát, akkor szuprémum is van helyett az arkhimédeszi axiómát és a Cantor-axiómát választja. Ezzel egyes tételek bizonyítása könnyebb:
- Arkhimédeszi axióma: minden valós számhoz található nála nagyobb természetes szám.
- Cantor-axióma: egymásba skatulyázott zárt intervallumoknak van közös pontja.
Ezekkel a tulajdonságokkal kimutatható, hogy bármely két modell ami ezeket kielégíti, izomorf.
Az axiómarendszerek közvetlen következményei
- A két axiómarendszer ekvivalenciája
- Alulról korlátos halmaznak van infimuma, azaz legnagyobb alsó korlátja
- Ha egy sorozat monoton nő és felülről korlátos, akkor konvergens. Hasonlóan, egy alulról korlátos monoton csökkenő sorozat is konvergens. A kettőt összetéve kapjuk, hogy ha egy monoton sorozat korlátos, akkor konvergens
- konvergens sorozat határértéke egyértelmű
Források
- George B. Thomas, Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano: Thomas-féle Kalkulus I. kötet ISBN 978-963-279-011-4
- Császár Ákos: Valós analízis I.
- Valós számok
- Valós számok a MathWorld-ön
Ez a lap már inaktív, viszont a laptörténetek olvashatóságához továbbra is szükséges. Ne használd, és a tartalmán ne változtass! Ha kérdésed van a lap nyugdíjazásával kapcsolatban, a kocsmafalon tedd fel! This Wikipedia page is currently inactive and is retained primarily for historical interest. |
Ez a lap már inaktív, viszont a laptörténetek olvashatóságához továbbra is szükséges. Ne használd, és a tartalmán ne változtass! Ha kérdésed van a lap nyugdíjazásával kapcsolatban, a kocsmafalon tedd fel! This Wikipedia page is currently inactive and is retained primarily for historical interest. |