Halmaz

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából.

Megtekintett lap

Ez az utolsó megtekintett változat (összes); elfogadva: 2009. október 17.

Pontosság

megtekintett

A halmaz a matematika egyik alapfogalma, melyet leginkább úgy tudunk körülírni, mint bizonyos egymástól különböző dolgok „összességét”, de tekintettel arra, hogy alapfogalomról van szó, így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik. Annak ellenére, hogy ez a tudományág csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja, mivel minden, a matematika által vizsgált objektum végső soron halmaz. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

[szerkesztés] Történet és áttekintés

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

[szerkesztés] Főbb fogalmak

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Azt, hogy $a$ eleme az $A$ halmaznak, így jelöljük: $\mbox{ }{a \in A}$ .

Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

[szerkesztés] Halmazok egyenlősége

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az $A$ és $B$ halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: $A = B$ .

Tetszőleges $A$ , $B$ , $C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

$A = A$ ; (reflexivitás)
ha $A = B$ , akkor $B = A$ ; (szimmetria)
ha $A = B$ és $B = C$ , akkor $A = C$ ; (tranzitivitás)

[szerkesztés] Részhalmaz

Bővebben: Részhalmaz

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az $A$ halmaz részhalmaza a $B$ halmaznak (vagy más szavakkal: a $B$ halmaz tartalmazza az $A$ halmazt), ha az $A$ minden eleme a $B$ halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük: $A\subseteq B$ . Az $A$ halmazt a $B$ halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha $A\subseteq B$ , és $A \neq B$ .

Tetszőleges $A$ , $B$ , $C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

$A\subseteq A$ ; (reflexivitás)
ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$ , akkor $A = B$ ; (antiszimmetria)
ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$ , akkor $A\subseteq C$ ; (tranzitivitás)

[szerkesztés] Üres halmaz

Bővebben: Üres halmaz

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük: $\emptyset$ .

[szerkesztés] Hatványhalmaz

Bővebben: Hatványhalmaz

Tetszőleges $A$ halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az $A$ halmaz hatványhalmazának nevezzük, és $P (A)$ -val jelöljük.

[szerkesztés] Halmazműveletek

[szerkesztés] Halmazok egyesítése és metszete

Bővebben: Metszet (halmazelmélet) és Unió (halmazelmélet)

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ vagy $a\in B$ , az $A$ és $B$ halmazok egyesítésének (más szóval uniójának) nevezzük, és így jelöljük: $A\cup B$ . Azt a halmazt pedig, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ és $a\in B$ , az $A$ és $B$ halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: $A\cap B$ .

Ha $A\cap B = \emptyset$ , akkor az $A$ és $B$ halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges $A, B, C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

$A\cup A=A$ ; (idempotencia)
$A\cap A=A$ ; (idempotencia)
$A\cup B=B\cup A$ ; (kommutativitás)
$A\cap B=B\cap A$ ; (kommutativitás)
$A\cup (B\cup C)=(A\cup B) \cup C$ ; (asszociativitás)
$A\cap (B\cap C)=(A\cap B) \cap C$ ; (asszociativitás)
$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$ ; (disztributivitás)
$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$ ; (disztributivitás)

továbbá:

$A\cup \emptyset =A$
$A\cap \emptyset =\emptyset$

[szerkesztés] Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége

Bővebben: Különbség (halmazelmélet)

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ és $a\notin B$ , az $A$ és $B$ halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: $A\backslash B$ . Az $(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$ halmazt pedig az $A$ és $B$ halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk.

[szerkesztés] Komplementer halmaz

Legyen adott valamely $U$ halmaz. Ekkor tetszőleges $A\subseteq U$ halmaz esetén az $U\backslash A$ halmazt az a $A$ halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.

[szerkesztés] Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa

Bővebben: Rendezett pár és Direkt szorzat

Tetszőleges $a, b$ elemekre az ${{a},{a, b}}$ halmazt elempárnak nevezzük és $(a, b)$ -vel jelöljük.

Tetszőleges $a$ , $b$ , $c$ , $d$ elemekre $(a, b) = (c, d)$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a = c$ és $b = d$ , azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek $A, B$ tetszőleges halmazok. Az $\{ (a, b) | a\in A, b\in B\}$ elempárok halmazát az $A$ és $B$ halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: $A\times B$ . Ha $A = B$ , akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges $A, B, C$ halmazokra érvényes a következő állítás:

$A\times (B\times C) = ( A\times B ) \times C$ ; (asszociativitás)

A halmazok direkt szorzata nem kommutatív művelet.

[szerkesztés] Megfeleltetés, reláció

Bővebben: Reláció

Legyenek $A, B$ tetszőleges halmazok. Az $A\times B$ halmaz részhalmazait az $A$ halmaz $B$ halmazba történő megfeleltetéseinek nevezzük, és így jelöljük: $\rho :A\to B$ . Ha $A = B$ , akkor relációkról beszélünk.

[szerkesztés] Parciális leképezés, leképezés

Bővebben: Leképezés

Legyenek $A$ , $B$ tetszőleges halmazok. A ρ: $A$ → $B$ $A$ -ból $B$ -be történő megfeleltetést $A$ -t $B$ -be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden $a$ ∈ $A$ esetén legfeljebb egy olyan $b$ ∈ $B$ van, amire $(a, b)$ ∈ρ. A ρ: $A$ → $B$ A-ból $B$ -be történő megfeleltetést $A$ -t $B$ -be képező leképezésnek nevezzük, ha minden $a$ ∈ $A$ esetén pontosan egy olyan $b$ ∈ $B$ van, amire $(a, b)$ ∈ρ.

X és Y halmazokat ekvivalensnek nevezünk, ha létezik X-et Y-ra képező kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ez az ekvivalencia egy tranzitív, szimmetrikus, és reflexív reláció.

[szerkesztés] Halmazok számossága

Bővebben: Számosság

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt egy valódi részhalmazába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges $A$ halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely $n \in N$ természetes számra létezik $\{1,\dots, n \} \to A$ bijekció.

[szerkesztés] Lásd még

Mértani hely

[szerkesztés] Hivatkozások

Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
Totik Vilmos: Halmazelméleti feladatok és tételek, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1997)
Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 963-18-5998-3
Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N. Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4