„Kommutativitás” változatai közötti eltérés

[nem ellenőrzött változat]

← Régebbi szerkesztés Újabb szerkesztés →

Tartalom törölve Tartalom hozzáadva

Sorban

A lap 2019. február 25., 19:03-kori változata

A matematikában a kommutativitás vagy felcserélhetőség a kétváltozós matematikai műveletek egy tulajdonsága. Olyan matematikai műveleteket neveznek így, melyeknél az összetevők sorrendjének felcserélése nem változtatja meg a művelet eredményét.

Definíció

Legyen $(A;\cdot )$ tetszőleges grupoid. Ha minden $a,b\in A$ elemre teljesül, hogy $a\cdot b=b\cdot a$ , akkor azt mondjuk, hogy a $\cdot$ művelet kommutatív a $(A;\cdot )$ grupoidban.^[1]

Tulajdonságok

Kommutatív $(A;\cdot )$ félcsoportokban teljesül az általános kommutativitás tétele, azaz tetszőleges $a_{1},...,a_{n}\in A$ elemekre az $a_{1}\cdot ...\cdot a_{n}\in A$ szorzat eredménye független az $a_{1},...,a_{n}$ tényezők sorrendjétől.^[1]

Példák

A valós számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás műveletek kommutatívak. Pl. $5+2=2+5=7$ , $3\cdot 4=4\cdot 3=12$
A valós számokon értelmezett kivonás művelet nem kommutatív: pl. $3-5\neq 5-3$ . De $3-5=(5-3)\cdot (-1)$ , azaz a kivonás összetevőinek felcserélésével a különbség ellentettjét (–1-szeresét) kapjuk eredményül.
A valós számokon értelmezett osztás sem kommutatív: pl. ${\frac {3}{8}}\neq {\frac {8}{3}}$ . Az osztás esetén ugyanakkor az összetevők felcserélésekor a hányados reciprokát kapjuk eredményül.
Az egyesítés és metszetképzés bármely, halmazokból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
A leképezések szorzása (függvénykompozíció) nem kommutatív: pl. $\sin(\cos(\pi ))\neq \cos(\sin(\pi ))$ .

Kommutatív struktúrák

Abel-csoport

Kapcsolódó szócikkek

Jegyzetek

↑ ^a ^b Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994

Hivatkozások

Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994

Matematikaportál • összefoglaló, színes tartalomajánló lap

[Szendrei-1] Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994

[1]

@@ 8. sor: / 8. sor: @@
 == Példák ==
-* A [[valós számok]]on értelmezett szokásos [[összeadás]] és [[szorzás]] műveletek kommutatívak.
+* A [[valós számok]]on értelmezett szokásos [[összeadás]] és [[szorzás]] műveletek kommutatívak. Pl. <math>5+2 = 2+5 = 7</math>, <math>3\cdot 4 = 4\cdot 3 = 12</math>
-* A [[valós számok]]on értelmezett [[kivonás]] művelet nem kommutatív: pl. <math>5-3 \neq 3-5</math>. De <math>3-5 = (5-3)\cdot (-1)</math>, azaz a kivonás összetevőinek felcserélésével a különbség [[ellentett]]jét (-1-szeresét) kapjuk eredményül.
+* A [[valós számok]]on értelmezett [[kivonás]] művelet nem kommutatív: pl. <math>3-5 \neq 5-3</math>. De <math>3-5 = (5-3)\cdot (-1)</math>, azaz a kivonás összetevőinek felcserélésével a különbség [[ellentett]]jét (–1-szeresét) kapjuk eredményül.
-* A valós számokon értelmezett [[osztás]] sem kommutatív: pl. <math>\frac{8}{3} \neq \frac{3}{8}</math>. Az osztás esetén ugyanakkor az összetevők felcserélésekor a hányados [[reciprok]]át kapjuk eredményül.
+* A valós számokon értelmezett [[osztás]] sem kommutatív: pl. <math>\frac{3}{8} \neq \frac{8}{3}</math>. Az osztás esetén ugyanakkor az összetevők felcserélésekor a hányados [[reciprok]]át kapjuk eredményül.
 * Az [[unió (halmazelmélet)|egyesítés]] és [[metszet (halmazelmélet)|metszetképzés]] bármely, [[halmaz]]okból álló alaphalmazon értelmezve kommutatív.
 * A [[függvény (matematika)|leképezések]] szorzása ([[függvénykompozíció]]) nem kommutatív: pl. <math>\sin(\cos(\pi)) \neq \cos(\sin(\pi))</math>.