„Asszociativitás” változatai közötti eltérés
[ellenőrzött változat] | [ellenőrzött változat] |
normális képletek |
|||
1. sor: | 1. sor: | ||
{{nincs forrás}} |
{{nincs forrás}} |
||
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' |
A [[matematika|matematikában]] az '''asszociativitás''' vagy '''csoportosíthatóság''' a kétváltozós (binér/bináris) matematikai [[művelet]]ek egy tulajdonsága, fontos [[algebra]]i [[azonosság]]: ha <math>A</math> egy tetszőleges halmaz és <math>*\! :\ A \times A \rightarrow A</math> egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges <math>x, y \in A</math> elemekre a <math>*\!(x, y) = c \in A</math> helyett <math>x * y = c</math>); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha <math>A</math> tetszőleges <math>x, y, z</math> elemeire teljesül:<ref>Megjegyzés: <math>(x * y) * z</math> helyett egyszerűen <math>x * y * z</math> is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például <math>x * y * z * u</math> automatikusan így zárójelezendő: <math>((x * y) * z) * u</math>).</ref> |
||
<center> (x*y)*z = x*(y*z) .<ref>Megjegyzés: (x*y)*z helyett egyszerűen x*y*z is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például x*y*z*u automatikusan így zárójelezendő: (((x*y)*z)*u) ).</ref></center> |
|||
<math display="block">(x * y) * z = x * (y * z)</math> |
|||
Ez a függvény- (vagy [[operátor#A prefix írásmód|prefix]]-) jelöléssel így írható: |
Ez a függvény- (vagy [[operátor#A prefix írásmód|prefix]]-) jelöléssel így írható: |
||
< |
<math display="block">*\!(\!*\!(x, y), z) = *\!(x, *\!(y, z)) </math> |
||
Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás |
Például a [[természetes számok|természetes]], [[valós számok|valós]] vagy akár a [[komplex számok|komplex]] számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind asszociatív: <math>(a + b) + c = a + (b + c) </math>, szorzás esetében <math>(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) </math>. (Itt <math>a, b, c </math> mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.) |
||
Azokat az (A,*) [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek * művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük. |
Azokat az <math>(A, *) </math> [[matematikai struktúra|matematikai struktúrákat]], melyek <math>* </math> művelete asszociatív, [[félcsoport]]oknak nevezzük. |
||
== Az általánosított asszociativitás tétele == |
== Az általánosított asszociativitás tétele == |
||
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak: |
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak: |
||
Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások: |
|||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | |||
⚫ | * Tetszőleges <math>n </math> db. (nem feltétlenül különböző) <math>a_1, a_2, \dots, a_n \in A </math> elemekre az <math>a_1 * a_2 * \dots * a_n := c \in A </math> műveletsorozat bármilyen [[szabályos zárójelezés]]sel ugyanazt a rögzített <math>c </math> elemet adja; itt <math>n \in \N^+ </math>.<ref>E tétel az <math>n \geq 3</math> kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt <math>n \leq 2</math> esetében – automatikusan igaz.</ref> |
||
⚫ | * Legyenek <math>A_1, A_2, \dots, A_k </math> tetszőleges A-beli [[véges sorozat]]ok, ekkor <math>\textstyle \prod(A \vee A_2 \vee \ldots \vee A_k) = \textstyle \prod(A_1) \cdot \textstyle \prod(A_2) \cdot \ldots \cdot \textstyle \prod(A_k) </math>, ahol <math>\textstyle \prod </math> a sorozatok A-beli [[produktum]]át (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg <math>\vee </math> az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli. |
||
⚫ | |||
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett [[teljes indukció]]val történhet.) |
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett [[teljes indukció]]val történhet.) |
||
== Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt == |
== Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt == |
||
Egy művelet asszociativitása a [[művelettábla|művelettáblájáról]] (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. [[Light-féle eljárás]]. |
Egy művelet asszociativitása a [[művelettábla|művelettáblájáról]] (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. [[Light-féle eljárás]]. |
||
== Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról == |
== Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról == |
||
⚫ | Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes <math>(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C) </math> (az [[unió (halmazelmélet)|unió]] „asszociativitása”) és <math>(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C) </math> is (a [[metszet]]képzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak [[művelet]]ekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz [[hatványhalmaz]]ának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról. |
||
⚫ | |||
⚫ | Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a [[halmazművelet]]eket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes |
||
⚫ | |||
* [[Kommutativitás]] |
* [[Kommutativitás]] |
||
* [[Disztributivitás]] |
* [[Disztributivitás]] |
A lap 2017. december 22., 22:46-kori változata
Ez a szócikk nem tünteti fel a független forrásokat, amelyeket felhasználtak a készítése során. Emiatt nem tudjuk közvetlenül ellenőrizni, hogy a szócikkben szereplő állítások helytállóak-e. Segíts megbízható forrásokat találni az állításokhoz! Lásd még: A Wikipédia nem az első közlés helye. |
A matematikában az asszociativitás vagy csoportosíthatóság a kétváltozós (binér/bináris) matematikai műveletek egy tulajdonsága, fontos algebrai azonosság: ha egy tetszőleges halmaz és egy rajta értelmezett kétváltozós művelet (szokásos jelölés tetszőleges elemekre a helyett ); ezt akkor mondjuk asszociatívnak, ha tetszőleges elemeire teljesül:[1]
Ez a függvény- (vagy prefix-) jelöléssel így írható:
Például a természetes, valós vagy akár a komplex számokon értelmezett szokásos összeadás és szorzás mind asszociatív: , szorzás esetében . (Itt mindkét példa esetében tetszőleges természetes, egész, racionális, valós vagy akár komplex szám.)
Azokat az matematikai struktúrákat, melyek művelete asszociatív, félcsoportoknak nevezzük.
Az általánosított asszociativitás tétele
Az asszociativitás fenti követelménye valójában csak speciális esete a következő tulajdonságnak:
Tétel: Ugyanazt jelentik (ekvivalensek) a következő állítások:
- Az A halmazon értelmezett kétváltozós művelet asszociatív;
- Tetszőleges db. (nem feltétlenül különböző) elemekre az műveletsorozat bármilyen szabályos zárójelezéssel ugyanazt a rögzített elemet adja; itt .[2]
- Legyenek tetszőleges A-beli véges sorozatok, ekkor , ahol a sorozatok A-beli produktumát (elemeinek sorrendben való összeszorzását), míg az adott sorrendben való „egyesítésüket” jelöli.
Egységelemes félcsoportban megengedhetjük azt is, hogy a fent említett sorozatok üresek legyenek, azaz nulla tagjuk legyen.
(A fenti állítások igazolása értelemszerűen végzett teljes indukcióval történhet.)
Asszociativitás és Cayley-tábla: a Light-teszt
Egy művelet asszociativitása a művelettáblájáról (Cayley-tábla) általában nem olvasható le olyan könnyen, mint például a kommutativitás. Az asszociativitás megállapítására át kell alakítani a táblázatot, erre alkalmas az ún. Light-féle eljárás.
Megjegyzés a halmazműveletek asszociativitásáról
Bár nincs szakkönyv, amely ne tekintené-nevezné a halmazműveleteket asszociatívnak, hiszen formálisan érvényes (az unió „asszociativitása”) és is (a metszetképzés „asszociativitása”), meg kell jegyeznünk, hogy az asszociativitás fogalma csak műveletekre van definiálva, a halmazműveletek pedig nem szigorú értelemben vett matematikai műveletek, hiszen műveletet csak valamilyen alaphalmaz felett értelmezhetünk (az összes halmaz halmazáról viszont, aminek a halmazműveletek alaphalmazának kellene lennie, ellentmondásossága miatt nem beszélhetünk). Azok a szakkönyvek, amelyek a halmazműveleteket valamely U halmaz hatványhalmazának elemeire, azaz egy U részhalmazaira szorítkozva definiálják, matematikai szempontból teljesen kifogástalanul járnak el, és ez esetben valóban beszélhetünk a halmazműveletek asszociativitásáról.
Lásd még
Jegyzetek
- ↑ Megjegyzés: helyett egyszerűen is írható annak a szokásos zárójelezési konvenciónak az értelmében, miszerint a zárójelek nélküli, egy műveletet tartalmazó műveletsorozatokat balról jobbra kell kiolvasni és csoportosítani (tehát például automatikusan így zárójelezendő: ).
- ↑ E tétel az kikötés nélkül is értelmes, és – a lehetséges nem-triviális szabályos zárójelezések kisszámú (1) volta miatt esetében – automatikusan igaz.