Dimenziómentes mennyiség

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A dimenzióanalízisben a dimenziómentes mennyiség, vagy 1 dimenziójú mennyiség olyan mennyiség, melyhez nem társul fizikai dimenzió. Ennél fogva tehát ez csak egy "egyszerű szám", a dimenziója mindig 1.[1] A dimenziómentes mennyiségek széles körben használatosak a matematikában, fizikában, mérnöki- és gazdaságtudományban, valamint a mindennapi életben (pl.: számlálás). Számos jól ismert mennyiség, úgymint: π, e, és φ, dimenzió nélküli. Ezzel ellentétben a nem dimenziómentes mennyiségeket hosszúság-, terület-, idő-, stb. egységekben mérjük.

A dimenziómentes mennyiségeket gyakran nem dimenziómentes mennyiségek szorzataként, vagy hányadosaként definiáljuk, melyek dimenziója a művelet során kiesik. Ez a helyzet például a deformáció mértékének esetében, melyet a hosszúságváltozás és az eredeti hossz hányadosaként definiálunk. Mivel mindkét mennyiség dimenziója L (hosszúság, az angol length szóból), az eredmény dimenziómentes mennyiség lesz.

Tulajdonságok[szerkesztés]

  • Bár a dimenziómentes mennyiségekhez nem társul fizikai dimenzió, dimenziómentes mértékegységük azért lehet. A mért mennyiség közlése érdekében néha hasznos ugyanazt a mértékegységet írni a számlálóba és a nevezőbe, pl.: kg/kg a tömegtört, mol/mol a móltört esetében. Egy mennyiség megadható két különböző mértékegység hányadosával is, melyeknek ugyanakkor a dimenziója azonos (például fényév/méter). Ez az eset áll fenn görbék meredekségének számításakor, vagy mértékegységek átváltásakor. Ez azonban kizárólag jelölésbeli megállapodás, ami nem jelenti semmiféle fizikai dimenzió meglétét. Ilyen dimenziómentes egység a % (= 0.01), ‰ (= 0.001), ppm (= 10−6), ppb (= 10−9), ppt (= 10−12), a szögegységek (fok, radián, gradián), vagy a tucat.
  • Két azonos dimenziójú mennyiség hányadosa dimenziómentes, és értéke állandó, függetlenül attól, hogy milyen mértékegységgel számolunk. Ha például egy A test F erővel hat egy B testre, B test pedig f erővel hat A testre, akkor az F/f hányados mindig 1-gyel egyenlő, bármi legyen is F és f mértékegysége. Ez a dimenziómentes arányok alapvető tulajdonsága, mely abból a feltételezésből következik, hogy a fizikai törvények függetlenek a kifejezésükre használt mértékegységrendszertől. Jelen esetben, ha az F/f arány nem lenne mindig 1, hanem értéke megváltozna, ha SI helyett CGS-ben számolnánk, az azt jelentené, hogy Newton harmadik törvényének érvényessége attól függ, milyen mértékegységrendszert használunk, ami ellentmondana ennek az alapfeltételezésnek. Ez a feltevés az alapja Buckingham Π-tételének. E tétel egyik állítása az, hogy bármely fizikai törvény kifejezhető egy matematikai azonosságként, kizárólag az adott törvénnyel kapcsolatos változók dimenziómentes kombinációinak (szorzatának vagy hányadosának) felhasználásával (pl.: a Boyle–Mariotte-törvény a nyomást és a térfogatot kapcsolja össze, melyek fordítottan arányosak). Ha a dimenziómentes kombinációk értéke megváltozna egy másik mértékegységrendszerben, akkor az egyenlet nem lenne azonosság, és Buckingham tétele nem állna.

Buckingham-féle Π-tétel[szerkesztés]

Buckingham Π-tételének másik kijelentése, hogy egy n számú változó közti összefüggés átalakítható n-k független dimenziómentes mennyiség közötti összefüggéssé, ahol k az eredeti összefüggésben előforduló alapmennyiségek száma. A kísérletező számára egyenértékűek mindazok a különböző rendszerek, melyek dimenziómentes mennyiségekkel azonos módon írhatók le.

Példa[szerkesztés]

Egy adott formájú keverő teljesítményszükséglete a kevert folyadék sűrűségének és viszkozitásának, valamint a keverő átmérőjének és fordulatszámának függvénye. Példánkban tehát n = 5 változó szerepel.

Ez az n = 5 változó k = 3 dimenzióból épül fel:

  • Hosszúság: L (m)
  • Idő: T (s)
  • Tömeg: M (kg)

A Π-tétel szerint a változók n = 5 száma csökkenthető a dimenziók k = 3 számával, így p = n - k = 5 - 3 = 2 független dimenziómentes számot kapunk, melyek a keverő esetében:

  • a Reynolds-szám (a folyadékáramlást leíró dimenziómentes szám)
  • a keverési Euler-szám (a keverőt írja le, de a fluidum sűrűségét is tartalmazza; keverési Newton-számnak is nevezik).

Szabványosítási törekvések[szerkesztés]

Az International Committee for Weights and Measures (Súly- és Mértékügyi Nemzetközi Bizottság) fontolgatta az 1 egység "uno"-ként való bevezetését, de végül elvetették az ötletet.[2][3][4]

Példák[szerkesztés]

  • Sára azt mondja: "Minden 10 almából amit leszedek, 1 rothadt." A rothadt/leszedett arány (1 alma) / (10 alma) = 0,1 = 10%, ami egy dimenziómentes mennyiség.
  • A síkszög egy arányszám: a szögcsúcs köré írt körvonalból a szög szárai által kimetszett ív hosszának és egy másik hosszúságnak az aránya. A hányados dimenziómentes, ugyanis hosszúság / hosszúság = 1. A radián esetében az ív hosszát a kör sugarához, a fok esetében a kör kerületének 1/360-ad részéhez viszonyítjuk.
  • A kör kerületének és átmérőjének hányadosaként kapott π dimenziómentes mennyiség, melynek számértéke állandó, függetlenül attól, milyen egységben mérjük a kerületet és az átmérőt (cm, mérföld, fényév, stb.), de természetesen a kettő mértékegységének meg kell egyezni.

Néhány fontosabb dimenziómentes szám[szerkesztés]

Név Jelölés Definíció[5]
Archimedes-szám Ar
Euler-szám Eu
Froude-szám Fr
Galilei-szám Ga
Grashof-szám Gr
Reynolds-szám Re
Weber-szám We
Nusselt-szám Nu
Prandtl-szám Pr
Péclet-szám Pe
Stanton-szám St
Fourier-szám Fo
Biot-szám Bi
Rayleigh-szám Ra
Sherwood-szám Sh
Schmidt-szám Sc
Lewis-szám Le
Péclet'-szám Pe'
Stanton'-szám St'

Dimenziómentes fizikai állandók[szerkesztés]

Bizonyos alapvető fizikai állandók, úgymint a fénysebesség vákuumban, a gravitációs állandó, a Planck-állandó és a Boltzmann-állandó értéke 1, ha az idő, hosszúság, tömeg, töltés és hőmérséklet egységeket megfelelően választjuk meg. Eredményül az ún. természetes mértékegységrendszert kapjuk.

Fordítás[szerkesztés]

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dimensionless quantity című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

Hivatkozások[szerkesztés]

  1. 1.8 (1.6) quantity of dimension one dimensionless quantity. International vocabulary of metrology — Basic and general concepts and associated terms (VIM). ISO, 2008. (Hozzáférés: 2011. március 22.)
  2. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 15th Meeting (PDF). (Hozzáférés: 2010. január 22.)
  3. BIPM Consultative Committee for Units (CCU), 16th Meeting (PDF). (Hozzáférés: 2010. január 22.)
  4. Dybkaer, René (2004.). „An ontology on property for physical, chemical, and biological systems”. APMIS Suppl. (117), 1–210. o. PMID 15588029.  
  5. Fonyó, Zs., Fábry, Gy.. Vegyipari művelettani alapismeretek, 31–32. o (1998)