Thue–Siegel–Roth-tétel

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából

A Thue–Siegel–Roth-tétel, más néven Roth-tétel az algebrai számok approximációjának alapvető tétele. Ez a minőségi tétel azt állítja, hogy az algebrai számok nem közelíthetők túl sokféleképpen törtekkel, rosszul approximálhatók. Itt a jól, illetve a rosszul fogalmát több, mint ötven évbe telt tisztázni Joseph Liouville-től (1844) kezdve, majd Axel Thue (1909), Carl Ludwig Siegel (1921), Freeman Dyson (1947), és Klaus Roth (1955) is foglalkozott vele.

Állítás[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A tétel azt állítja, hogy egy irracionális algebrai szám, \alpha approximációs kitevője egyenlő 2-vel, vagyis adott \epsilon>0-ra az

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{2 + \epsilon}}

egyenlőtlenségnek véges sok p és q relatív prím egész megoldása van, ahogy Siegel sejtette.Így minden irracionális α számra

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| > \frac{C(\alpha,\epsilon)}{q^{2 + \epsilon}}

ahol C(\alpha,\epsilon) pozitív szám, ami csak \epsilon>0-tól és \alpha-tól függ.

Diszkussziója[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Az első eredmény Liouville tétele volt, ami approximációs kitevőt adott a legalább másodfokú α algebrai számra, ahol a szám foka megegyezik a minimálpolinomjának fokával. Ez már elég arra, hogy belássuk, hogy vannak transzcendens számok. Thue megállapította, hogy a szám fokánál, d-nél kisebb kitevő hasznos lenne a diofantoszi egyenlőtlenségek megoldásában, és a Thue-tételben (1909) a d/2 + 1 + \epsilon kitevőt adta meg. Siegel ezt a kitevőt 2√d-re, Dyson √(2d)-re javította 1947-ben.

Roth eredménye, a 2 bizonyos értelemben a lehető legjobb, mert a fenti állítás nem működik ε = 0-val; Dirichlet approximációs tétele szerint ekkor végtelen sok megoldás van. Ennek ellenére Serge Lang felvetette azt a sejtést, hogy az

\left|\alpha - \frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^2 \log(q)^{1+\epsilon}}

egyenletnek véges számú megoldása van p-ben és q-ban. Ha α végigfut az összes valós számon, a transzcendenseken is, akkor Roth és Lang következtetése majdnem minden α-ra fennáll. Így mindkét eredmény, a tétel és a sejtés is azt állítja, hogy egy nullmértékű halmaz kivételével mindenütt teljesül.

A tétel nem ad használható korlátokat adott α esetén p-re és q-ra.[1] Davenport és Roth (1955)[2] megmutatta, hogy Roth módszere alkalmas p/q becslésére. Azonban mivel C(ε)-t nem tudjuk kiszámítani, az egyenlet megoldása vagy a megoldásokra korlátok adása csak távoli cél lehet.

A bizonyítás módszere[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

A bizonyítás módszere egy több változós segédfüggvényt használ, ami ellentmondáshoz vezet túl sok túl jó approximáció esetén. Természeténél fogva nem hatásos. Felhasználható egyes diofantoszi egyenletek megoldásainak számának korlátozása.

Általánosításai[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Magasabb dimenzióban Schmidt altér tétele. Más kiterjesztések használják például a p-adikus metrikát,[3] Roth módszerén alapulva.

LeVeque általánosította a módszert, hogy megmutassa, hasonló korlátok teljesülnek más számtestek fölött. Legyen H(ξ) a ξ algebrai szám magassága, azaz minimálpolinomjának együtthatóinak legnagyobb abszolút értéke! Legyen adva egy κ>2 szám! Ekkor egy adott α algebrai számra egy K testben az

 | \alpha - \xi | < \frac{1}{H(\xi)^\kappa}

egyenletnek véges sok megoldása van K-ban.[4]

Jegyzetek[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

  1. Diophantine Geometry: An Introduction, Graduate Texts in Mathematics, 344–345. o (2000). ISBN 0-387-98981-1 
  2. (Davenport & Roth 1955)
  3. Ridout, D. (1958.). „The p-adic generalization of the Thue-Siegel-Roth theorem”. Mathematika 5, 40–48. o.  
  4. LeVeque, William J.. Topics in Number Theory, Volumes I and II. New York: Dover Publications, II:148–152. o [1956] (2002). ISBN 978-0-486-42539-9 

Források[szerkesztés | forrásszöveg szerkesztése]

Davenport, H. & Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika 2: 160–167, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300000814

Dyson, Freeman J. (1947), "The approximation to algebraic numbers by rationals", Acta Mathematica 79: 225–240, ISSN 0001-5962, DOI 10.1007/BF02404697

Roth, Klaus Friedrich (1955), "Rational approximations to algebraic numbers", Mathematika 2: 1–20, 168, ISSN 0025-5793, DOI 10.1112/S0025579300000644

Siegel, Carl Ludwig (1921), "Approximation algebraischer Zahlen", Mathematische Zeitschrift 10 (3): 173–213, ISSN 0025-5874, DOI 10.1007/BF01211608

Thue, A. (1909), "Über Annäherungswerte algebraischer Zahlen", Journal für die reine und angewandte Mathematik 135: 284–305, ISSN 0075-4102, <http://resolver.sub.uni-goettingen.de/purl?PPN243919689_0135>