Abc-sejtés

A szócikk címe technikai okok miatt pontatlan. A helyes cím: abc-sejtés vagy ABC-sejtés.

Az abc-sejtés két matematikai állítás összefoglaló neve, melyet David Masser (1985) és Joseph Oesterle (1988) fogalmazott meg. Az egyik sejtés szerint az abc számhármasok minőségének van egy maximális értéke. A másik sejtés pedig ezen minőségértékek számosságára tesz még szigorúbb kijelentést.

Az abc sejtések kiemelt fontosságúak, mert egy sor másik matematikai sejtést lehet segítségükkel bizonyítani, vagy a már meglévő bizonyítások válhatnának egyszerűbbekké.

2012. szeptemberében Mocsizuki Sinicsi, a Kiotói Egyetem matematikusa azt nyilatkozta, hogy 500 oldalas tanulmányában sikerült bizonyítania a sejtés gyengébb állítását.

A sejtés pontos megértéséhez először meg kell ismerkedni az abc számhármasok fogalmával és ezek néhány tulajdonságával.

Abc-számhármasok

Az abc számhármas három olyan 0-nál nagyobb különböző egész szám, melyre igaz a következő három állítás mindegyike:

1. $a + b = c$.

2. Az a,b számnak nincs közös 1-nél nagyobb osztója. (Tehát a két szám relatív prím; az eső két feltétel következménye, hogy akkor mind a három szám relatív prím.)

3. A "c" szám nagyobb, mint a három szám prímosztóinak szorzata (tehát (abc) radikálja, jele rad(a,b,c)).

Végtelen sok ilyen abc számhármas van. A bizonyításhoz tekintsük az a = 1, b = 9ⁿ-1, c = 9ⁿ számhármasokat, ahol n nullánál nagyobb egész. Ha minden n értékre abc számhármast kapunk, igazoltuk, hogy végtelen sok ilyen számhármas létezik.

Mielőtt a bizonyítást elkezdenénk, lássunk be egy segédtételt: b = 9ⁿ-1 mindig osztható 8-cal. Ehhez egy bizonyítási út az indukciós bizonyítás. n = 1 esetén b=8, ami osztható nyolccal, az állítás igaz. Tegyük fel, hogy n=k-ra az állítás igaz, vagyis 9^k-1 osztható 8-cal.

Vizsgáljuk az n=k+1 esetet: b = 9^k+1-1 = 9*9^k -1 = 9*9^k-1-9+9 hiszen ha ugyan azt a számot elvesszük és hozzáadjuk, az egyenlőség nem változik. Ezek után megváltoztatom az összeg tagjainak sorrendjét, amit szabadon megtehetek az összeadás kommutatív tulajdonsága miatt: b = 9*9^k -9 -1+9 Az összeadás első két tagjából kiemelek 9-et, második két tagjánál pedig elvégzem az összeadást: b = 9*(9^k -1)+8. Az összeg első tagja osztható 8-cal az indukciós feltétel miatt, a második tagnál nyilvánvaló. Így b is osztható 8-cal, mivel az összeg minden tagja osztható vele.

Ennyi előkészítés után visszatérhetünk tételünk bizonyításához: Az nyilvánvaló, hogy az a és b legnagyobb közös osztója 1 és az a+b=c feltétel teljesül.

Mivel b osztható 8-cal, így b = 2³ * m. A radikálnak a definícióból közvetlen következő tulajdonsága szerint rad(m)<=m. (Az egyenlőség négyzetmentes számok esetében áll fenn.) Ezért rad(b) <= 2*m. rad(a)=1 és rad(c)=3. Mivel a,b,c páronként relatív prímek, rad (a,b,c) = rad(a)*rad(b)*rad(c). Ezért rad(a,b,c) <= 2*3*m. Viszont c = 8*m+1, így igazolt, hogy c > rad(a,b,c) így beláttuk, hogy minden n értékre a,b,c egy abc számhármas.

Az abc-számhármasok minősége

Az abc számhármasokhoz hozzárendelhetünk egy mutatószámot (jele "q"). Ennek kiszámítása a harmadik feltételben is szereplő radikál segítségével történik (jele "rad(a,b,c)". A minőség az a szám, ahányadik hatványra emelve a radikált, megkapjuk "c"-t.

Képlettel leírva: $rad(a,b,c)^q = c$. Amiből következik, hogy a minőség számítása: $q = log(c) / log(rad(a,b,c))$.

Mivel az abc számhármasok esetén a "c" szám mindig nagyobb, mint a radikál, a minőség mindig nagyobb, mint 1.

Az abc-sejtés állításai

A matematikusok azt vették észre, hogy az abc számhármasok minőség-értéke minden esetben elég alacsony szám. 1,63-at elérő számhármast még senki sem talált. A gyengébbik sejtés pontosan ezt fogalmazza meg: az abc-számhármasok minősége egy konkrét számértéket sosem halad meg. (Hogy mi ez a számérték, az már másodlagos kérdés, általában 2-nél kisebb számra gondolnak.)

Fogalmazzuk meg az állítást formálisan is: Minden ε > 0, számhoz létezik egy K > 0 konstans, hogy minden abc számhármashoz (ahol a,b,c pozitív számok, a és b relatív prímek és a+b=c) teljesül: c < K * rad(abc)^1+ε. (q > 1+ε jelöli azt a minőség értéket, ami szerint a tétel állítása szerint csak véges sok magasabb minőségű a,b,c számhármas van. Definíció szerint q=log(c)/log(rad(a,b,c)) ezért log(c)>(1+ε)*log(rad(a,b,c)); a logaritmus tulajdonságait figyelembe véve így log(c)>log(rad(a,b,c)^1+ε). Mivel a logaritmus függvény szigorúan monoton, így c > rad(a,b,c)^1+ε.); Viszont mivel a tétel állítása szerint az egyenlőtlenség jobb oldalának van maximuma, így található olyan K ('elegendően kicsíny') konstans, hogy a tétel szerinti egyenlőtlenség teljesüljön. Ez egy szép példa arra, amikor a matematikában különben elkerülhetetlen formalizálás nehezebben érthetővé teszi a mögötte lévő gondolati lényeget.)

Még egy megjegyzés a formalizáláshoz: Egyes szakirodalmakban az egyenlőtlenség felírása meg van fűszerezve abszolút érték jelekkel, illetve előfordul a MAX(a,b,c)kitétel is. Ezekre az a+b+c=0 formalizmus esetén van szükség amit az első (Masser és Oesterle) Abc-sejtésről szóló publikációk alkalmaztak. Ez logikailag teljesen egyenértékű az itt használt a+b=c formalizmussal.

A második, erősebb állítás pedig így hangzik: Bármilyen minőség-értéket választunk is ki, csak véges sok annál nagyobb minőségű számhármas létezik.

Ha az erősebb állítás igaz, igaz a gyengébb is. Ha a gyengébb nem igaz, nem igaz az erősebb sem. Végül lehetséges, hogy csak a gyengébb igaz, az erősebb nem.

Ezek után felírhatjuk, hogy pontosan minek az igazolását jelentette be Mocsizuki Sinicsi: Max(a,b,c)<= K * rad(abc)^L alkalmas K, L konstansokra - ami a sejtés gyengébb formájának az egyik változata.

Számítási példák

Keressünk abc-számhármast! Vegyünk két különböző 0-nál nagyobb egész számot (a-t és b-t), adjuk őket össze, és megkapjuk c-t! Legyen a = 16, b = 17, vagyis c = 33.

Az első feltétel tehát ezzel adott. A második feltétel ellenőrzéséhez fel kell bontani a három számot prímtényezőire:

a = 2 * 2 * 2 * 2

b = 17 (önmagában prím, nem bontható tovább)

c = 3 * 11

Látható tehát, hogy közös prímtényező egyik számban sem fordul elő. A 16-osban csak 2-es prímtényező van, a 17-esben csak a 17-es, a 33-asban pedig a 3-as és 11-es, nincs köztük átfedés sehol.

Végül nézzük a harmadik feltételt! Ehhez ki kell számítani (abc) radikálját. Vesszük az összes előforduló prímosztót, a 2-t, 17-t, 3-t és 11-t, és összeszorozzuk őket. A radikál tehát: r = 2 * 17 * 3 * 11 = 1122. Mivel ez nagyobb, mint a "c" szám, a harmadik feltétel nem teljesült, ez nem egy abc-számhármas.

Próbálgatásokkal is rájöhetünk, hogy a legtöbb számhármas nem abc-számhármas.

Vegyünk azért egy pozitív példát is: a = 5, b = 27, vagyis c = 32. Prímtényezők:

a = 5 (önmagában prím, nem bontható tovább)

b = 3 * 3 * 3

c = 2 * 2 * 2 * 2 * 2

Látjuk, hogy közös prímosztójuk nincs, a második feltétel teljesül. A radikál értéke 5 * 3 * 2 = 30. Ez tehát kisebb, mint a "c" szám, tehát találtunk egy abc-számhármast.

Nézzük meg, mekkora ennek a számhármasnak a minősége (8 tizedesjegyre kerekítve): q = log (32) / log (30) = 1,50514997 / 1,47712125 = 1,01897523, tehát 1-nél alig nagyobb érték.

A legnagyobb minőségű abc-számhármast Eric Reyssat találta 2004-ben. Itt a = 2, b = 6436341, c = 6436343. Prímtényezőjük:

a = 2

b = 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 3 * 109

c = 23 * 23 * 23 * 23 * 23

A radikál tehát 2 * 3 * 109 * 23 = 15042, ami pedig jóval kisebb a "c" számnál.

Számoljuk ki a minőséget: q = log(6436343) / log(15042) = 6,80863918 / 4,17730558 = 1,62991168. Ennél nagyobb minőséget eddig még nem találtak.

Kis radikálú példák

Az ε > 0 kikötésre szükség van, mivel végtelen sok a, b, c hármas van, amire rad(abc) < c. Egyszerű példa a következő pontsorozat:

a = 1

b = 2⁶ⁿ − 1

c = 2⁶ⁿ

ahol a és c egy ketters szorzó erejéig járul hozzá a radikálhoz, és mivel b osztható 9-cel, azért rad(abc) < 2c/3. A 6n kitevőt módosítva b-nek nagyobb négyzetosztói lesznek. Például, ha 6n helyett p(p-1)n-et írunk, ahol p prímszám, akkor b osztható lesz p²-tel, mivel 2^p(p-1) ≡ 1 (mod p²) és 2^p(p-1) - 1 tényezője lesz b-nek. A legnagyobb minőségű hármasok alább láthatók; a legnagyobb minőséget Eric Reyssat találta (Lando & Zvonkin 2004, p. 137):

a = 2

b = 3¹⁰ 109 = 6,436,341

c = 23⁵ = 6,436,343

rad(abc) = 15042

aminek minősége 1,6299.

Számítógépes módszerek

2006-ban a hollandiai Leiden University és a Kennislink tudományos intézet elindította az ABC@Home projektet, amely nyilvános számítógépes hálózat segítségével keresi az abc-számhármasokat. Az alábbi listát állították össze 2011-ben, és a munka jelenleg is folyik.

Számhármasok eloszlása

	q > 1	q > 1.05	q > 1.1	q > 1.2	q > 1.3	q > 1.4
c < 102	6	4	4	2	0	0
c < 103	31	17	14	8	3	1
c < 104	120	74	50	22	8	3
c < 105	418	240	152	51	13	6
c < 106	1,268	667	379	102	29	11
c < 107	3,499	1,669	856	210	60	17
c < 108	8,987	3,869	1,801	384	98	25
c < 109	22,316	8,742	3,693	706	144	34
c < 1010	51,677	18,233	7,035	1,159	218	51
c < 1011	116,978	37,612	13,266	1,947	327	64
c < 1012	252,856	73,714	23,773	3,028	455	74
c < 1013	528,275	139,762	41,438	4,519	599	84
c < 1014	1,075,319	258,168	70,047	6,665	769	98
c < 1015	2,131,671	463,446	115,041	9,497	998	112
c < 1016	4,119,410	812,499	184,727	13,118	1,232	126
c < 1017	7,801,334	1,396,909	290,965	17,890	1,530	143
c < 1018	14,482,059	2,352,105	449,194	24,013	1,843	160

2012. szeptemberéig 23,1 millió abc-számhármast találtak, és bejelentették, hogy 10²⁰ alatti "c"-re megtalálták az összeset.

Legnagyobb minőségű abc-számhármasok

	q	a	b	c	Felfedező
1	1.6299	2	310​·​109	235	Eric Reyssat
2	1.6260	112	32​·​56​·​73	221​·​23	Benne de Weger
3	1.6235	19·1307	7·​292​·​318	28​·​322​·​54	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski
4	1.5808	283	511​·​132​	28​·​38​·​173​	Jerzy Browkin, Juliusz Brzezinski, Abderrahmane Nitaj
5	1.5679	1	2·37	54​·​7	Benne de Weger

Elméleti eredmények

Az abc sejtés feltételeiből következik, hogy c korlátozható az abc radikáljával, ami egy nem lineáris függvény. Emellett ismertek a következő exponenciális korlátok:

$c < \exp{ \left(K_1 \operatorname{rad}(abc)^{15}\right) }$ (Stewart & Tijdeman 1986),

$c < \exp{ \left(K_2 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{2}{3} + \varepsilon}\right) }$ (Stewart & Yu 1991), és

$c < \exp{ \left(K_3 \operatorname{rad}(abc)^{\frac{1}{3} + \varepsilon}\right) }$ (Stewart & Yu 2001).

ahol

• K₁ egy alkalmasan megválasztott konstans, ami nem függ a-tól, b-től, vagy c-től
• K₂ és K₃ csak ε-tól függ

Ezek a korlátok érvényesek minden hármasra, ahol c > 2.

Következményei

Az abc-sejtés számos következménye között találhatók már ismert eredmények, és találhatók más sejtések is, amelyek az abc sejtés bizonyítása esetén szintén bizonyítottá válnak.

• A nagy Fermat-tétel a legismertebb példa. Az abc sejtés felhasználásával elemi módszerekkel is beláthatóvá válna n>5 esetére. n= 3,4,5 esetekre viszont régről ismertek elemi bizonyítások. (Granville 2002)
• A nagy Fermat-tétel általánosítása, a Fermat–Catalan-sejtés. (Pomerance 2008)
• A Thue–Siegel–Roth-tétel az algebrai számok diofantoszi approximációjáról
• A Mordell-sejtés, ma a Faltings-tétel speciális esete. (Elkies 1991)
• Az Erdős–Woods sejtés néhány ellenpéldát kivéve. (Langevin 1993)
• Végtelen sok nem-Wieferich-prím létezése. (Silverman 1988)
• A Marshall Hall-sejtés gyengítése négyzet- és köbszámok szétválasztására. (Nitaj 1996)
• A Legendre-szimbólum felhasználásával alkotott L(s,(−d/.)) Dirichlet-féle L függvénynek nincs Siegel-zérója. Ehhez azonban az abc-sejtés általánosabb formáját kellene belátni számtestekre. (Granville 2000)
• Ha P(x) polinomfüggvény, és x egész, akkor P(x)-nek csak véges sok teljes hatványa van legalább három egyszerű nullával.
• A Tijdeman-tétel általánosítása $\scriptstyle y^m \;=\; x^n \,+\, k$ megoldásszámára, sőt, a Pillai-sejtés $\scriptstyle A y^m \;=\; B x^n \,+\, k$ megoldásszámára
• Ekvivalens a Granville–Langevin-sejtéssel
• Ekvivalens a módosított Szpiro-sejtéssel. (Oesterlé 1988).
• Minden egész A-ra véges sok megoldása van az n! + A= k² egyenletnek. Dąbrowski (1996)

Általánosításai

(Baker 1998) egy erősebb egyenlőtlenséget javasolt, ahol rad(abc)-t ε^−ωrad(abc) helyettesíti, ahol ω a, b és c különböző prímosztóinak összesített száma.(Bombieri & Gubler 2006, p. 404).

Andrew Granville sejtése szerint a bal oldalra írhatnánk azt is, hogy O(rad(abc) Θ(rad(abc))), ahol Θ(n) azoknak az n-nél nem nagyobb egészeknek a száma, amelyeknek nincs más prímtényezői, mint n-nek.

(Browkin & Brzeziński 1994) megalkotta az n-sejtést, $\scriptstyle n \,>\, 2$ egészekre.

Hivatkozások

• Az abc-sejtés honlapja (franciául)
• Peter Woit blogja
• Nature-cikk (2012)

Források

• Baker, Alan. Logarithmic forms and the abc-conjecture, Number theory. Diophantine, computational and algebraic aspects. Proceedings of the international conference, Eger, Hungary, July 29-August 2, 1996. Berlin: de Gruyter, 37-44. o (1998). ISBN 3-11-015364-5 
• Heights in Diophantine Geometry, New Mathematical Monographs. Cambridge University Press. DOI:10.2277/0521846153 (2006). ISBN 978-0-521-71229-3 
• Browkin, Jerzy (1994.). „Some remarks on the abc-conjecture”. Math. Comp. 62 (206), 931–939. o. DOI:10.2307/2153551.  
• Browkin, Jerzy. The abc-conjecture, Number Theory, Trends in Mathematics. Basel: Birkhäuser, 75–106. o (2000). ISBN 3-7643-6259-6 
• Dąbrowski, Andrzej (1996.). „On the diophantine equation $x!+A=y^2$”. Nieuw Archief voor Wiskunde, IV. 14, 321–324. o.  
• Elkies, N. D. (1991.). „ABC implies Mordell”. Intern. Math. Research Notices 7 (7), 99–109. o. DOI:10.1155/S1073792891000144.  
• Goldfeld, Dorian (1996.). „Beyond the last theorem”. Math Horizons (September), 26–34. o.  
• The Princeton Companion to Mathematics. Princeton: Princeton University Press, 361–362, 681. o (2008). ISBN 978-0-691-11880-2 
• (2000.) „ABC implies no "Siegel zeros" for L-functions of characters with negative exponent”. Inventiones Mathematicae 139, 509–523. o.  
• (2002.) „It’s As Easy As abc”. Notices of the AMS 49 (10), 1224–1231. o.  
• Guy, Richard K.. Unsolved Problems in Number Theory. Berlin: Springer-Verlag (2004). ISBN 0-387-20860-7 
• Lando, Sergei K.. Graphs on Surfaces and Their Applications. Springer-Verlag (2004). ISBN 3-540-00203-0 
• Langevin, M. (1993.). „Cas d'égalité pour le théorème de Mason et applications de la conjecture abc”. Comptes rendus de l'Académie des sciences 317 (5), 441–444. o.   (franciául)

Masser, D. W. (1985), "Open problems", in Chen, W. W. L., Proceedings of the Symposium on Analytic Number Theory, London: Imperial College

• Nitaj, Abderrahmane (1996.). „La conjecture abc”. Enseign. Math. 42 (1–2), 3–24. o.   (franciául)

Oesterlé, Joseph (1988), "Nouvelles approches du "théorème" de Fermat", Astérisque, Séminaire Bourbaki exp 694 (no. 161): 165–186, Sablon:MR, ISSN 0303-1179, <http://www.numdam.org/item?id=SB_1987-1988__30__165_0>

• Pomerance, Carl. Computational Number Theory, The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press, 361–362. o (2008) 
• Silverman, Joseph H. (1988.). „Wieferich's criterion and the abc-conjecture”. Journal of Number Theory 30 (2), 226–237. o. DOI:10.1016/0022-314X(88)90019-4.  
• Stewart, C. L. (1986.). „On the Oesterlé-Masser conjecture”. Monatshefte für Mathematik 102 (3), 251–257. o. DOI:10.1007/BF01294603.  
• Stewart, C. L. (1991.). „On the abc conjecture”. Mathematische Annalen 291 (1), 225–230. o. DOI:10.1007/BF01445201.  
• Stewart, C. L. (2001.). „On the abc conjecture, II”. Duke Mathematical Journal 108 (1), 169–181. o. DOI:10.1215/S0012-7094-01-10815-6.