Reflexív reláció
Reflexív relációnak nevezünk egy homogén kétváltozós relációt, ha a reláció alaphalmazának minden eleme relációban áll önmagával.
Definíció
Legyen A tetszőleges halmaz. Az A halmazon értelmezett ρ reláció reflexív, ha bármely a∈A esetén érvényes
Másképpen:
ahol EA az A halmazon értelmezett egy(enlő)ségreláció.
Formulákkal:
| jelölésmód | formula |
|---|---|
| infix | ∀a∈A (aρa) |
| prefix | ∀a∈A: ρ(a,a) |
| halmazalgebrai | EA⊆A |
Ekvivalens tulajdonságok
Könnyen igazolható, hogy ugyanezt a fogalmat adják meg a következő tulajdonságok: ρ reflexív akkor és csak akkor, ha
- ∀a∈A: aρa;
- ∀a∈A: a∈ρ[a];
- ∀a∈A: a∈ρ−1[a];
- ∀a∈A: a∈R(ρ); ahol R(ρ) a ρ reláció értékkészlete;
- ∀a∈A: a∈ρo(a); ahol ρo(a) a reláció ún. „önbelseje” [1];
- EA⊆A
Példák
Egyszerű példák és ellenpéldák
Ilyen például
- bármely halmazon az egyenlőségi reláció
- az egyenesek párhuzamossága (mert minden egyenes párhuzamos önmagával),
- a 0 elhagyása után az egész számok között az oszthatóság (mert minden nem 0 egész szám osztható önmagával),
- a halmazok között a tartalmazási reláció (mert minden halmaz részhalmaza önmagának).
Nem ilyen
- az egyenesek merőlegessége (mert egyetlen egyenes se merőleges önmagára),
- a halmazok között a valódi részhalmaz reláció (mert egyetlen halmaz se valódi részhalmaza önmagának).
További példák
- halmazokon (tetszőleges halmaz hatványhalmazán a tartalmazási reláció és az ekvivalencia)
- valós számokon a kisebb-egyenlő, a nagyobb-egyenlő
- természetes számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás
- pozitív egész számokon az oszthatóság
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
- logikai formulák halmazán az logikai ekvivalencia
Hivatkozások
Kapcsolódó szócikkek
Jegyzetek
- ↑ ρo(a) := { b∈A | ρ[b]⊂ρ[a] }