Diszjunkció

Vagy-kapu

A matematikai logikában diszjunkció (latinul: disiunctio "szétválasztás, szembeállítás") vagy más néven logikai „vagy” alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke akkor és csak akkor hamis, ha mind a két operandusának hamis a logikai értéke. Másként megközelítve: a diszjunkció akkor igaz, ha bármely operandusának igazságértéke igaz. A logikai értelemben vett vagy műveletnek a fentiek értelmében eltérő jelentése van a hétköznapi "vagy" szavunkhoz képest. Természetes nyelven ugyanis a "vagy" szó alatt a "kizáró vagy" műveletét szoktuk érteni, azaz amikor az operandusok közül egyszerre csak az egyik igaz, a kettő együtt nem. Ez a logikai vagy művelettel nem ekvivalens. Például, amikor azt mondjuk, hogy "Küldd el sms-ben, vagy e-mailben!", az alatt azt értjük, hogy vagy az egyik, vagy a másik úton kérjük az adatot, nem azt, hogy mind a két módon szeretnénk megkapni. A hétköznapi beszédben ilyenkor inkább "és"-t mondunk.

A diszjunkció jele ∨ vagy +. Logikai összeadásnak nevezik, habár erre a kizáró vagy lenne a jobb jelölt.

• Előfordul, hogy a köznyelvben a vagy kötőszó használata nem kizáró. Például: Szerencséje volt, vagy jól tanult. nem zárja ki azt, hogy mindkét esemény bekövetkezett.
• Programozási nyelvekben a vagyot gyakran rövidzáras vagy valósítja meg, ami csak akkor vizsgálja meg a második tagot, ha az első hamis.
• A halmazelméletben az unió.
• A predikátumlogikában az egzisztenciális kvantor.

Definíció

A p vagy q ítéletek diszjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p	q	∨
igaz	igaz	igaz
igaz	hamis	igaz
hamis	igaz	igaz
hamis	hamis	hamis

ahol $\vee$ a diszjunkció jele.

A diszjunkció egységeleme a hamis, ami azt jelenti, hogyha az egyik tag hamis, akkor a diszjunkció igazságértéke megegyezik a másik tag igazságértékével. Ezért, ha kiterjesztik a műveletet több, illetve kevesebb operandusra, akkor az üres vagy hamis.

Tulajdonságai

Tetszőleges $A,B,C$ ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

• A diszjunkció idempotens, azaz

$A\vee A\equiv A$

• A diszjunkció kommutatív, azaz

$A\vee B\equiv B\vee A$

• A diszjunkció asszociatív, azaz

$A\vee (B\vee C)\equiv (A\vee B)\vee C$

• A diszjunkció monoton, vagyis
• monotonicity: $(a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))$

$(a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))$

• A konjunkció disztributív a diszjunkcióra, azaz

$A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

• A diszjunkció disztributív a konjunkcióra, azaz

$A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz

$A\vee (A\wedge B)\equiv A$

$A\wedge (A\vee B)\equiv A$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz

$\neg (A\wedge B)\equiv (\neg A)\vee (\neg B)$, és

$\neg (A\vee B)\equiv (\neg A)\wedge (\neg B)$

• Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.
• Igaztartó, illetve hamistartó, ami azt jelenti, hogy:

ha egy diszjunkció minden tagja igaz, akkor a konjunkció igaz

ha egy diszjunkció minden tagja hamis, akkor a diszjunkció hamis

Halmazelméleti megközelítés

A diszjunkció művelete a halmazelméletben megfelel az unió műveletének. "A vagy B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész diszjunkció esetén)

Háromtagú diszjunkció, $\scriptstyle A\lor B\lor C$ Venn-diagramja

Alkalmazása a számítástudományban

A legtöbb programozási nyelvben létezik diszjunkció önálló műveletként. Két fajtáját meg is különböztethetjük, tipikusan már a forráskódban is másként jelölve.

Logikai diszjunkció

Megfelel a fentebb tárgyaltaknak, azaz két operandus (feltétel) közül az egyik teljesülése esetén a futás az elágazás igaz ágán folytatódik. Általában ha az egyik feltétel igaznak bizonyult, a többi már nem is értékelődik ki, a futásidővel való spórolás okán. Jelölése C nyelven pl. "||", Pythonban az "or" kulcsszóval történik.

if ((a < 0) || (a > 10)) { return true; } // Ha az a kisebb lesz 0-nál, vagy nagyobb 10-nél, igazat adunk vissza

Bitszintű diszjunkció

Ekkor a vagy műveletét tipikusan egy számon végezzük el, bitenként. Amennyiben egy adott helyiértéken legalább az egyik operandus 1, akkor az eredmény is 1 lesz. Például ha a = 1100 (=12), b = 1010 (=10):

• a = 1100
• b = 1010
• | = 1110

Tehát az eredményünk 14 lesz. Ezen műveletet pl. C nyelven egy "|" jellel tüntetjük fel.

Halmazelméleti megfelelő

A halmazelméleti unióba való tartozás logikai vaggyal fogalmazható meg: x ∈ A ∪ B akkor és csak akkor, ha (x ∈ A) ∨ (x ∈ B). E megfeleltetés alapján az unió több tulajdonságban is osztozik a logikai diszjunkcióval, mint az asszociativitás, kommutativitás és idempotencia.

Természetes nyelv

Az emberi nyelvek logikája nem teljesen feleltethető meg a matematikai logikának. Nincs ez másként a vaggyal sem.

A nyelvekben általában a vagyot kizáró értelemben használják. Ha arról van szó, hogy valakit értesítsenek valahogyan, akkor mondhatja azt, hogy: Kérem, értesítsenek telefonon vagy e-mailben. A nem kizáró használatra példa, ha valaki a jó jegyeit azzal szerezte meg, hogy okos, vagy szorgalmasan tanult. Ebben az esetben a beszélő nem állítja, hogy az egyik kizárná a másikat.

Források

• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)
• https://web.archive.org/web/20050222113037/http://www.inf.u-szeged.hu/oktatas/Tempus/logika.doc
• Juhász István: Programozás I. (halott link)
• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Disjunction", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
• Eric W. Weisstein. "Disjunction." From MathWorld—A Wolfram Web Resource

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Logical disjunction című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Kapcsolódó szócikkek

• Konjunkció
• De Morgan-azonosságok
• Logikai kapu