Dimenziómentes mennyiség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A dimenzióanalízisben a dimenziómentes mennyiség, vagy 1 dimenziójú mennyiség olyan mennyiség, melyhez nem társul fizikai dimenzió. Ennél fogva tehát ez csak egy "egyszerű szám", a dimenziója mindig 1.[1] A dimenziómentes mennyiségek széles körben használatosak a matematikában, fizikában, mérnöki- és gazdaságtudományban, valamint a mindennapi életben (pl.: számlálás). Számos jól ismert mennyiség, úgymint: π, e, és φ, dimenzió nélküli. Ezzel ellentétben a nem dimenziómentes mennyiségeket hosszúság-, terület-, idő-, stb. egységekben mérjük.

A dimenziómentes mennyiségeket gyakran nem dimenziómentes mennyiségek szorzataként, vagy hányadosaként definiáljuk, melyek dimenziója a művelet során kiesik. Ez a helyzet például a deformáció mértékének esetében, melyet a hosszúságváltozás és az eredeti hossz hányadosaként definiálunk. Mivel mindkét mennyiség dimenziója L (hosszúság, az angol length szóból), az eredmény dimenziómentes mennyiség lesz.

Tulajdonságok[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Bár a dimenziómentes mennyiségekhez nem társul fizikai dimenzió, dimenziómentes mértékegységük azért lehet. A mért mennyiség közlése érdekében néha hasznos ugyanazt a mértékegységet írni a számlálóba és a nevezőbe, pl.: kg/kg a tömegtört, mol/mol a móltört esetében. Egy mennyiség megadható két különböző mértékegység hányadosával is, melyeknek ugyanakkor a dimenziója azonos (például fényév/méter). Ez az eset áll fenn görbék meredekségének számításakor, vagy mértékegységek átváltásakor. Ez azonban kizárólag jelölésbeli megállapodás, ami nem jelenti semmiféle fizikai dimenzió meglétét. Ilyen dimenziómentes egység a % (= 0.01), ‰ (= 0.001), ppm (= 10−6), ppb (= 10−9), ppt (= 10−12), a szögegységek (fok, radián, gradián), vagy a tucat.
  • Két azonos dimenziójú mennyiség hányadosa dimenziómentes, és értéke állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékegységgel számolunk. Ha például egy A test F erővel hat egy B testre, B test pedig f erővel hat A testre, akkor az F/f hányados mindig 1-gyel egyenlő, bármi legyen is F és f mértékegysége. Ez a dimenziómentes arányok alapvető tulajdonsága, mely abból a feltételezésből következik, hogy a fizikai törvények függetlenek a kifejezésükre használt mértékegységrendszertől. Jelen esetben, ha az F/f arány nem lenne mindig 1, hanem értéke megváltozna, ha SI helyett CGS-ben számolnánk, az azt jelentené, hogy Newton harmadik törvényének érvényessége attól függ, milyen mértékegységrendszert használunk, ami ellentmondana ennek az alapfeltételezésnek. Ez a feltevés az alapja Buckingham Π-tételének. E tétel egyik állítása az, hogy bármely fizikai törvény kifejezhető egy matematikai azonosságként, kizárólag az adott törvénnyel kapcsolatos változók dimenziómentes kombinációinak (szorzatának vagy hányadosának) felhasználásával (pl.: a Boyle–Mariotte-törvény a nyomást és a térfogatot kapcsolja össze, melyek fordítottan arányosak). Ha a dimenziómentes kombinációk értéke megváltozna egy másik mértékegységrendszerben, akkor az egyenlet nem lenne azonosság, és Buckingham tétele nem állna.

Buckingham-féle Π-tétel[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Buckingham Π-tételének másik kijelentése, hogy egy n számú változó közti összefüggés átalakítható n-k független dimenziómentes mennyiség közötti összefüggéssé, ahol k az eredeti összefüggésben előforduló alapmennyiségek száma. A kísérletező számára egyenértékűek mindazok a különböző rendszerek, melyek dimenziómentes mennyiségekkel azonos módon írhatók le.

Példa[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Egy adott formájú keverő teljesítményszükséglete a kevert folyadék sűrűségének és viszkozitásának, valamint a keverő átmérőjének és fordulatszámának függvénye. Példánkban tehát n = 5 változó szerepel.

Ez az n = 5 változó k = 3 dimenzióból épül fel:

  • Hosszúság: L (m)
  • Idő: T (s)
  • Tömeg: M (kg)

A Π-tétel szerint a változók n = 5 száma csökkenthető a dimenziók k = 3 számával, így p = n - k = 5 - 3 = 2 független dimenziómentes számot kapunk, melyek a keverő esetében:

  • a Reynolds-szám (a folyadékáramlást leíró dimenziómentes szám)
  • a keverési Euler-szám (a keverőt írja le, de a fluidum sűrűségét is tartalmazza; keverési Newton-számnak is nevezik).

Szabványosítási törekvések[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az International Committee for Weights and Measures (Súly- és Mértékügyi Nemzetközi Bizottság) fontolgatta az 1 egység "uno"-ként való bevezetését, de végül elvetették az ötletet. [2][3][4]

Példák[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  • Sára azt mondja: "Minden 10 almából amit leszedek, 1 rothadt." A rothadt/leszedett arány (1 alma) / (10 alma) = 0,1 = 10 %, ami egy dimenziómentes mennyiség.
  • A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és egy másik hosszúságnak az aránya. A hányados dimenziómentes, ugyanis hosszúság / hosszúság = 1. A radián esetében az ív hosszát a kör sugarához, a fok esetében a kör kerületének 1/360-ad részéhez viszonyítjuk.
  • A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként kapott π dimenziómentes mennyiség, melynek számértéke állandó, függetlenül attól, milyen egységben mérjük a kerületet és az átmérőt (cm, mérföld, fényév, stb.), de természetesen a kettő mértékegységének meg kell egyezni.

Néhány fontosabb dimenziómentes szám[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Név Jelölés Definíció[5]
Archimedes-szám Ar  Ar = \frac{g L^3 \rho^2}{\eta^2} \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2} = Ga \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_2}
Euler-szám Eu Eu = \frac {\Delta p}{\rho v^2}
Froude-szám Fr Fr = \frac{v^2}{L g}
Galilei-szám Ga Ga = \frac{g L^3 \rho^2}{\eta^2} = \frac {Re^2}{Fr}


Grashof-szám Gr  Gr = \frac{g L^3 \rho^2 \beta \Delta T}{\eta^2}= Ga \beta \Delta T
Reynolds-szám Re Re = \frac{vL\rho}{\eta}
Weber-szám We We = \frac{\rho v^2 l}{\sigma}
Nusselt-szám Nu  Nu = \frac {\alpha L}{\lambda}
Prandtl-szám Pr  Pr = \frac {\nu}{a} = \frac {\eta c_p}{\lambda}
Péclet-szám Pe  Pe = \frac {vL}{a} = RePr
Stanton-szám St  St = \frac{\alpha}{v \rho c_p} = \frac{Nu}{RePr}
Fourier-szám Fo  Fo = \frac{\alpha t}{L^2}
Biot-szám Bi  Bi = \frac{\alpha L}{\lambda_s}
Rayleigh-szám Ra Ra = \frac{\beta \Delta T g L^3}{\nu a} = GrPr
Sherwood-szám Sh  Sh = \frac {\beta_i L}{D_i}
Schmidt-szám Sc  Sc = \frac {\nu}{D_i}
Lewis-szám Le  Le = \frac {a}{D_i} = \frac {Sc} {Pr}
Péclet'-szám Pe'  Pe' = \frac{vL}{D_i} = ReSc
Stanton'-szám St'  St' = \frac{\beta_i}{v} = \frac{Sh}{ReSc}

Dimenziómentes fizikai állandók[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Bizonyos alapvető fizikai állandók, úgymint a fénysebesség vákuumban, a gravitációs állandó, a Planck-állandó és a Boltzmann-állandó értéke 1, ha az idő, hosszúság, tömeg, töltés és hőmérséklet egységeket megfelelően választjuk meg. Eredményül az ún. természetes mértékegységrendszert kapjuk.

  • αG, a gravitáció csatolási állandója: αG ≈ 1.75×10−45.

Fordítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dimensionless quantity című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Hivatkozások[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO, 2008. (Hozzáférés: 2011. március 22.)
  2. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting (PDF). (Hozzáférés: 2010. január 22.)
  3. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting (PDF). (Hozzáférés: 2010. január 22.)
  4. Dybkaer, René (2004.). „An ontology on property for physical, chemical, and biological systems”. APMIS Suppl. (117), 1–210. o. PMID 15588029.  
  5. Fonyó, Zs., Fábry, Gy.. Vegyipari művelettani alapismeretek, 31–32. o (1998)