Tijdeman-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A számelméletben a Tijdeman-tétel azt állítja, hogy véges sok egymás után következő hatványszám van, vagyis az y^m = x^n + 1 exponenciális egyenlet megoldásszáma véges, ha n és m is nagyobb, mint 1.[1][2]

A tételt a holland Robert Tijdeman látta be 1976-ban[3] a transzcendenciaelmélet Baker módszerével, ami minden x, y, m és n-re az exp exp exp exp 730 korlátot adta.[1][4][5]

A Tijdeman-tétel bizonyítása nyomán Preda Mihăilescu nekiállt belátni a Catalan-sejtést,[6] amiből következik, hogy a Tijdeman-tétel egyenletének egyetlen megoldása van, a 9=8+1.[7]

A tételben fontos, hogy egymást követő hatványszámokról van szó. Az y^m = x^n + k\ egyenlet máig nyitott probléma; ez az általánosított Tijdeman-sejtés.[8] Ez következne a Pillai-sejtésből (1931), ami azt állítja, hogy az A y^m = B x^n + k egyenlet megoldásainak száma véges. A Pillai-sejtés pedig következne az abc-sejtésből.[9]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. ^ a b Narkiewicz, Wladyslaw (2011), Rational Number Theory in the 20th Century: From PNT to FLT, Springer Monographs in Mathematics, Springer-Verlag, pp. 352, ISBN 0-857-29531-4
  2. Schmidt, Wolfgang M. (1996), Diophantine approximations and Diophantine equations, vol. 1467 (2nd ed.), Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, p. 207, ISBN 3-540-54058-X
  3. Tijdeman, Robert (1976), "On the equation of Catalan", Acta Arithmetica 29 (2): 197–209
  4. Ribenboim, Paulo (1979), 13 Lectures on Fermat's Last Theorem, Springer-Verlag, p. 236, ISBN 0-387-90432-8
  5. Langevin, Michel (1977), "Quelques applications de nouveaux résultats de Van der Poorten", Séminaire Delange-Pisot-Poitou, 17e année (1975/76), Théorie des nombres (Paris: Secrétariat Math.) 2 (G12)
  6. Metsänkylä, Tauno (2004), "Catalan's conjecture: another old Diophantine problem solved", Bulletin of the American Mathematical Society 41 (1): 43–57, doi:10.1090/S0273-0979-03-00993-5, <http://www.ams.org/bull/2004-41-01/S0273-0979-03-00993-5/S0273-0979-03-00993-5.pdf>
  7. Mihăilescu, Preda (2004), "Primary Cyclotomic Units and a Proof of Catalan's Conjecture", Journal für die reine und angewandte Mathematik 572 (572): 167–195, doi:10.1515/crll.2004.048, <http://www.reference-global.com/doi/abs/10.1515/crll.2004.048>
  8. Exponential Diophantine equations, Cambridge Tracts in Mathematics. Cambridge University Press (1986). ISBN 0-521-26826-5 
  9. (Narkiewicz 2011), pp. 253–254