Másodfokú függvény

$f(x)=x^{2}-x-2\,\!$

Az egyváltozós másodfokú függvényt, más néven kvadratikus függvényt az elemi analízis területén belül olyan valós algebrai függvényként tartjuk számon, mely minden megfelelő $x$-helyhez ezen $x$ hely négyzetértékét rendeli hozzá. Azaz legmagasabb fokú tagja másodfokú.

Általános tudnivalók

Az egyváltozós másodfokú függvény standard alakja :$f(x)=ax^{2}+bx+c,\quad a\neq 0$. Adva lehet $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ tényezős alakban, ahol r₁ és r₂ a függvény gyökei, vagy $f(x)=a(x-h)^{2}+k\,\!$ csúcsponti formában, ahol h és k a csúcspont x és y koordinátái. A standard alakról a tényezős alakra a megfelelő egyenlet megoldásával, a csúcsponti formára kiemeléssel és teljes négyzetté alakítással lehet áttérni.

Függvényképe parabola, melynek tengelye párhuzamos az y tengellyel. Másodfokú egyenletek és főleg másodfokú egyenlőtlenségek megoldása során gyakran fordulnak elő a másodfokú algebrai kifejezésekhez (pl. másodfokú polinomokhoz) tartozó függvények definíciói és alaptulajdonságai. Egy $ax^{2}+bx+c=0$ alakú másodfokú egyenlet gyökeinek meghatározásához két utat lehet végigjárni: meg lehet oldani az egyenletet grafikus és numerikus úton is.

Grafikus megoldás során felírjuk az egyenletben szereplő másodfokú polinomot, mint függvényt:

$f(x)=ax^{2}+bx+c$, $a\neq 0$

melyet teljes négyzetté alakítás után egyszerűen ábrázolhatunk:

$f(x)=(dx+e)^{2}+f$.

Különböző diszkriminánsú másodfokú függvények (itt Δ jelöli a diszkriminánst):
■ <0: x²+¹⁄₂
■ =0: −⁴⁄₃x²+⁴⁄₃x−¹⁄₃
■ >0: ³⁄₂x²+¹⁄₂x−⁴⁄₃

Zérushelyek száma

Az ábrázolást követően észrevehető, hogy a függvénynek van-e zérushelye (azaz metszéspontja az abszcissza tengellyel). Amennyiben a zérushelyek egyértelműen leolvashatók, akkor a gyököket már meg is kaptuk, ha azonban nem látható a pontos zérushely, akkor kénytelenek vagyunk az egyenletet numerikus úton is megoldani. A zérushelyek száma a másodfokú függvény zérusra redukált másodfokú egyenletének diszkriminánsából ($D$) következik ($D=b^{2}-4ac$):

• ha $D>0$, akkor 2 zérushelye van a függvénynek és 2 valós gyöke van a belőle felállítható egyenletnek;
• ha $D=0$, akkor 1 zérushelye van a másodfokú függvénynek (mert grafikonja csak érinti az abszcissza tengelyt) és ezzel egyidejűleg 1 valós gyöke van a függvényből felállítható egyenletnek;
• ha $D<0$, akkor nincs zérushelye a függvénynek, mert nem metszi és nem érinti az x tengelyt, ezért nincs valós gyöke az egyenletnek.

Grafikon

$f(x)=ax^{2}|_{a=\{0.1,0.3,1,3\}}\!$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{1,2,3,4\}}\!$

$f(x)=x^{2}+bx|_{b=\{-1,-2,-3,-4\}}\!$

Az $y=ax^{2}+bx+c$ standard formájú másodfokú függvény parabolája:

• Ha a > 0, akkor a parabola felfelé nyitott, a függvény konvex
• Ha a < 0, akkor a parabola lefelé nyitott, a függvény konkáv

Az a főegyüttható kapcsolódik a parabola paraméteréhez: a nagyobb abszolútértékű a meredekebbé teszi a parabolát. Azonban, mivel a grafikon nem egyenes, azért ez nem meredekség, azt a derivált adja meg: $y=2ax+b$.

A szimmetriatengelyt a b és az a együtthatók határozzák meg. Ennek helye megegyezik a csúcspont x koordinátájával és a csúcsponti alak h paraméterével:

$x=-{\frac {b}{2a}}.$

A c konstans tag az y tengelymetszet magassága.

Csúcspont

A parabola csúcspontja az a pont, ahol a parabola monotonitást vált: csökkenőből növekvővé, vagy növekedőből csökkenővé fordul. A csúcspont a másodfokú függvény szélsőértékhelye, illetve szélsőértéke. Ha a < 0, akkor maximum, ha a > 0, akkor minimum. Koordinátái a csúcsponti egyenletből olvashatók le:: (h, k).

Az $f(x)=ax^{2}+bx+c\,\!$ standard formából a (h, k) koordináták a főegyüttható kiemelésével és teljes négyzetté kiegészítésével a következő formára hozható:

${\begin{aligned}f(x)&=ax^{2}+bx+c\\&=a(x-h)^{2}+k\\&=a\left(x-{\frac {-b}{2a}}\right)^{2}+\left(c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right),\\\end{aligned}}$

Tehát a (h, k) csúcspont a standard formából kapható, mint:

$\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

Az $f(x)=a(x-r_{1})(x-r_{2})\,\!$ tényezős alakból a csúcspont x koordinátája, melynek behelyettesítésével megkapható az y koordináta is:

$\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}},f\left({\frac {r_{1}+r_{2}}{2}}\right)\right).\!$

Az $x=h=-{\frac {b}{2a}}$ függőleges egyenes a parabola tengelye.

Analízis

Az $y=ax^{2}+bx+c$ standard formájú másodfokú függvény szélsőértéke is meghatározható az $y=2ax+b$ deriváltja segítségével. A függvény szélsőértéke ott van, ahol a derivált értéke nulla. A derivált elsőfokú, így egyetlen gyöke: $x=-{\frac {b}{2a}}$ és a hozzá tartozó függvényérték:

$f(x)=a\left(-{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+b\left(-{\frac {b}{2a}}\right)+c=c-{\frac {b^{2}}{4a}}\,\!,$

Ezzel újra a csúcspont koordinátáihoz jutunk:

$(h,k)=\left(-{\frac {b}{2a}},c-{\frac {b^{2}}{4a}}\right).$

$x=-{\frac {b}{2a}}$

Az alapfüggvény jellemzése

A másodfokú függvény ($f(x)=x^{2}$) alapfüggvényének általános jellemzése:

• Értelmezési tartomány: $D_{f}:x\in \mathbb {R}$
• Értékkészlet: $R_{f}:y\in \mathbb {R} ^{+}\cup {0}$
• Szélsőértékek (extrémumok):
  • x_min = 0;
  • y_min = 0;
  • x_max = ∅;
  • y_max = ∅.
• Zérushelyek: $x_{1}=0$
• Monotonitás:
  • $f(x)$ szigorúan monoton csökkenő az $x\in ]-\infty ;0[$ nyílt intervallumon;
  • $f(x)$ szigorúan monoton növekvő az $x\in ]0;+\infty [$ nyílt intervallumon.
• Paritás: páros függvény.
• Korlátosság: alulról korlátos.
• Előjeles alakulás:
  • $f(x)>0$ (vagyis $f(x)$ pozitív) az $x\in \mathbb {R}$ tartományban;
  • $f(x)=0$, ha $x=0$
  • $f(x)<0$ (vagyis $f(x)$ negatív) az $x\in \emptyset$ tartományban (tehát az alapfüggvény sehol sem negatív).
• Folytonosság: a folytonosság fennáll.
• Inflexiós pont(ok):

f ''(x₀) = 0. A fenti egyenlet megoldása során ellentmondást kapunk, mivel 2 ≠ 0, így kijelenthető, hogy a függvénynek nincs inflexiós pontja.

• Konvexitás: az inflexiós pont következménye, hogy a függvény konvex az értelmezési tartomány egészén.
• Deriváltjai:
  • $f'(x)=2x$.
  • $f''(x)=2$.
  • $f'''(x)=0$.

A másodfokú függvények analízise általánosítva

• Extrémumok (lokális szélsőértékek definiálása): ha a négyzetes tag együtthatója ($a$) pozitív, úgy a függvénynek lokális minimuma van, ha $a$ negatív, akkor a függvény maximummal rendelkezik.
• Zérushelyek:
  • száma a diszkriminánstól függ (lásd Zérushelyek száma alfejezet)
  • ha a függvénynek vannak zérushelyei, azokat az $x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ képlet adja meg (lásd a Másodfokú egyenlet szócikket).
  • a gyökök abszolútértéke nem nagyobb, mint ${\frac {\max(|a|,|b|,|c|)}{|a|}}\times \phi ,\,$, ahol $\phi$ az ${\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}.$ aranymetszés.
• Paritás:
  • Ha az ordinátatengelyre szimmetrikus a grafikon, akkor páros: ez másodfokú függvénynél akkor és csak akkor fordulhat elő, ha $b=0$.
  • A függvény páratlan paritása kizárt.
  • Ha aszimmetrikus, akkor nyilván nem páros és nem páratlan.
• Korlátosság: a függvény lokális szélsőértékeivel hozható összefüggésbe: ha a függvénynek minimuma van: alulról korlátos; ha maximuma van: felülről korlátos.
• Előjeles alakulás:

Ahol a függvény grafikonja az $x$ tengely alatt helyezkedik el, ott negatív, ahol felette, ott pozitív értékeket vesz fel.

• Monotonitás:

A függvény szigorú monotonitását azon az $x\in ]a;b[$ nyílt intervallumon értelmezzük, ahol az intervallum egyik szélsőértéke a $-\infty$; másik pedig maga a lokális szélsőérték abszcissza tengelyről leolvasható helye.

• Folytonosság:

A másodfokú elemi függvény mindig folytonos (amennyiben nem rendelkezik hézagponttal és nincs ezzel járó szakadása).

• Inflexiós pont(ok) és derivált:

Egyetlen másodfokú függvénynek sincs inflexiós pontja sehol sem, mivel a hatványfüggvényekre vonatkozó $\left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$ deriválási szabály szerint az n=2 másodfokú függvény deriváltja mindig konstans, mely ellentmondást eredményez az f"(x)=0 egyenlet megoldása során.

• Konvexitás:

A függvény az értelmezési tartomány egészén konvex vagy konkáv annak függvényében, hogy a másodfokú tag együtthatója pozitív vagy negatív.

A másodfokú függvények négyzetgyöke

A másodfokú függvények négyzetgyöke különböző kúpszeleteket írhat le, jellemzően hiperbolát vagy ellipszist.

Ha $a>0\,\!$, akkor az $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ egyenlet hiperbolát ír le. A tengelyek iránya az $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ egyenletű parabola minimumpontjának ordinátájától függ. Ha ez negatív, akkor a hiperbola főtengelye vízszintes, ha pozitív, akkor függőleges.

Ha $a<0\,\!$, akkor az $y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}$ egyenlet ellipszist, vagy üres ponthalmazt ír le. Speciális esetként kör is lehet. Ez attól függ, hogy az $y_{p}=ax^{2}+bx+c\,\!$ parabola maximumpontjának ordinátája milyen előjelű. Ha pozitív, akkor van ellipszis, ha negatív, akkor nincs.

Kétváltozós másodfokú függvény

Egy kétváltozós másodfokú függvény alakja

$f(x,y)=Ax^{2}+By^{2}+Cx+Dy+Exy+F\,\!$

ahol A, B, C, D, E rögzített együtthatók, és F konstans tag. Grafikonja másodrendű felület, melynek metszete az $z=0\,\!$ síkkal kúpszelet. Így lesz a kúpszeletek egyenlete kétváltozós.

• Ha $4AB-E^{2}<0\,$, akkor a függvény képe hiperbolikus paraboloid, szélsőértékek nincsenek.
• Ha $4AB-E^{2}>0\,$, akkor a függvény képe elliptikus paraboloid. A függvénynek minimuma van, ha A>0, és maximuma, ha A<0. Jelölje a szélsőérték helyét és értékét $(x_{m},y_{m})\,$, ekkor:

• $x_{m}=-{\frac {2BC-DE}{4AB-E^{2}}},$
• $y_{m}=-{\frac {2AD-CE}{4AB-E^{2}}}.$

• Ha $4AB-E^{2}=0\,$ és $DE-2CB=2AD-CE\neq 0\,$ akkor a függvény képe parabolikus henger, szélsőértékek nincsenek.
• Ha $4AB-E^{2}=0\,$ és $DE-2CB=2AD-CE=0\,$ akkor a függvény képe parabolikus henger, és szélsőértékét egy egyenes mentén veszi fel. Ez minimum, ha A>0, és maximum, ha A<0.

Források

A Wikimédia Commons tartalmaz Másodfokú függvény témájú médiaállományokat.

• Hajnal, Imre.szerk.: Fekete Gyula: Matematika a speciális matematika I. osztálya számára, Kőváry Károly, dr. Szendrei János, dr. Urbán János. ISBN 978-963-19-0525-0 
• Thomas, George B., Maurice D. Weir, Joel Hass, Frank R. Giordano. 1., Thomas-féle Kalkulus I., 3-4. (magyar nyelven), Typotex: Budapest (2006). ISBN 978 963 2790 114 
• Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8
• Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Quadratic function című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.