Polárkoordináta-rendszer

A polárkoordinátázás a sík egyfajta görbevonalú bekoordinátázása. Koncentrikus körök és sugárirányú egyenesek alkotják a hálózatot

A matematikában a polárkoordináta-rendszer olyan kétdimenziós koordináta-rendszer, mely a sík minden pontját egy szög és egy távolság adattal látja el. Tulajdonképpen itt a sík egy paraméterezéséről beszélhetünk. A polárkoordináták a sík egy kitüntetett pontjától mért távolságból és egy, a ponton átmenő, vektorosan definiált egyenestől mért irányszögből állnak. Konkrétan a hozzárendelés, mely a sík derékszögű koordináta-rendszerben megadott (x,y) koordinátájú pontjait ellátja polárkoordinátákkal a következő kapcsolatban van a derékszögű koordinátákkal:

$\left\{{\begin{matrix}x=r\cdot \cos \varphi \\y=r\cdot \sin \varphi \end{matrix}}\right.$

ahol r a sík P(x,y) pontjának origótól mért távolsága (nemnegatív szám), φ pedig az x tengely és az OP szakasz irányított szögtávolsága (ez radiánban 0 és 2π közötti érték, fokban 0° és 360° közötti). A koordinátavonalakat ebben a rendszerben egyfelől azon pontok alkotják, melyek mentén a φ koordináta állandó, vagyis az origóból induló félegyenesek, másrészt azok, amelyek mentén r állandó, vagyis az origó középpontú körök.

A polárkoordináta rendszert olyankor célszerű használni az elterjedtebb Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerrel szemben, ha a pontok helyének megadása egyszerűbb távolságokkal és szögekkel, mint két egymásra merőleges szakasz hosszával. Ilyen terület például a geodézia, ahol a derékszögű koordináta-rendszer az ortogonális mérésnek felel meg, amit mérőszalaggal és derékszögprizmával végeznek. A pontos szögmérő műszerek (teodolit) elterjedésével a poláris mérés került előtérbe, amely távolság- és szögmérési adatokból számít koordinátákat.

Átváltás a derékszögű és polárkoordináták között

Amikor polárkoordinátával jellemezzük a sík egy P pontját, akkor a pontot két adatával adjuk meg. Ehhez először rögzítenünk kell egy középpontot, a pólust (vagy a derékszögű koordináta rendszerrel történő összevetésben az origót), továbbá egy origó végpontú félegyenest, mely a kezdő irányt rögzíti. A polárkoordináták közül a távolsági adat a kezdőponttól adott távolságban lévő pontok halmazát, azaz egy kört határoz meg. Az irányszög a kezdő iránytól adott szögben látszó pontok halmazát, azaz egy félegyenest határoz meg. A körív és a félegyenes metszéspontja lesz a polárkoordinátákkal megadott pont.

Az r-rel jelölt koordináta, a sugár, a pont origótól mért távolsága, néha R-rel vagy ρ-val is jelölik. Ha O jelöli az origót és OA jelöli a kezdő irány félegyenesét, akkor a P pont φ koordinátája nem más, mint az OP félegyenes és az OA félegyenes irányított szöge. Az irányítás azt jelenti, hogy a szöget az OA félegyenestől az óramutató járásával ellentétes körüljárással mérjük. A szöget gyakran még θ-val, α-val és még sok mással is jelölik. A szög megadása az SI-nek megfelelő módon radiánban történik, de sokszor természetesen fokokat is használnak.

Világos, hogy ha az r és a φ adott a sík egy P pontjára vonatkoztatva, akkor az szögfüggvények 90°-nál nagyobb szögekre való kiterjesztésének definíciója folytán a derékszögű koordinátákba való átváltás a következő. Ha a kezdő irányt az x tengelynek fogjuk fel és ennek origó körüli +90°-os elforgatottját az y tengelynek, akkor a derékszögű koordináták:

$x=r\cdot \cos \varphi \,$

$y=r\cdot \sin \varphi \,$

Ha a derékszögű koordináták az adottak, akkor az x és y adatokból a távolságot például a Pitagorasz-tétellel számíthatjuk:

$r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\,$

A φ értékéhez a szögfüggvényértékek visszakeresésének módszerével juthatunk. Itt természetesen vigyázni kell arra – mint minden esetben, amikor trigonometrikus értékekből következtetünk vissza szögértékre –, hogy helyes szöget adjon vissza a számítás. Ehhez a következőket kell szem előtt tartani.

• $r$ = 0 esetén φ a polárkoordináta-rendszerben határozatlan, azaz bármely valós érték alkalmas lenne az origó szögének jellemzésére, hiszen ez az érték egyáltalán nem jellemzője az origónak
• $r$ ≠ 0 esetén ahhoz, hogy a φ polárkoordinátára egyetlen értéket kapjunk, 2π hosszúságú intervallumra kell korlátozódnunk. A szokásos tartományok [0, 2π) vagy (-π, π].

A [0, 2π) tartományban az inverz szögfüggvények (arkusz függvények) segítségével kapjuk meg φ-t:

$\varphi ={\begin{cases}\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})&{\mbox{ha }}x>0~{\acute {e}}s~y\geq 0\\\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{ha }}x>0~{\acute {e}}s~y<0\\\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{ha }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{ha }}x=0~{\acute {e}}s~y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{ha }}x=0~{\acute {e}}s~y<0\end{cases}}$

A (-π, π] tartományban pedig a φ polárszög értéke:

$\varphi ={\begin{cases}\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})&{\mbox{ha }}x>0\\\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{ha }}x<0~{\acute {e}}s~y\geq 0\\\mathrm {arctg} ({\frac {y}{x}})-\pi &{\mbox{ha }}x<0~{\acute {e}}s~y<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{ha }}x=0~{\acute {e}}s~y>0\\-{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{ha }}x=0~{\acute {e}}s~y<0\end{cases}}$

Példák polárkoordinátákra

Egyes algebrai görbék polárkoordinátás egyenletekkel definiálhatók. Sok esetben az ilyen egyenletek egyszerűen az $r$ sugarat θ függvényében adják meg. Az eredményül kapott görbe pontjait $(r(\vartheta ),\vartheta )$ alakban kapjuk meg és a görbét $r$ polárkoordinátás függvény grafikonjának tekinthetjük.

A szimmetria különböző estei az $r$ függvényből vezethetők le. Ha $r(-\vartheta )$ = $r(\vartheta )$, akkor a görbe szimmetrikus a (0°/180°) egyenesre, ha $r(\pi -\vartheta )$ = $r(\vartheta )$, akkor a függőleges (90°/270°) egyenesre szimmetrikus és ha $r(\vartheta -\alpha )$ = $r(\vartheta )$, akkor a görbe centrálisan szimmetrikus az origóra.

Bizonyos görbék függvénye sokkal egyszerűbben írható fel polárkoordináták segítségével, mint derékszögű koordinátákkal. Az ismertebbek közé tartozik az arkhimédészi spirál, a lemniszkáta, a Pascal-féle csigagörbe és a kardioid.

Kör

Az ($r$₀, φ) középpontú és $a$ sugarú kör általános egyenlete

$r^{2}-2rr_{0}\cos(\vartheta -\varphi )+r_{0}^{2}=a^{2}.\,$

Ez különböző módon egyszerűbbé tehető, hogy egyes speciális eseteknek megfeleljen, például ez az egyenlet

$r(\vartheta )=a\,$

olyan $a$ sugarú kört ír le, melynek középpontja a pólusban van.

Egyenes

A $0<\vartheta <6\pi$ tartományban az
$r(\vartheta )$ = $\vartheta$ egyenlettel leírható arkhimédészi spirál egyik ága

Sugárirányú egyenesek (vagyis, amelyek a póluson átmennek) egyenlete:

$\vartheta =\varphi \,$,

ahol φ az egyenes szöge, azaz φ = arctan $m$, ahol $m$ az egyenes meredeksége (iránytangense) derékszögű koordináta-rendszerben. Nem sugárirányú egyenes egyenlete, mely a sugárirányú $\vartheta$ = φ egyenletű egyenesre merőleges és azt a ($r$₀, φ) pontban metszi:

$r(\vartheta )={r_{0}}\sec(\vartheta -\varphi ).\,$

Arkhimédészi spirál

Az arkhimédészi spirál egy Arkhimédész által felfedezett híres spirális görbe, melyet szintén le lehet írni egyszerű polárkoordinátás egyenlettel:

$r(\vartheta )=a+b\vartheta .\,$

Az a paraméter változtatásával megfordul a spirális, a b viszont a spirális egy sugárhoz tartozó pontjainak távolságát adja meg, ami egy spirálisnál állandó érték. Az arkhimédészi spirálnak két ága van, az egyikre θ > 0, a másikra θ < 0. A két ág simán csatlakozik egymáshoz a pólusban. Az egyik ág tükörképe a 90°/270° egyenesre, mint tükörtengelyre a másik ágat adja. Ez a görbe az egyik első görbe volt a kúpszeletek után, mely a matematikai értekezésekben például szolgált a polárkoordinátás leírásra.

Kúpszeletek

Ellipszis

A kúpszelet polárkoordinátás egyenlete, ha a pólusban van az egyik fókusza és a másik valahol a 0°-os sugáron (így a főtengelye a poláris tengelyen fekszik):

$r={\ell \over {1+e\cos \vartheta }}$

ahol e az excentricitás, és $\ell$ a semi-latus rectum (a fókuszból a főtengelyre a görbéig húzott egyenes szakasz hossza, ld. az ábrát). Ha e > 1, akkor az egyenlet hiperbolát definiál, ha e = 1, akkor a parabola egyenlete, míg e < 1 esetén a görbe ellipszis. Speciális eset az e = 0 az utóbbinál, amikor is az ellipszis $\ell$ sugarú körré fajul.

Komplex szám trigonometrikus alakja

Egy z komplex szám ábrázolása a komplex síkon

Egy z komplex szám ábrázolása az Euler-formula segítségével

Minden komplex szám felfogható úgy, hogy az egy pont a komplex síkon, és így kifejezhető, mint egy derékszögű koordináta-rendszer egy pontja, vagy egy pont a polárkoordináta rendszeren. Derékszögű koordináta-rendszerben egy z szám így írható fel:

$z=x+iy\,$

ahol i a képzetes egység, vagy polárkoordinátás alakba átírva:

$z=r\cdot (\cos \vartheta +i\sin \vartheta )$

és innen

$z=re^{i\vartheta }\,$

ahol e az Euler-féle szám, melyek azonosak az Euler-formula értelmében.

(Megjegyzendő, hogy ez a képlet ugyanúgy, mint minden más összefüggés, mely szögek hatványait tartalmazza, feltételezi, hogy a szögek radiánban vannak megadva.) A komplex számok derékszögű és polárkoordinátás alakjai közötti konverzió a fentebb leírt szabályok szerint történik.

A komplex számok szorzása, osztása és hatványozása általában sokkal egyszerűbb a poláris alakkal, mint a derékszögű változattal. A hatványozás szabályai szerint

• A szorzás:

$r_{0}e^{i\vartheta _{0}}\cdot r_{1}e^{i\vartheta _{1}}=r_{0}r_{1}e^{i(\vartheta _{0}+\vartheta _{1})}\,$

• Az osztás:

${\frac {r_{0}e^{i\vartheta _{0}}}{r_{1}e^{i\vartheta _{1}}}}={\frac {r_{0}}{r_{1}}}e^{i(\vartheta _{0}-\vartheta _{1})}\,$

• A hatványozás (De Moivre-képlet):

$(re^{i\vartheta })^{n}=r^{n}e^{in\vartheta }\,$

Polárkoordináta-transzformáció az analízisben

Polárkoordináta-transzformációt gyakran alkalmaznak olyan kétváltozós függvények esetén, melyek valamilyen középpontos szimmetriát mutatnak. Ekkor az D &sunbe; R × R halmazon értelmezett

$f:D\to \mathbf {R} ;\;(x,y)\mapsto f(x,y)\,$

függvény helyett az

$(f\circ G)(r,\varphi )=f(r\cdot \cos \varphi ,r\cdot \sin \varphi )$

függvényt vizsgálják, ahol a

$G:[0,+\infty )\times [0,2\pi );\quad (r,\varphi )\mapsto (r\cdot \cos \varphi ,r\cdot \sin \varphi )$

leképezés a polártranszformáló függvény.

Megjegyzendő, hogy G csak majdnem mindenhol injektív. G legbővebb injektivitási tartománya a

$(0,+\infty )\times [0,2\pi )\,$

Folytonosság, határérték

Kétváltozós függvény origóbeli határértékének létezését polárkoordinátákban a következőképpen mutathatjuk ki. Ha f kétváltozós függvény és A valós szám, akkor

$\exists \lim \limits _{0}f=A\quad \Leftrightarrow \quad \forall (r_{n},\varphi _{n})\in (\mathrm {Dom} (f\circ G)\setminus \{0\}\times [0,2\pi ))^{\mathbf {Z} ^{+}}\quad (\;\exists \lim(r_{n})=0\quad \Rightarrow \quad \exists \lim(f(G(r_{n},\varphi _{n})))=A\;)$

Például az

$f(x,y)={\frac {xy^{2}}{x^{2}+y^{2}}}\,$

függvénynek létezik az origóban határértéke, mert az x = r $\cdot$ cos(φ), y = r $\cdot$ sin(φ) helyettesítéssel:

$f(x(r,\varphi ),y(r,\varphi ))={\frac {r^{3}\cos(\varphi )\sin ^{2}(\varphi )}{r^{2}}}=r\cos(\varphi )\sin ^{2}(\varphi )$

amely (0-hoz tartó) $\cdot$ (korlátos) alakú és így a 0-hoz tart. Míg az

$f(x,y)={\frac {xy}{x^{2}+y^{2}}}\,$

függvénynek nem létezik az origóban határértéke, helyettesítve az

$f(x(r,\varphi ),y(r,\varphi ))={\frac {r^{2}\cos(\varphi )\sin(\varphi )}{r^{2}}}=\cos(\varphi )\sin(\varphi )$

függvényt kapjuk, ami az φ = 0 esetén a 0 értéket veszi föl, de φ = π/4-re az 1/2-et adja, így létezik két irány, amelyek felől a 0-hoz tartva az r-rel a függvényértékek sorozata nem azonos számokhoz tart.

Polárkoordinátás görbe érintője

Az $r(\vartheta )$ poláris görbe érintője meredekségének meghatározásához bármelyik pontban először írjuk át a görbe egyenletét paraméteres egyenletrendszerbe:

$x=r(\vartheta )\cos \vartheta \,$

$y=r(\vartheta )\sin \vartheta \,$

Mindkét egyenletet θ szerint deriválva ezt kapjuk:

${\frac {dx}{d\vartheta }}=r'(\vartheta )\cos \vartheta -r(\vartheta )\sin \vartheta \,$

${\frac {dy}{d\vartheta }}=r'(\vartheta )\sin \vartheta +r(\vartheta )\cos \vartheta \,$

A második egyenletet az elsővel osztva megkapjuk a görbe egy tetszőleges (r, $r(\vartheta )$) pontjában az érintő meredekségét a derékszögű koordináta-rendszerben:

${\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\vartheta )\sin \vartheta +r(\vartheta )\cos \vartheta }{r'(\vartheta )\cos \vartheta -r(\vartheta )\sin \vartheta }}$

Szektortartomány területe

Az R integrálási területet az $r(\vartheta )$ görbe és a θ = a és a θ = b sugár határolja.

Az R területet n darab egyenlő ívű körcikkel közelítjük (itt n = 5).

Jelölje R azt a területet, melyet az $r(\vartheta )$ görbe és a $\vartheta$ = a és $\vartheta$ = b zár közre, ahol 0 < b − a < 2π. Ekkor az R területe:

${\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}r(\vartheta )^{2}\,d\vartheta .$

Ez az eredmény a következőképpen vezethető le. Először az [a, b] intervallumot n számú részre bontjuk, ahol n tetszőleges pozitív egész szám. Így a részek Δθ ívhossza b − a (a terület teljes ívhossza) osztva a részek számával. Minden egyes i = 1, 2, …, n résznél legyen $\vartheta _{i}$ a rész szögfelezője és szerkesszünk olyan körcikket, melynek középpontja a pólus, sugara $r(\vartheta _{i})$, középponti szöge $\Delta \vartheta$ és ívhossza $r(\vartheta _{i})\Delta \vartheta \,$. Az egyes körcikkek területe ennélfogva: ${\tfrac {1}{2}}r(\vartheta _{i})^{2}\Delta \vartheta$. Következésképpen a körcikkek összterülete:

$\sum _{i=1}^{n}{\tfrac {1}{2}}r(\vartheta _{i})^{2}\,\Delta \vartheta .$

A részterületek n számának növelésével a terület közelítése javul. Ha n → ∞, az összeg a fenti integrál Riemann összegéhez tart.

Integráltranszformáció

G folytonosan differenciálható (sőt, analitikus) az értelemzési tartománya belsején, Jacobi-mátrixa:

$\mathrm {J} ^{G}(r,\varphi )={\begin{pmatrix}\cos(\varphi )&-r\cdot \sin(\varphi )\\&\\\sin(\varphi )&r\cdot \cos(\varphi )\end{pmatrix}}$ és ennek determinánsa: $\det \mathrm {J} ^{G}(r,\varphi )=r\,$

Legyen tehát a kétváltozós f valós függvény integrálható egy olyan T ⊆ R×R tartományon, mely polárkoordináta-hálózathoz jól illeszkedik. Ekkor az eredetileg x és y paraméterekkel megadott T = T_x,y tartományon az integrál kiszámítását visszavezethetjük a (0,+R) × (0,2π) tégla egy feltehetőleg T-nél alkalmasabb

$T_{r,\varphi }=\{(r,\varphi )\in (0,+R)\times (0,2\pi )\mid (x(r,\varphi ),y(r,\varphi ))\in T_{x,y}\}$

részhalmazán történő integráljára:

$\int \limits _{T_{x,y}}f(x,y)\;\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y=\int \limits _{T_{r,\varphi }}f(x(r,\varphi ),y(r,\varphi ))\cdot r\;\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \varphi$

Vektoranalízis

A vektoranalízist szintén lehet alkalmazni a polárkoordinátákra. Legyen $\mathbf {r}$ egy $(r\cos(\vartheta ),r\sin(\vartheta ))\,$ helyvektor, ahol r és $\vartheta$ a t idő függvénye, ${\hat {\mathbf {r} }}$ pedig egy $\mathbf {r}$ irányú egységvektor, ${\hat {\boldsymbol {\vartheta }}}$ pedig egy $\mathbf {r}$-re merőleges egységvektor. A helyvektor idő szerinti első és második deriváltja:

${\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\dot {r}}{\hat {\mathbf {r} }}+r{\dot {\vartheta }}{\hat {\boldsymbol {\vartheta }}},$

${\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}=({\ddot {r}}-r{\dot {\vartheta }}^{2}){\hat {\mathbf {r} }}+(r{\ddot {\vartheta }}+2{\dot {r}}{\dot {\vartheta }}){\hat {\boldsymbol {\vartheta }}}.$

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Polar coordinate system című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961