Lambert-féle W függvény

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Jump to navigation Jump to search
A W(x) grafikonja W > −4 és x < 6-ra. A felső rész: W ≥ −1 a W0 függvény, az alsó rész: W ≤ −1 a W−1 függvény.

A matematikában a Lambert-féle W függvény, más néven az omega függvény vagy a logaritmus-szorzat függvény, egy függvény, amely az inverze a z = f(W) = WeW függvénynek, ahol eW az exponenciális függvény és W egy komplex szám. Tehát a definíció:

ahol z egy komplex szám.

Mivel az ƒ függvény nem injektív így W többértékű (kivéve 0-ban). Ha leszűkítjük a függvényt a valós számok halmazára, akkor mind a függvényérték mind az argumentum valós szám lesz, és a függvény csak a −1/e-nél nagyobb argumentumra értelmezhető és kétértékű a ]−1/e-;0[ intervallumon. A W ≥ −1 kikötéssel egy egyértékű függvényt kapunk, amit W0(x)-vel jelölnek. Adott hogy W0(0)=0 és W0(-1/e)=-1. A függvény "alsó részét", ami kielégíti a W ≤ −1 egyenlőtlenséget W−1(x)-el jelölik. Ez a függvény csökken, W−1(−1/e) = −1-től, W−1(0) = −∞ -ig.

A Lambert-féle W nem fejezhető ki elemi függvényekkel.[1] A függvény használatos a kombinatorikában, illetve bizonyos egyenletek megoldásakor amelyek tartalmaznak exponenciális függvényt. Szintén megjelenik bizonyos differenciál egyenletek megoldásakor mint például: y'(t) = a y(t − 1).

Jelölések[szerkesztés]

A függvény két fő része a és a

A Lambert-féle W függvényt Johann Heinrich Lambert után nevezték el. A "fő" W0-et Wp-ként jelöli a Digital Library of Mathematical Functions a W−1-et pedig Wm-mel jelölik ugyanitt.

Az itt alkalmazott jelölések (a W0 és a W−1) Corlesstől, Gonnettől, Hare-től, Jeffrey-től és Knuthtól származnak.[2]

Története[szerkesztés]

Lambert Lambert's Transcendental Equation 1758-as műve[3] vezetett Leonhard Euler 1783-as munkájához,[4] amiben a wew-t vizsgálta. Az első említése a wew inverzének 1925-ből Pólyától és Szegőtől származik.[5] A Lambert-féle W függvényt kb. minden évtizedben "újrafelfedezték" különböző helyzetekben de a fontosságát csak az 1990-es években ismerték el. Az utolsó újrafelfedezés során felismerték hogy a függvény pontos megoldást szolgáltat a kvantummechanikai duplapotenciál-gödör Dirac delta modelljére. Corless és a Maple fejlesztői átnézve a tudományos irodalmat azt találták hogy a függvény sokszor felbukkan a természetben.[2][6]

Analízis[szerkesztés]

Derivált[szerkesztés]

Implicit deriválással bizonyítható, hogy W különböző részei (alsó, felső) kielégítik a következő differenciálegyenletet:

(W nem differenciálható a z = −1/e pontban.) Így W deriváltjára a következőt kapjuk:

Továbbá:

Primitív függvény[szerkesztés]

A W(x) függvény, és egyéb kifejezések, amelyek tartalmazzák W(x)-et, integrálhatóak, a w = W(x) helyettesítéssel, x = w ew:

Aminek a következménye (felhasználva, hogy ):

Sorfejtés[szerkesztés]

A Taylor sora 0 körül megadható a Lagrange inverziós tételének segítségével:

A konvergenciasugár 1/e, ahogy a hányadoskritériumból látható. A fenti sor által definiált függvény kiterjeszthető holomof függvénnyé a komplex számok halmzán, kivéve a ]−∞, −1/e] intervallumot.

Nagy x értékekre, W0 aszimptotikusan egyenlő:

ahol, és a nemnegatív Stirling szám.[7] Csak az első két tagot megtartva a kifejtésből:

A másik valós rész a, , a ]−∞, −1/e] intervallumon, hasonló közelítéssel rendelkezik ahogy x tart 0-ba tehát: and .

Egész és komplex hatványa a függvénynek[szerkesztés]

Egész hatványai a függvénynek szintén felírhatóak egyszerű Taylor (vagy Laurent) sorként a pont körül:

Általánosabban, -re, a Lagrange inverziós formula megadja hogy:

vagyis, a Laurent sor mértéke r.

Illetve:

ami igaz bármely -re és -re.

Nevezetes értékek[szerkesztés]

Bármely nemnulla x algebrai számra, W(x) transzcendens szám. Ezt indirekt módon bizonyíthatjuk: Ha W(x) nemnulla algebrai szám lenne (megjegyzés: vagyis x és W(x) sem nulla), akkor a Lindemann–Weierstrass-tétel, alapján eW(x) transzcendens, ami implikálja hogy x=W(x)eW(x) szintén transzcendens, ami ellentmond annak, hogy x algebrai.

(az Omega konstans)

Egyéb formulák[szerkesztés]

Számos hasznos integrálformula létezik ami W-t tartalmazza. Néhány ezek közül:

A második azonosság levezethető a

helyettesítéssel ami így a következőket adja:

Vagyis:

(helyettesítve -t)

A harmadik azonosság levezethető a másodikból a helyettesítéssel.

Alkalmazások[szerkesztés]

Sok egyenlet ami exponenciális függvényt tartalmaz megoldható a W függvénnyel. Az általános stratégia az, hogy minden ismeretlent egy oldalra viszünk, hogy az egyenletnek Y = XeX alakja legyen, ahonnan a W függvény megadja X értékeit.

Vagyis:

Példák[szerkesztés]

1. példa[szerkesztés]

Általánosságban a

egyenlet, ahol

átalakítható a következő helyettesítéssel:

A helyettesítés után:

ami, a következő megoldásokat adja:

vagyis a végső megoldás:

2. példa[szerkesztés]

vagyis,

mert

a definíció szerint.

3. példa[szerkesztés]

Amikor egy komplex végtelen tetráció

konvergál, a W függvény megadja a határértéket:

ahol ln(z) jelöli a komplex logaritmust. Ez bizonyítható azzal a megfigyeléssel hogy:

ha c létezik, vagyis

ami az elvárt eredmény.

4. példa[szerkesztés]

A

megoldásai

alakúak.[6]

5. példa[szerkesztés]

Az áramerősség egy összetett ellenállás/dióda kapcsolásban leírható a W függvény segítségével. Lást dióda modellezés.

6. példa[szerkesztés]

A

differenciálegyenlet, karakterisztikus egyenlete , ami -hoz vezet és -hoz. Ha, csak -t kell figyelembe venni.

Általánosítás[szerkesztés]

A hagyományos W függvény megadja a pontos megoldásait a transzcendens algebrai egyenleteknek, amik a következő formájúak vagy ilyen formára hozhatóak:

ahol a0, c ér r valós konstansok. A megoldás .

Grafikon[szerkesztés]

Közelítő eljárások a kiszámítására[szerkesztés]

A W függvény közelíthető Newton módszerrel, egymást követő közelítésekkel (vagyis ):

A W függvény szintén közelíthető Halley módszerrel,

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Lambert W function című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Jegyzetek[szerkesztés]

  1. Chow, Timothy Y. (1999), "What is a closed-form number?", American Mathematical Monthly 106 (5): 440–448, DOI 10.2307/2589148.
  2. ^ a b (1996) „On the Lambert W function”. Advances in Computational Mathematics 5, 329–359. o. DOI:10.1007/BF02124750.  
  3. Lambert JH, "Observationes variae in mathesin puram", Acta Helveticae physico-mathematico-anatomico-botanico-medica, Band III, 128–168, 1758 (facsimile)
  4. Euler, L. "De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus." Acta Acad. Scient. Petropol. 2, 29–51, 1783. Reprinted in Euler, L. Opera Omnia, Series Prima, Vol. 6: Commentationes Algebraicae. Leipzig, Germany: Teubner, pp. 350–369, 1921. (facsimile)
  5. Aufgaben und Lehrsätze der Analysis. Berlin: Springer-Verlag [1925] (1998) 
  6. ^ a b Corless, R. M. (1993). „Lambert's W function in Maple”. The Maple Technical Newsletter 9, 12–22. o, Kiadó: MapleTech.  
  7. Approximation of the Lambert W function and the hyperpower function, Hoorfar, Abdolhossein; Hassani, Mehdi.

Forrás[szerkesztés]

Külső linkek[szerkesztés]